天津市南开中学2026-2027学年九年级上学期阶段性诊断练习数学试卷（9月份）

2026-2027学年天津市南开中学九年级（上）阶段性诊断练习数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若是关于x的方程的一个根，则c的值为(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 3.若，是方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.关于x的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 5.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为(    ) A. B. C. D. 6.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 7.关于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象开口向下 B. 图象经过点 C. 图象的对称轴是直线 D. 最小值是 8.把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为(    ) A. B. C. D. 9.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 10.如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为(    ) A. 3m B. C. D. 9m 11.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球的运动时间单位：之间的关系式是有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度. 其中，正确结论的个数是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为²；③菜园ABCD面积的最大值为其中，正确结论的个数是    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.若m，n是一元二次方程的两个根，则        . 14.二次函数的对称轴是        . 15.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出          小分支． 16.抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为        . 17.如图为二次函数的图象，结合图象回答下列问题： 方程的解为        ，        ； 当时，x的取值范围为        ； 当时，y的取值范围是        . 18.二次函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和1；⑤其中正确的结论有        . 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 19.某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：每涨价1元，月销售量就减少 填空：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润可以表示为        元，月销售量可以表示为        kg，月销售利润单位：元与x之间的函数关系式为       当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 四、解答题：本题共3小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题10分 解方程． ； 21.本小题10分 已知抛物线为常数，与x轴的一个交点坐标是，顶点坐标是 Ⅰ求该抛物线解析式中a，b，c的值； Ⅱ直接写出当时，函数值y的取值范围. 22.本小题10分 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与y轴交于点N，其顶点为 求抛物线及直线AC的函数关系式； 若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标； 设点，求使取最小值时n的值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、，可化为，是一元二次方程，符合题意； C、，不是整式方程分母含未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选： 根据一元二次方程的定义整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为进行判断即可． 本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：把代入方程得：， ， ， 故选： 把代入方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程，得到关于c的一元一次方程． 3.【答案】D  【解析】解：由题知， 由得， ， 因为，是方程的两根， 所以 故选： 利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：， ， 即， 方程有两个实数根． 故选： 5.【答案】D  【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为： 故选： 关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以 6.【答案】D  【解析】解：由二次函数图象，得出，，， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C错误； D、一次函数图象，得，，故D正确； 故选： 可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误． 本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 7.【答案】D  【解析】解：由题知， 因为， 所以二次函数的图象开口向上． 故A选项错误． 将代入二次函数解析式得， ， 所以二次函数的图象不经过 故B选项错误． 因为， 所以二次函数的图象对称轴为直线 故C选项错误． 因为二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值为 故D选项正确． 故选： 根据二次函数的图象和性质，对所给选项逐次判断即可． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为， 故选： 根据平移规律得出平移后解析式． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是熟练掌握平移规律． 9.【答案】A  【解析】解：因为抛物线与x轴有两个不同的交点，  所以一元二次方程有两个不相等的实数根，  则，  故A选项符合题意；  又因为，，，  所以，，  故BC选项不符合题意；  因为抛物线的对称轴为直线，  则，  所以  故D选项不符合题意．  故选： 根据所给抛物线，得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称轴及其与一元二次方程的关系对所给选项依次进行判断即可． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【解答】 解：由已知知： 点B的横坐标为 把代入， 得 即水面离桥顶的高度为 故选： 11.【答案】C  【解析】解：①令，则， 解得，， 小球从抛出到落地需要6s， 故①正确； ②， ， 当时，h有最大值，最大值为45， 小球运动中的高度可以是30m， 故②正确； ③时，， 时，， 小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度， 故③错误． 故选： 令，解方程求出t的值，即可判断①；求出h的最大值，即可判断②；分别求出和时h的值是，即可判断③． 本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果． 12.【答案】C  【解析】解：设AD边长为xm，则AB边长为， 当时，， 解得：， 的长不能超过26m， ， 故①不正确； 菜园ABCD面积为， ， 整理得：， 解得：或， 的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为， 故②正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意得：， ，， 当时，y有最大值，最大值为 故③正确． 综上所述，结论②③正确，即正确的结论有2个， 故选： 设AD边长为xm，则AB边长为长为，根据列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为， 根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键． 13.【答案】5  【解析】解：由题知， 因为m，n是一元二次方程的两个根， 则，， 所以 故答案为： 利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14.【答案】直线  【解析】解：将二次函数化为一般形式可得： ， 对称轴为直线 故答案为：直线 将二次函数化为一般形式，利用对称轴公式求解． 本题主要考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握该知识点是关键． 15.【答案】9个  【解析】解：设每个支干长出x个小分支，则， 解得：，舍去， 每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 等量关系为：主干支干数目+支干数目支干数目，把相关数值代入计算即可． 考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由题知， 因为， 则将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 所以得到的抛物线的顶点坐标为 故答案为： 根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 17.【答案】 1   【解析】解：， 即， ， 或， 所以，， 故答案为：，1； 当时，， 解得，， 所以当时，x的取值范围为； 故答案为：； ， 当时，y有最大值，最大值为4， 时，； 时，， 当时，y的取值范围是 故答案为： 利用因式分解法解方程即可； 先解方程得，，即或0时，函数值为3，然后结合函数图象写出时，x的取值范围； 利用配方法得到顶点式为，则当时，y有最大值4，再计算出时，；时，，然后结合函数图象和二次函数的性质确定y的取值范围． 本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 18.【答案】①③④  【解析】解：对于二次函数图象与x轴的一个交点坐标为， ， 故③正确； 二次函数对称轴为直线， ， ， ， 故②不正确； ， 抛物线开口向上， ， ， 抛物线与x轴有两个交点，， 抛物线与y轴的负半轴相交， ， ， 故①正确； 二次函数对称轴为直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为， 对于二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， 关于x的一元二次方程的两根分别为和1， 故④正确； 抛物线的对称轴，开口向上， 当时，y有最小值， 当时，函数值， ， 当时，，说法⑤没有说明， 故⑤说法不正确． 综上，①③④说法正确． 故答案为：①③④． 结合二次函数的图象性质开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等逐一分析即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，涉及开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、函数最值、方程根的分布等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19.【答案】【小题1】 【小题2】 ， ， 当时，y最大，此时的销售价元， 当销售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元   【解析】解：Ⅰ设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润元，月销售量可以表示为，月销售利润y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：；；； Ⅱ ， ， 当时，y最大，此时的销售价元， 当销售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元． Ⅰ根据利润=售价-成本；月销售量=原来的销售量-减少的数量；总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答； Ⅱ利用Ⅰ的结论进行计算，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】解：， ， ， 或， ，； ， ，   【解析】利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答； 利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 21.【答案】，，    【解析】解：Ⅰ设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 即， ，，； Ⅱ当时，， 当时，， 当时，y随x的增大而增大， 当时，函数值y的取值范围为 Ⅰ设顶点式，再把代求出a，从而得到抛物线解析式，于是得到a，b，c的值； Ⅱ分别计算出和所对应的函数值，然后根据二次根式的性质写出函数值y的取值范围． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 22.【答案】解：将点和点代入抛物线的解析式得：，解得：， 抛物线的解析式为 设直线AC的解析式为 将点A和点C的坐标代入得，解得， 直线AC的解析式为 如图，过P点作轴交AC于点Q， 设点， ， ， ， 当时，，    ， ； 如图1所示，过点N与直线的对称点，连接，交直线与点M，此时取最小值， 当时， 点N与点关于对称， ， 设的解析式为 将点与点代入得：， 解得：， 直线的解析式为 当时，  【解析】将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b，c的值，从而得到抛物线的解析式，设直线AC的解析式为将点A和点C的坐标代入可求得k、b的值，从而得到直线AC的解析式； 设点P的坐标，进而表示出PQ，进而得出，即可得出结论； 过点N与直线的对称点，连接，交直线与点先求得点N的坐标，然后可得到点的坐标，接下来求得的解析式，然后将代入直线的解析式可求得点M的纵坐标 此题是二次函数综合题，主要考查的了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、轴对称路径最短、平行四边形的判定定理，明确点D、M、在一条直线上时，有最小值是解答问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $