天津市南开中学2025-2026学年上学期九年级数学第二次月考试卷

南开中学2025～2026学年度第一学期数学学科阶段监测 考试时间：100分钟；考试分满分：120分． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 抛一枚普通的硬币，正面朝上 D. 从装满红球的袋子中摸出一个白球 3. 如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某市2021年年底有用户20万户，计划到2023年年底全市用户数达到万户．设全市用户数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，是方程的两个根，则（） A. B. C. D. 6. 如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（ ） A. 30° B. 36° C. 54° D. 60° 8. 若点 在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为半圆的直径，点为上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 13. 有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______． 14. 如图，，交于点E，，，，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若的面积为5，则________． 16. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 17. 如图，在边长为7的正方形中，点，分别是，的中点，与交于点，则的长度为_______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点在格点上，点在格点上，圆心在线段上，圆与网格线相交于点，过点作圆的切线与网格线交于点． （1）__________； （2）过点作圆的切线，切点为（点不与点重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 三、解答题 19. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 20. 已知：如图，是上一点，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 已知：正比例函数的图像与反比例函数的图像有一个交点的纵坐标是2， （1）当时，求反比例函数的值； （2）当时，反比例函数的取值范围是______； （3）当正比例函数值大于反比例函数值时，的取值范围是______． 22. 如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接． （1）如图①，若，求和的度数； （2）如图②，若于点，，，求的长． 23. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时碗内水面的宽度． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1），点C（1，0），正方形AOCD的两条对角线的交点为B，延长BD至点G，使DG=BD，延长BC至点E，使CE=BC，以BG，BE为邻边作正方形BEFG． （Ⅰ）如图①，求OD的长及的值； （Ⅱ）如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG′． ①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小； ②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标； （3）若F为抛物线对称轴上的一个定点， ①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 南开中学2025～2026学年度第一学期数学学科阶段监测 考试时间：100分钟；考试分满分：120分． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 【11题答案】 【答案】A 【12题答案】 【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】5 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】7 【18题答案】 【答案】 ①. ②. 取与网格线的交点G、H，连接交于点O，根据可知为的直径，则点O为圆的圆心， 连接并延长交于点E，延长，与网格线交于点F，结合网格图可知，连接，交于点M，点即为所求 三、解答题 【19题答案】 【答案】（1） （2）两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 【20题答案】 【答案】（1） 证明： ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）或 【22题答案】 【答案】（1）， （2） 【23题答案】 【答案】任务一：碗体的抛物线解析式为；任务二： 【24题答案】 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（+，﹣） 【25题答案】 【答案】（1）y=-x2+2x+3；B（3，0）； （2）E（1，）； （3）①；②P（2，3），最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $