精品解析：贵州贵阳市观山湖区第一高级中学2026～2027学年高二第一学期10月综合训练数学试题

贵阳市观山湖区第一高级中学2026-2027学年度第一学期 10月综合训练作业高二数学 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含量词命题否定的改写规则求解． 【详解】含量词命题否定的改写规则为：改量词，否结论． 所以命题“”的否定是“”． 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】因， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 3. 已知点关于x轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解． 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 4. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 5. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是. 6. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 7. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 8. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后设出的坐标，根据两点距离公式列出的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】因为直三棱柱中，，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 因为点在线段上，设，， 所以，所以. 因为点在线段上，所以设，所以. 为了求其最小值，则时，， 此时， 根据二次函数的性质，由于，所以当时，取最小值为. 故选：C. 二、多选题（本题3小题，每小题6分，共18分.其中部分选对得部分分数，错选不得分.） 9. 如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（ ） A. 图（1）中，平均数=中位数>众数 B. 图（2）中，众数<中位数<平均数 C. 图（2）中，平均数<众数<中位数 D. 图（3）中，中位数<平均数<众数 【答案】ACD 【解析】 【分析】频率分布直方图不同分布形态下众数、平均数、中位数之间的大小关系即可求解. 【详解】易知图（1）中，平均数中位数众数，故A错误； 图（2）中，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比， 平均数总是在“长尾巴”那边，即平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理可知，图（3）中，众数最大，平均数小于中位数，故D错误． 故选：ACD． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过、两点的所有直线的方程为 D. 设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入 得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率， 由得，设倾斜角为，则， 由，得,故正确， 故选：AD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明平面，结合等体积法计算到平面的距离，由线面夹角的定义可判定B，由勾股定理及圆的周长公式可判定C，由数形结合结合正三角形内切圆的特征计算即可判定D. 【详解】对于A，在正方体中易知且， 所以异面直线与所成的角即或其补角，显然，即A错误； 连接，易知， 又平面，所以平面， 而平面，所以，同理可知， 即平面，设垂足为E，取的中点，连接， 则，所以， 连接，由勾股定理可知， 对于B，易知与平面所成的角为， 故B正确； 对于C，由三棱锥为正三棱锥可知为该正三角形的中心， 则三点共线，， 所以点轨迹为以E为圆心，为半径的圆上，该圆即正三角形的内切圆， 所以点P的运动轨迹长度为，故C正确； 对于D，假设P的轨迹圆与交于G点，由上可知， 而到底面的距离为2，所以到底面的距离为， 由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是，故D正确. 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量结合向量的坐标运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以向量在向量上的投影向量为． 故答案为：. 14. 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当的面积取最小值时，直线l的方程为_____________． 【答案】2x＋3y－12＝0 【解析】 【分析】设直线的方程为，从而求出横截距和纵截距后可得面积为，利用基本不等式可求面积的最小值且得到取最小值时斜率的取值．我们也可以假设直线l的方程为，则利用基本不等式可求面积的最小值且得到取最小值时的值．两种方法最终都可以得到所求直线的一般方程． 【详解】方法1：易知直线l的斜率k存在且，则直线l的方程为，则，所以 ，当且仅当，即时等号成立． 所以当时，的面积最小，此时直线l的方程为，即． 方法2：设直线l的方程为，将点代入得，即，当且仅当，即时等号成立，又，所以当时的面积最小，此时直线的方程为，即． 【解题必备】（1）在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；（2）求解与直线方程有关的最值问题，可先设出直线方程，建立目标函数，然后利用基本不等式求解最值；（3）求参数的值或取值范围时，应注意点在直线上，则点的坐标就适合直线的方程，然后结合函数的性质或基本不等式即可求解． 【点睛】求直线方程时，应该结合问题的特点选择合适的直线方程的形式，比如与截距相关的三角形的面积、周长或线段和等问题，应选择直线的截距式方程．与已知直线平行的直线或与已知直线垂直的直线，可利用平行直线系或垂直直线系设出直线的一般式方程． 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16-17每小题15分，第18-19每小题17分.） 15. 电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 【答案】（1）众数为35，平均数为30，中位数为30.8． （2）平均数为32，方差为． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，众数为最高矩形的中点，中位数为将矩形面积平均分的位置，平均数为各矩形中点与面积乘积的和进行计算； （2）利用均值和方差的计算公式，计算合并后的均值和方差． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即． 平均数为： ． 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内． 设中位数为，则， 解得． 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为． 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则． 由题意知，，；，． 则合并后的平均数． 合并后的方差 ． 故两组年龄合并后的平均数为32，方差为． 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，，且，是侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1）如图，连接，设与交于点， 在正方形中，为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与交于点，先证明，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）取中点，连接，分析可得就是异面直线与所成的角或其补角，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取中点，连接， 、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 由于，则，而，，则， 而，，则， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以直线与夹角的余弦值为. 17. 已知函数的最大值为3， （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，，求的值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，利用正弦函数的性质即可求其周期和单调递增区间； （2）利用同角的三角函数关系式与诱导公式、二倍角公式计算即得. 【小问1详解】 ， 因为函数的最大值为3，所以，解得， 所以， 则的最小正周期为； 由，得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，即， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以 18. 在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为，且满足. （1）证明：； （2）如图，点D在线段的延长线上，且，当点C运动时，探究是否为定值？ 【答案】（1）证明　因为， 由正弦定理可得， 再由余弦定理得， 整理得. （2）是定值 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为互补， 所以， 结合余弦定理可得 ， 因为， 则， 整理得， 又， 则 ， 从而， 故为定值. 19. 如图，在矩形ABCD中，为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△，使得平面平面，连接． （1）证明：平面； （2）设的中点为，求二面角的正切值； （3）点均在球的球面上，求球的表面积． 【答案】（1）证明：矩形ABCD中，，，为AB的中点， 由勾股定理得， 又，所以， 由勾股定理逆定理得， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理得，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，结合，得到线面垂直； （2）证明线面垂直，即为二面角的平面角，求出各边长，得到二面角的正切值； （3）作出辅助线，找到球心的位置，并根据半径相等得到方程，求出外接球半径，得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点在平面内作，垂足为点，连接． 由（1）知平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 由（1）知平面，因为平面，所以， ，由勾股定理得， 因为的中点为，所以． 其中，又， 故，解得， 所以二面角的正切值为； 【小问3详解】 连接BD，设中点为O，由△BCD为直角三角形，则， 则G在过O点且垂直于平面BCD的直线上． 过点作⊥于点，连接，则， ， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 故球心G与在平面BCD两侧．设，球G的半径为R， 过点作⊥，交的延长线于点，则， 则，， 所以，解得． 则，故球的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2026-2027学年度第一学期 10月综合训练作业高二数学 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点关于x轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题3小题，每小题6分，共18分.其中部分选对得部分分数，错选不得分.） 9. 如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（ ） A. 图（1）中，平均数=中位数>众数 B. 图（2）中，众数<中位数<平均数 C. 图（2）中，平均数<众数<中位数 D. 图（3）中，中位数<平均数<众数 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过、两点的所有直线的方程为 D. 设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__． 14. 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当的面积取最小值时，直线l的方程为_____________． 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16-17每小题15分，第18-19每小题17分.） 15. 电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，，且，是侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 17. 已知函数的最大值为3， （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，，求的值． 18. 在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为，且满足. （1）证明：； （2）如图，点D在线段的延长线上，且，当点C运动时，探究是否为定值？ 19. 如图，在矩形ABCD中，为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△，使得平面平面，连接． （1）证明：平面； （2）设的中点为，求二面角的正切值； （3）点均在球的球面上，求球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $