4.1 数列（第2课时 数列的递推公式）分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.1　数列 第2课时　数列的递推公式 一、基础达标练 1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A.-1,-2,-3,-4,… B.-1,-,-,-,… C.-1,-2,-4,-8,… D.1,,…, 2.已知数列{an}满足a1=-,an=1-(n>1),则a4等于(　　) A. B. C.- D. 3.数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是(　　) A.an+1=an+n B.an=an-1+n(n≥2) C.an+1=an+(n+1)(n≥2) D.an=an-1+(n-1)(n≥2) 4.已知数列{an}满足an=,n为正整数,则该数列中的最大项是(　　) A. B. C. D. 5.如下表定义函数f(x): x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,则a2 025的值是　　　　　.  6.设{an}是首项为1的数列,且anan+1=2n. (1)求a10; (2)归纳猜想a2n. 二、能力提升练 7.已知数列{an}满足an+1=若a1=21,则a5=(　　) A.3 B.6 C.11 D.12 8.已知数列{an}的通项公式为an=若{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　) A.(3,6) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,3) 9.在数列{an}中,已知an=n2+λn(n∈N*),则“a1<a2”是“{an}是单调递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.若数列{an}为单调递增数列,且an=2n-1+,则a3的取值范围为　　　　　.  11.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一”.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动最少次数,若a1=1,且an=则解下6个环所需的最少移动次数为　　　　　.  12.已知在数列{an}中,a1=4,且当n≥2时,nan=2(n+1)an-1. (1)试求a2,a3,a4的值,并归纳出数列{an}的通项公式; (2)若不等式2n2-n-3<(5-λ)an对任意的n∈N*恒成立,求λ的取值范围. 三、拓展探究练 13.(多选题)若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N*),其中是“差递减数列”的有(　　) A.an=3n B.an=n2+1 C.an= D.an=ln 14.已知无穷数列{an},若存在正整数t,使得该数列由t个互不相同的实数组成,且对于任意的正整数n,an+1,an+2,…,an+t中至少有一个等于an,则称数列{an}具有性质T,集合P={p|p=an,n∈N*}. (1)若an=(-1)n,判断数列{an}是否具有性质T; (2)数列{an}具有性质T,且a1=1,a4=3,a8=2,P={1,2,3},求a11,a14的值. 参考答案 1.B　2.C　3.B　4.B　5.4　 6.解 (1)由anan+1=2n,a1=1,则a2=2,且,解得=2, 所以a10=·a2=a2·24=32. (2)a2n=·…··a2=a2·2n-1=2n. 7.B　8.D　9.C 10.(-∞,6)　解析 当n≥2时,an-an-1=2n-1+-(2n-3+)=2-,因为数列{an}为单调递增数列,所以2->0对n≥2(n∈N)恒成立,即λ<2n+1对n≥2(n∈N)恒成立,所以λ<8,所以a3=5+<6,故a3的取值范围为(-∞,6). 11.31　解析 ∵a1=1,an= ∴a2=2a1-1=1,a3=2a2+2=4,a4=2a3-1=7,a5=2a4+2=16,a6=2a5-1=31, ∴解下6个环所需的最少移动次数为31. 12.解 (1)当n=2时,2a2=2(2+1)a1,所以a2=4×3=12;当n=3时,3a3=2(3+1)a2, 所以a3=8×4=32;当n=4 时,4a4=2(4+1)a3,所a4=16×5=80,所以an=2n(n+1). (2)2n2-n-3=(n+1)(2n-3)<(5-λ)(n+1)2n对任意的n∈N*恒成立,即5-λ>对任意的n∈N*恒成立.记bn=,故b1=-<0,所以当n≥2时,bn>0,且,所以,即b3>b2,当n≥3时,<1,即随着n的增大,{bn}单调递减,所以{bn}的最大值为b3=,所以5-λ>,即λ<.故λ的取值范围为(-∞,). 13.CD　解析 对A,若an=3n,则an+1-an=3(n+1)-3n=3,所以{an+1-an}不为递减数列,故A错误;对B,若an=n2+1,则an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1,所以{an+1-an}为递增数列,故B错误;对C,若an=,则an+1-an=,所以{an+1-an}为递减数列,故C正确;对D,若an=ln,则an+1-an=ln-ln=ln()=ln(1+),由函数y=ln(1+)在(0,+∞)上单调递减,所以数列{an+1-an}为递减数列,故D正确. 14.解 (1)因为an=(-1)n=数列{an}是由2个不同元素组成的无穷数列,即-1,1,-1,1,…,是周期为2的周期数列,故t=2,所以对于任意的正整数n,有an+2=an,满足性质T的条件,故数列{an}具有性质T. (2)由a1=1,a4=3,a8=2,P={1,2,3},可知t=3.考虑a8后面连续三项a9,a10,a11.假设a11≠2,由a8=2及性质T知,a9,a10中必有一个数为2,所以a8,a9,a10中有两项为2,故必有1或3不在其中,不妨设i(i=1或3),考虑a1,a2,…,a7中,最后一个等于i的项,则该项的后三项均不等于i,不满足性质T的条件,矛盾,所以a11=2.同理可知,a14=2. 6 学科网（北京）股份有限公司 $