专题11 锐角三角函数（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题11 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）的值是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）的值是（       ） A. 1 B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，中，，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在中，，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·重庆广益中学·模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（     ） A. 2 B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC＝12，则sinB的值是（   ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）比较，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）计算：＝　　　　　． 11．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）计算：　　　　　　　． 12．（2026·重庆广益中学·模拟）计算：　　　　　　　　　　　　． 13．（2026·重庆育才中学校·三模）计算：　　　　　　． 14．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）计算：　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）计算： （1） （2） 16．（25-26学年九上·重庆万州·期末）先化简，再求值：，其中． 17．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）先化简，再求值： ，其中． 18．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，在平行四边形中，，，点P从点B出发，沿线段向点A运动，到达点A时停止．过点P作的垂线，交折线于点Q，设，． （1）请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）一次函数与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数b的取值范围． 20．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 21．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 22．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）计算题 （1）； （2）． 23．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）计算： （1）； （2）解方程：． 24．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 25．（25-26学年九上·重庆万州·期末）秋冬时节，万州高峡平湖水天一色，景色宜人．某个周末，小明和小华相约去南滨公园游玩，四边形是南滨公园的步道路线，点在点的正东方向，点在点北偏西方向，同时点在点西北方向米处．点在点的北偏东方向，且点在点的南偏东方向． （1）求的长（结果保留根号）； （2）小明和小华同时从公园点出发前往点，小明选择路线为，步行的速度为每分钟80米； 小华选择的路线，慢跑的速度为每分钟140米，请通过计算说明小明和小华谁先到达点． （参考数据：，，） 26．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为　　　　　　　　　　，的长度为　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 28．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 29．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在中，是边上的中线，则　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）先化简，再求值：，其中 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接并延长交于点Q，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）如图，在正方形中，点F为中点，点E为上一点，满足，点G为线段上一点，若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在正方形中，点M为边上一点，连接并延长，与的延长线交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（       ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 6．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图，在中， ， ， 平分， ，E 为垂足，则 的值为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于点，交于点，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，若，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图1，在中，，，为上一点，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围． x 0 2 6 y 6 0 10．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）随着社会的不断发展，外卖早已从一种偶尔为之的便捷服务，演变为嵌入城市肌理的日常生活方式．小明在公司C处上班，在B处有一家奶茶店，在D处有一家快餐店，外卖员老张和老李在公园A处等待接单，其中点D在点A的正东方向，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点C在点D的东北方向，且米，米． （1）求快餐店D到公司C的距离（结果保留根号）； （2）由于中午天气太热，小明同时在奶茶店和快餐店下单了一杯奶茶和一份快餐，老张接到了奶茶订单，老李接到快餐订单，老张和老李同时从A处出发，两人先各自到店取外卖，再分别按照、线路送到公司C，老张骑车的速度为90米/分，老李骑车的速度为87米/分，请通过计算说明小明先收到奶茶还是快餐？（两人取餐的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 12．（25-26学年九上·重庆十一中教育）文德中学校物理兴趣小组的同学在研究物体受力情况问题时画了如图所示的分析图，重力G的方向竖直向下，支持力 F 的方向与斜面垂直，摩擦力f 的方向与斜面平行，若支持力F与重力 G 方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，在等腰中，于点，，，点为的中点，动点从点出发，沿折线运动，同时动点沿运动，动点，的运动速度均为每秒1个单位长度，当动点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间秒，的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 14．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，在矩形中，，对角线，交于点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时点从点出发，以相同的速度沿射线运动，当点到达点时，点P，Q同时停止，设点运动的时间为（其中），的面积为，的面积为4，DE的长度为． （1）直接写出，与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 15．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）是以等腰的腰为直径的圆，交底于点，过点作于点，交过点的切线于点，交的延长线于点，连接，交于点，若，，则的半径为　　　　　　；连接，交于点，则　　　　　　． 16．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，在圆的内接四边形中，，点为四边形对角线交点，过点的切线与的延长线交于点，若，，则圆半径为　　　　　，　　　　　． 17．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若，，则　　　　　　　，点O到的距离　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，在中，，于点，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 3 2 4 6 6 3 2 19．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图1，平行四边形中，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→C→A运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作垂直于直线于点M．设点P的运动时间为x秒，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围．（结果精确到，误差不超过） 20．（25-26学年九上·重庆万州·期末）在中，，点为上一点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接并延长交于点，交于点，平分交于点，连接，求证：； （3）如图3，点在上，点在上，点在直线上，若，，当取得最小值时，以为边向右侧作等边，连接，当最小时，请直接写出的值． 21．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． （1）如图1，，，求的面积： （2）如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； （3）如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 22．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线、相交于点，为延长线上一点，连接，若，，，则的长度为　　　　　　，的长度为　　　　　　． 23．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，在中，，点是平面内一点，连接，连接交于点． （1）如图1，，，若，求线段的长度； （2）如图2，，，点为线段延长线上一点，连接交于点且，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，．用等式表示线段，与的数量关系并证明； （3）如图3，，点，分别为线段，上的动点且，点为线段的中点，连接，．当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内得，此时以为斜边向右侧构造，，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 24．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，中，以为斜边向的左侧作等腰直角，，，点M是的中点，连接交于点G． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，点E是边上一点，连接，点F是的中点，连接，，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）问条件下，若，当点D到直线的距离取得最大值时，请直接写出此时的面积． 25．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，以的斜边为直径作圆O，经过点F，点F为弧的中点，切线与直径延长线相交于点D，连接与直径相交于点P，，当时，则　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　． 26．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，在三角形中，，D为上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点D在边上，延长交于点E，，，求的长； （2）如图2，若点D在延长线上，延长交于点E，交于点G，求证：； （3）若点D在边上，P为边上一点，N为上方一点，，连接，H为上一点，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 27．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图，矩形，，，点H为上一点，将沿着翻折至，与交于点E，连接交于点F，．则　　　　　　　；的长为　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，为圆的直径，为切线，与圆交于点，，，则的长为　　　　　　；连接并延长交圆于点，点为点下方圆上一点，且，连接，则的长为　　　　　　． 29．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，等边三角形中，点D在上，连接． （1）如图1，若，，请求出的长度； （2）如图2，点E在上，且，连接与交于点G，延长至点F，连接，满足，求证：； （3）如图3，点E在上，且，与交于点G，点P在边上，连接，，点Q为射线上一点，连接，当取得最大值，且为等腰三角形时，直接写出此时的面积． 30．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，线段是的直径，点B在上，四边形是平行四边形，于点E，边交于点G，连接交于点M，点M平分，若，，则的长度为　　　　　　；连接交于点N，则的长度为　　　　　　． 31．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，四边形是平行四边形，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，，点A在反比例函数的图象上，点D是线段与反比例函数图象的交点，且点D的纵坐标为1． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）点P是x轴正半轴上一点，点Q是平面内一点，当以点A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 32．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，点是边上一点，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，，． （1）如图1，延长交于，当点在线段上时，连接，若为的角平分线，求的度数（用的代数式表示）； （2）如图2，当点在线段上时，连接，，若为的角平分线，求证：； （3）如图3，点为内一点，连接，，且，过点作于点，于点，连接，若，，，求的最小值． 33．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图，已知在中，点在直线上，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，若点在线段上，平分，，，求的长度； （2）如图2，若点在线段上，延长至点，连接，满足，求证； （3）如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点为的中点，连接，在点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 34．（25-26学年九上·重庆南开中学校）在中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点． （1）如图，点是的中点，连接，若，，求的长度； （2）如图，当时，延长与的角平分线交于点，连接，连接与交于点，求证：； （3）如图，在（）的条件下，在线段上取一点，使得，将绕点逆时针旋转至，连接．若，当最小时，请直接写出点到直线的距离． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为　　　　　　　　　　　． 2．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当   之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） （1）求的长． （2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 3．（九·重庆铜梁·期末）如图，五边形是校园内的一个小湖，五边形各边构成环湖步道，线段是连接小湖南北的一条步道，步道的中点O处因施工修建一个中心小亭而不能通行．已知点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向，点C在点D的南偏西方向，测得米，米，米．（参考数据：，，） （1）计算步道的长度； （2）小新同学步行从A去往D处，他有两条路线可以选择：①；②． 请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 4．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，四边形是某城市的休闲步道，小明家在点处，点处是超市，点处是公园，点处是书店．经测量，点在的正南方向，点在的西南方向，点在的正西方向，米，米，点在点的北偏西方向上． （1）求步道的长度（精确到个位）； （2）周末，小明和父亲在公园处晨练，结束后两人同时步行回家，已知：小明速度为70米/分，沿的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：，） 5．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） （1）求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 6．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）为了满足市民健身需求，万州区市政部门在望江公园内沿江边修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向．（参考数据： （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小花准备从点跑步到点去见小华，小花决定选择一条较短线路，请计算说明小花应选择路线，还是路线？ 7．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）第十二届世界城市日在重庆举办，“半山崖线步道”及“嘉陵江滨江路”吸引了众多游客打卡，小玉打卡了半山崖线步道，小雅打卡了嘉陵江滨江路、如图，，，， 在同一平面内，他们同时从步行出发，约定在处汇合．小玉先从沿南偏东的方向游览千米到达处，然后继续向的北偏东方向游览到达处，最后沿着 的北偏东方向到达处，且小玉在和两地都停留了分钟拍照、小雅先从沿正东方向游览至处并停留分钟拍照，再沿的南偏东方向到达处，恰好在的正北方向 千米处． （1）求，两地之间的距离（结果保留根号）； （2）若小玉游览速度为千米时，小雅游览速度为千米时，请问小玉和小雅谁先到达处？通过计算说明（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 8．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 9．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 10．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） （1）求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 11．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆9米的处安置高为米的测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为． （1）若时求拉线的长；（结果保留根号） （2）如果拉线与视线恰好相等时，求的值； （3）若，请你比较从点到点的两种连接方式：方式一：和方式二：．哪种方式长度更短．（） 12．（25-26学年九上·重庆川外基础教）小明和小华相约从家同时出发前往某公园赏花．如图，小明从家A处出发，乘坐公交车途经E处到F处，再从F处跑步到达公园Ｃ处，已知点E在A的北偏东方向，点F在E的东北方向，点C在F的正东方向，且相距千米；小华从家里B处出发骑自行车途经D处到达终点C处，已知点B在点A的正东方距离2千米处，点B在D的南偏西方向，点C在D的正北方向，且相距4千米，相距千米．（，，，，，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小明坐公交车时车的速度为900米/分钟，小明跑步的速度为100米/分钟；小华骑自行车的速度为230米/分钟：若两人同时从自己家里出发，请通过计算说明谁先到达终点？（计算结果保留一位小数） 13．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，港口在货物集散地的南偏东度方向的海里处，在货物集散地的南偏西度方向上，且位于的正西方向上，小镇位于的西北方向，且在的北偏东度方向上．（参考数据：，，） （1）求的距离（结果保留小数点后一位）； （2）现在，货船都停靠在港口，其中货船甲要将集散地的货物运往小镇，货船乙要将集散地的货物运往小镇，已知货船甲的速度是海里每小时，货船乙的速度是海里每小时，两货船同时出发，不计装货时间，请问哪艘货船先到达小镇（结果保留小数点后两位）？ 14．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：）    （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 15．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处．（参考数据：，，） （1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为60米分，小红步行的速度为50米/分，请通过计算说明谁先到达景点． 16．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 17．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，两艘运输船从海岛B出发，在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西方向上，海岛C在海岛D的北偏西方向上．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）甲、乙两艘运输船同时从海岛B出发，前往海岛C装卸物品（装卸物品的时间相同），之后甲船开往海岛A，乙船开往海岛D．已知甲船的速度为每小时40海里，乙船的速度为每小时30海里，请通过计算说明甲船和乙船谁先到达目的地． 18．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离（即的长度）．已知测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小张在处测得标语牌顶部点的仰角为，，且图中点在同一平面内，求的长．（参考数据：，，） 19．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是100米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 20．（25-26学年九上·重庆合川中学）如图，A、B、C、D分别是某旅游城市的四个景区．D在A的正南方向，千米．B 在A的北偏东方向，且在D的东北方向．C在A的北偏西方向，且在D的西北 方向．（参考数据： ，，） （1）求的长度（结果精确到1千米）； （2）小鲁、小能两人驾车从景区A出发去景区D．小鲁选择的路线为：A→C→D，小能选择的路线为：A→B→D．已知小鲁比小能早出发半小时，小鲁的速度为35千米/小时，小能的速度为55千米/小时．请通过计算说明谁先到达景区D? 21．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正西方向20千米的处，乙无人机位于的南偏东方向40千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏东方向上．（参考数据：，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿，往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．请问甲无人机飞离处多少千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 22．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． ．    （1）求显示屏所在部分的宽度； （2）求镜头A到地面的距离． （参考数据：，，，结果保留一位小数） 23．（25-26学年九上·重庆南开中学校）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） （1）求的长度； （2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 24．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）寒假期间，小金和小童打算奔赴冰韵浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，沿途更是风光旖旎，一路美景相伴．该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：，） （1）求北环线的长度（结果保留小数点后一位）； （2）小金选择走北环线，小童选择走南环线，两人同时从景点出发，小金在途中发现小童的照相机落在自己背包里了，于是小金决定到之后前往与小童汇合，已知小金的步行速度与小童的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 25．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）周末小明和小亮准备去公园做义务安全员．如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点C位于景点A的正北方向，景点D位于景点C的南偏东方向且距离C处400米处，景点E位于景点C的正西方向，景点D位于景点A的东北方向，景点B位于景点A的正西方600米处．（参考数据：，，，） （1）求景点A到景点C的距离（结果用根号表示）； （2）小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点B出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达P处时，小亮刚好到达边上的Q处，此时，P处到景点A的距离与Q处到景点A的距离相等，求的长度（结果保留整数）． 26．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，重庆市少年儿童图书馆焕新亮相于重庆园博园附近．如图，、、、在同一平面内．图书馆在的东北方向上，且在少年宫的北偏西60°方向上，园博园正门在的正南方向千米处，且在少年宫的南偏西方向1千米处．（参考数据：，，） （1）求图书馆与少年宫之间的距离（结果保留根号）； （2）小依和小钟相约图书馆阅读，小依从少年宫出发，沿着方向匀速运动，同时小钟从园博园正门出发，沿北偏东某方向匀速直线运动，两人在上某处相遇后再一起前往图书馆．已知小钟速度为小依速度的倍，求两人的相遇点距目的地的距离．（结果保留小数点后两位） 27．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西方向海里处，同时在观测点D的北偏西方向处；观测点D既在A的北偏东方向处，同时又在C的北偏西方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在上且距离A点100海里处．（参考数据：，，） （1）求的距离（结果保留根号）； （2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？（结果保留小数点后一位） 28．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）近日，某高校“益路同行”志愿服务队受邀参加2025年全国青少年公益实践成果展．队员们将从学校南门集合点处出发，乘车前往展会主会场点处，开展为期两天的公益项目现场演示、互动体验活动与跨校志愿经验分享．出发前，家长志愿者协助查询了两条不同的出行线路，一条以城市快速路为主，全程无红绿灯干扰；另一条途经多个居民区，可顺路完成小型公益宣传预热．路线如图：①；②．经勘测，点在点的正南方向，且在点的北偏西30°方向；点在点的东南方向，在点的正东方向，且在点的东北方向12千米处；点在点的正东方向千米处． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）由于时间紧迫，受邀的志愿服务队成员决定选择一条较短的路线到达主会场，请通过计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：，，） 29．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西60°方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）小崔和小程两人从景点C骑自行车出发去景点D．小崔选择的路线为，且速度为200米/分钟，小程选择的路线为，且速度为220米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到0.1） 30．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，． （参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到） 31．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发沿不同路线向C港运送货物，甲货轮沿路线运送货物，乙货轮沿路线运送货物．已知D位于A的正北方50海里处，C位于D的正东方，B位于A的东南方向，E位于B的正北方，C位于E北偏东方向海里处，且位于B的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求C与D之间的距离．（结果保留根号） （2）受恶劣天气的影响，C港失去了甲、乙两艘货轮的位置信息，C港立即让位于E处的信号塔定位甲、乙两艘货轮，若距离信号塔30海里范围内均能成功定位，其中甲货轮平均速度为20海里每小时，乙货轮平均速度为25海里每小时，请通过计算说明信号塔先定位到哪艘货轮？（结果保留一位小数） 32．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向．（参考数据：，） （1）求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； （2）甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②．已知甲班的步行速度为千米/小时，且在途经点B处休息了1小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．（结果精确到） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）的值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 解：． 故选：C． 2．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）的值是（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 根据角的锐角三角函数值即可解答． 【详解】 解：． 故选A． 3．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查解直角三角形，如图，过点作于．利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】 解：如图，过点作于． 在中， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，中，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先根据，可得，然后根据余弦的求法，求出的值是多少即可． 【详解】 解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】 本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在中，，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据勾股定理，得，根据计算解答即可． 本题考查了勾股定理，余弦的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（2026·重庆广益中学·模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了锐角三角函数的定义，根据勾股定理，可得、的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】 解：如图，连接， 由勾股定理，得，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 故选：D． 7．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC＝12，则sinB的值是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，直接运用三角函数的定义求解． 【详解】 解：如图， ∵AB=13，AC=12, ∴sinB==． 故选B． 【点睛】 本题主要考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答． 8．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）比较，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】 解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增， ， 又∵（余弦函数递减，）， 综上，． 故选：D． 9．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质求出三角函数值即可. 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5， ∴sinB＝=．         故选D． 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键. 10．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）计算：＝　　　　　． 【答案】 【分析】 利用负指数幂的公式和特殊角的三角函数化简即可． 【详解】 解： =+2× =． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了负指数幂，特殊角的三角函数值，牢记负指数幂的公式是解题的关键． 11．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）计算：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求特殊角的三角函数值，求一个数的立方根． 根据特殊角的三角函数值及立方根的定义进行运算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 12．（2026·重庆广益中学·模拟）计算：　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据计算即可得． 【详解】 解：， 故答案为：． 13．（2026·重庆育才中学校·三模）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值，并计算平方根，然后进行有理数运算． 【详解】 原式 ． 故答案为：． 14．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查计算，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、有理数乘法与有理数加法运算等知识，先由特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算分别计算各部分，再由有理数乘法与加法运算求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算是解决问题的关键． 【详解】 解： ， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 16．（25-26学年九上·重庆万州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，求代数式的值，先根据整式的混合运算以及分式的混合运算法则进行化简，再根据特殊角的三角函数值的混合运算法则求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】 解： ． 又． 当时， 原式 ． 17．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解： ， 当时， 原式． 18．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】 本题考查了整式和分式的混合运算以及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据整式和分式的混合运算法则展开计算，再把化简后的x的值代入计算即可． 【详解】 解： ； ∵ ， ∴当时，原式． 19．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，在平行四边形中，，，点P从点B出发，沿线段向点A运动，到达点A时停止．过点P作的垂线，交折线于点Q，设，． （1）请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）一次函数与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数b的取值范围． 【答案】（1）     （2） 图象如下 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．     （3）      【分析】 本题主要考查平行四边形的性质、三角函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）过C作于M，过A作于N，由题意易得四边形为矩形，则有，然后可分当时和当时，进而问题可求解； （2）根据（1）可画出图象，然后根据图象可进行求解； （3）分别求出经过，，时，b对应的值，分析即可求解． (1) 小问详解： 解：过C作于M，过A作于N， ． 四边形是平行四边形， ． ． 四边形是矩形． ． ，， ． ， ． 当时，． 当时，． 与x的函数表达式为 ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）知 由图可知，当时， 当经过时，． 由图可知，当时， 当经过时，解得． 由图可知，当时， 当经过时，解得． 有且仅有2个交点， ． 20．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3 （2）， 【分析】 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程等知识点，能正确求出每一部分的值，利用公式法求解方程是解此题的关键． （1）先计算乘方与开方，并化简绝对值，代入三角孙函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）利用公式法求出方程的解即可． 【详解】 解：（1）原式 ． （2）， ，，，， ， ，． 21．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】 本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，先根据分式的混合运算法则，进行化简，代入特殊角的三角函数值，求出的值，再代入化简后的分式中计算即可． 【详解】 解：原式 ； 当时， 原式 ． 22．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角函数的混合运算，整式的混合运算． （1）先计算三角函数和绝对值，再计算加减即可； （2）先计算乘法，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 23．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： ， ， ， ， 解得，． 24．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】 本题考查的是分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值．先根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算得到答案． 【详解】 解：  ，  ∵， ∴原式 ． 25．（25-26学年九上·重庆万州·期末）秋冬时节，万州高峡平湖水天一色，景色宜人．某个周末，小明和小华相约去南滨公园游玩，四边形是南滨公园的步道路线，点在点的正东方向，点在点北偏西方向，同时点在点西北方向米处．点在点的北偏东方向，且点在点的南偏东方向． （1）求的长（结果保留根号）； （2）小明和小华同时从公园点出发前往点，小明选择路线为，步行的速度为每分钟80米； 小华选择的路线，慢跑的速度为每分钟140米，请通过计算说明小明和小华谁先到达点． （参考数据：，，） 【答案】（1）的长为．     （2）小明先到达点D．      【分析】 本题考查了方位角的应用，以及解直角三角形的应用，解决本题的关键是添加适当的辅助线利用特殊角的正弦值，余弦值以及正切值求解． （1）作辅助线构造直角三角形，求解出的长度，由此可求解的长度； （2）作辅助线构造直角三角形，求解出与的长度，再分别计算出小明和小华的路线长，计算出小明和小华所需的时间，根据时间判断即可． (1) 小问详解： 解：过点D作交的延长线于点E，如图① ， 在中，， ． 在中，，， ． 答：的长为． (2) 小问详解： 解：过点B作交于点F，如图② ， ，， ，， ， 在中，， ， 在中， ， 小明走的路线长：， 小华走的路线长：． 小明所需时间：分钟． 小华所需时间：分钟， 答：小明先到达点D． 26．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为　　　　　　　　　　，的长度为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 连接，，，由垂径定理可得，，由勾股定理可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由可得，进而可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，令，则，，由可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，即，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】 解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 故答案为：，． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 27．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查分式的化简求值，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算是解题关键． 先化简原式，再计算的值，最后代入求值． 【详解】 解：原式 = =， = = =， 将代入原式，得原式． 28．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 先进行整式的混合运算，同时括号内进行异分母减法运算，再进行分式的乘除运算，最后通分计算结果为，将x化简后代入求值． 【详解】 解：                             ； ∵， ∴原式． 【点睛】 本题考查整式的运算，分式的运算，代入求值，特殊角的三角函数，负指数，掌握相关知识是解决问题的关键． 29．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在中，是边上的中线，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据，不妨设，根据勾股定理，得，取的中点E，连接，利用三角形中位线定理，正切函数的定义解答即可． 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，正切函数的定义，正弦函数的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】 解：根据，不妨设， 根据勾股定理，得， 取的中点E，连接， ∵是边上的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】，36 【分析】 根据分式的运算进行化简，后根据负整数指数幂，特殊角三角函数值计算确定ｘ的值，代入求值即可． 本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵， ∴原式． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，在中，由勾股定理得，即可解题． 【详解】 解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴； ∵为的中点， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中， ∵，， ∴， ∴； 在中， ， ∴， 在中，由勾股定理得． 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用正方形性质及中点条件，证明，得出．根据三角函数关系及已知，求出、、、、的长度．由得到，利用相似三角形对应边成比例求出的长度． 【详解】 ∵四边形是正方形，、分别为边、的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题关键是利用正方形性质证明三角形全等与相似，结合相关性质和线段长度关系逐步推导． 3．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接并延长交于点Q，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点Q作于点，由正方形得到，则，，然后得到，可得，则，再解，表示出，然后根据表示出即可． 【详解】 解：过点Q作于点， 解：∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确利用正方形的性质证明相似三角形，利用相似三角形的性质求解． 4．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）如图，在正方形中，点F为中点，点E为上一点，满足，点G为线段上一点，若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将绕点顺时针旋转得到，在上取点，使得，连接，过点作于点，设正方形的边长，，进而得出，依次证明，， ，从而推出是等腰直角三角形，证明，求出，再利用勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，在上取点，使得，连接，过点作于点， 设正方形的边长，，则， 点F为中点， ， ， 在中， ， ， ，， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 在和中， ， ， ，，， 在和中， ， ， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形的应用等知识，正确作辅助线，利用数形结合的思想解决问题是关键． 5．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在正方形中，点M为边上一点，连接并延长，与的延长线交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（       ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，可求出，则可求出，证明得到，，则可得到；设，则，，解直角三角形得到，则可求出，；证明，可得，则． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴可设， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图，在中， ， ， 平分， ，E 为垂足，则 的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：B． 7．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于点，交于点，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 过点作于，作于，过点作，设正方形的边长为，则可得，由，则，由是正方形可知，可得，，进而可得，计算出，再可证，则可得，由此可得，从而可得，，利用，可得，从而可得，即可求得的值． 【详解】 解：如图，过点作于，作于，过点作，则， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，点为中点， ∴，，， ∴在中， ∴， ∴在中， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴在中， ∴在中， 设与相交于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中， ∴． 故选：A． 8．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，若，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 过点作，，可证，设，可得：，，，根据可证，根据全等三角形的性质可知，可以求出，根据正切的定义求值即可． 【详解】 解：如下图所示，过点作，， 则有， ， ， ， 点在线段上，设， ， ， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ．   故选： A． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造全等的直角三角形． 9．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图1，在中，，，为上一点，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围． 【答案】（1）     （2） 如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值；     （3）或      【分析】 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象： （1）先利用勾股定理求出，则，再分点P在和上两种情况，过点作于，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可； （3）根据（2）的图象，分两种情况讨论，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵ ∴； 当，即点在上时，过点作于， 由题意得：， ∴， ∴； 当，即点在上时， ∴ ∴； 综上所述， ； (2) 小问详解： 解：列表格如下： 如图所示，即为所求； x 0 2 6 y 6 0 由函数图象可知，当时，y有最大值； (3) 小问详解： 如图所示， 当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 即，解得 当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 即，解得 根据函数图象，可得当时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 综上所述：或时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点 10．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　． 【答案】① 4    ② 【分析】 本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 连接，，，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半径，再用三角函数求出的长即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，， 是的切线， ， ， ， 于点，， ， 设， 为的中点， ， ， ， ， 在中， ， ， ，即的半径为4． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 11．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）随着社会的不断发展，外卖早已从一种偶尔为之的便捷服务，演变为嵌入城市肌理的日常生活方式．小明在公司C处上班，在B处有一家奶茶店，在D处有一家快餐店，外卖员老张和老李在公园A处等待接单，其中点D在点A的正东方向，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点C在点D的东北方向，且米，米． （1）求快餐店D到公司C的距离（结果保留根号）； （2）由于中午天气太热，小明同时在奶茶店和快餐店下单了一杯奶茶和一份快餐，老张接到了奶茶订单，老李接到快餐订单，老张和老李同时从A处出发，两人先各自到店取外卖，再分别按照、线路送到公司C，老张骑车的速度为90米/分，老李骑车的速度为87米/分，请通过计算说明小明先收到奶茶还是快餐？（两人取餐的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 【答案】（1）米     （2） 小明先收到快餐，理由：由题意得： ， 在中，米， （米）， （米， 在中，（米）， （米）， 米， 老张骑车的速度为90米/分，老李骑车的速度为87米/分， 老李需要的时间（分）； 老张需要的时间分； 分分， 老李先送到，即小明先收到快餐．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：如图，延长，，过点作交于点，过点作交于点， ， 由题意得：，，， 在中，米， （米）， 米， （米）， 在中，（米）， 快餐店D到公司C的距离米； (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·重庆十一中教育）文德中学校物理兴趣小组的同学在研究物体受力情况问题时画了如图所示的分析图，重力G的方向竖直向下，支持力 F 的方向与斜面垂直，摩擦力f 的方向与斜面平行，若支持力F与重力 G 方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为　　　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查平行线的性质及直角三角形中两锐角互余，掌握两直线平行，则同位角相等是解题的关键． 作斜面的平行线得到，继而可求，再由角与互余求解即可． 【详解】 如图作斜面的平行线，    则（两直线平行，则同位角相等）， 又支持力 F 的方向与斜面垂直， 又重力 G 的方向竖直向下， ． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，在等腰中，于点，，，点为的中点，动点从点出发，沿折线运动，同时动点沿运动，动点，的运动速度均为每秒1个单位长度，当动点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间秒，的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） ，．     （2）图见解析，当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．     （3）．      【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得，解直角三角形得出，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，作于，于，于，再由三角形面积公式计算得出，，，再由三角形的面积公式，分情况讨论即可得出结果； （2）根据（1）中计算得出的函数表达式画出函数图象，结合函数图象写出性质即可； （3）根据函数图象即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵在等腰中，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 如图：作于，于，于， ∵，，， ∴，，， 当点在上运动时，即时，则， 当点在上运动时，即时，则，此时； 综上所述， ， 由题意可得：，故， ∴； (2) 小问详解： 解：画出函数图象 所示： 由图象可得：当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小； (3) 小问详解： 解：由图象可得：时，的取值范围为． 【点睛】 本题考查了一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 14．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，在矩形中，，对角线，交于点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时点从点出发，以相同的速度沿射线运动，当点到达点时，点P，Q同时停止，设点运动的时间为（其中），的面积为，的面积为4，DE的长度为． （1）直接写出，与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 【答案】（1） ，     （2） 如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大；     （3）当时，      【分析】 本题考查了解三角形、一次函数和反比例函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形性质求得，，，，然后分当点在或上时两种情况讨论，然后即可求解； （2）根据（1）所得解析式进行描点作图，然后分析图像，即可得到函数的性质， （3）联立函数解析式得方程组，求出交点坐标，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵在矩形中，，对角线，交于点， ∴，，， 作，，垂足分别为点和点，如图： ∴，， ∴，， 即， 解得：，， 当点在上时，即， ，即， 当点在上时，作，垂足为，连接和，如图： ∴， 即，解得：， ，即， 综上所述： ，； (2) 小问详解： 解：函数的性质：当时，随的增大而增大， (3) 小问详解： 解：联立函数： ， 解得：， ∵， ∴，即和在第一象限的交点横坐标为， 联立函数： ，解得：，， ∵，即和在第一象限的交点横坐标为， 综上所述：当时，； 15．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）是以等腰的腰为直径的圆，交底于点，过点作于点，交过点的切线于点，交的延长线于点，连接，交于点，若，，则的半径为　　　　　　；连接，交于点，则　　　　　　． 【答案】① 1    ② 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的相关计算等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由圆的切线得到，对运用勾股定理求解；连接，柑橘圆周角定理以及互余证明，则，证明，可得，则，那么，可得，则，证明，可设，则，那么，解得：，由勾股定理可求，由平行得到，求出，最后再由即可求解． 【详解】 解：∵是的切线， ∴， ∴； 连接，       ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1；． 16．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，在圆的内接四边形中，，点为四边形对角线交点，过点的切线与的延长线交于点，若，，则圆半径为　　　　　，　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、相似三角形及解直角三角形的综合应用等，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系找到角的关系，结合三角函数和相似三角形求解． 连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，先证明，结合，得出，设，则，，利用，得，求出，即可求半径，利用平行证明，，利用，求出，即可得，利用相似的性质即可求解． 【详解】 解：如图，连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，得， ∴， ∵， ∴，即，即， 解得：． 故答案为：，． 17．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若，，则　　　　　　　，点O到的距离　　　　　　　． 【答案】① 8    ② 【分析】 如图所示，连接，过点作，根据垂径定理得出，根据，求出，根据与相切，得出，从而求出，，即可得，证明是等边三角形，得出，根据F为的中点，得出，证明是直角三角形，勾股定理求出，等面积法即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，过点作， 是的直径， ∵， ∴， ∵与相切， ，， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即点O到的距离． 故答案为：8，． 【点睛】 本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 18．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，在中，，于点，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） ；     （2） 函数图象如下： 函数有最大值为；     （3）或．      【分析】 （1）根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出，设点运动的路程为，当时，点在上，则，过点作，垂足为，利用三角形面积先求出，再得到；当时，点在上，则，过点作，垂足为，利用正弦值得出，再根据三角形面积得到；求出，即可得到； （2）列表描线画出函数图象，再结合图象写出函数的一条性质即可； （3）根据（2）所得函数图象以及交点作答即可． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， 设点运动的路程为， 当时，点在上，则，如图，过点作，垂足为， ， ， ； 当时，点在上，则，如图，过点作，垂足为， ， ， ， 综上可知， ； ， ； (2) 小问详解： 解：列表如下： 3 2 4 6 6 3 2 (3) 小问详解： 解：由图象可知，函数时x的取值范围或． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，求函数解析式，画函数图象，利用函数图象求不等式解集等，利用数形结合的思想解决是关键． 19．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图1，平行四边形中，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→C→A运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作垂直于直线于点M．设点P的运动时间为x秒，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围．（结果精确到，误差不超过） 【答案】（1）     （2） 解：函数图象如图2所示， 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；     （3）      【分析】 （1）①当时，过点C作于E﹒先求出进而求出，解直角三角形即可求出； ②当时，过点C作于E，与① 相同方法即可求出； （2）利用描点法即可画出函数图象，根据函数图象即可得到当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）画出函数图象，得到与交点坐标为，结合图象即可求解﹒ (1) 小问详解： 解：①当时，如图1.1，过点C作于E﹒ ∵， ∴，， ∴在中， ∴﹒ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵于点M． ∴， 即； ② 当时，如图1.2，过点C作于E﹒ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵于点M． ∴， 即﹒ 综上所述，y关于x的函数关系式为 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3， 解方程组 得 ， ∴当时x的取值范围为﹒ 【点睛】 本题考查了等腰三角形性质，解直角三角形，求函数解析式，画函数图象，函数与不等式关系等知识，综合性较强，难度较大，理解题意，正确求出函数解析式是解题关键﹒ 20．（25-26学年九上·重庆万州·期末）在中，，点为上一点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接并延长交于点，交于点，平分交于点，连接，求证：； （3）如图3，点在上，点在上，点在直线上，若，，当取得最小值时，以为边向右侧作等边，连接，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2）见解析     （3）      【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质可得，作于点，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，解直角三角形得出，由勾股定理可得， （2）由等腰直角三角形的性质可得，作于点，连接，则为等腰直角三角形，从而可得，，证明，得出，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）作，作于点，则，从而可得，当点、、在同一直线上，且时，取得最小值，当点运动到点时，为边向右侧作等边，作直线，交于点，交于点，证明，得出，，从而点在直线上运动，计算得出，由垂线段最短可得，当点与点重合，点与点重合时，取得最小时， 由直角三角形的性质求出，作于，则，由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算即可得出结果 (1) 小问详解： 解：∵在中，， ∴， 如图，作于点， ， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 证明：∵在中，， ∴， 如图，作于点，连接， ， 则为等腰直角三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：如图：作，作于点， ， 则， ∴， ∴当点、、在同一直线上，且时，取得最小值，如图所示： ， 当点运动到点时，为边向右侧作等边，作直线，交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点在直线上运动， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由垂线段最短可得，当点与点重合，点与点重合时，取得最小时，如图所示： ， ∵，，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短、三角形外角的定义及性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． （1）如图1，，，求的面积： （2）如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； （3）如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）     （2） 证明：连接，过点G作于点P， ∵，， ∴， ∴， 同理（1）可得， ∴， ∵等边中，于点D， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）过点E作于点G，根据等边三角形的性质得到，求出，即可求出，根据旋转的性质易得，证明，推出，由正切的定义求出，得到，利用勾股定理求出，即可求出的面积； （2）连接，过点G作于点P，根据结合，求出，同理（1）可得，得到，由等边三角形的性质得到，进而得到，易证，得到，求出，证明是等边三角形，得到，根据等边三角形的性质证明，得到，，再求出，易证，得到，得到，即可证明结论； （3）在上取点，使得，连接，由翻折的性质得到为定值，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，由，求出，再证明是的中位线，得到，推出到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，证明，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，利用相似三角形的性质求出，结合图形得到当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值，此时最大值为，过点N作于点T，根据垂直平分线的性质，求出，进而求出，即可求出此时的面积． (1) 小问详解： 解：过点E作于点G， ∵等边中，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在上取点，使得，连接， 由翻折的性质得到为定值， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∴， ∴， 当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值， 此时最大值为， 过点N作于点T， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴此时的面积为． 【点睛】 本题考查旋转和对称的几何变换，涉及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握瓜豆原理是解题的关键． 22．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线、相交于点，为延长线上一点，连接，若，，，则的长度为　　　　　　，的长度为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查圆的综合，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，连接交于，由，得到垂直平分，，则，，根据，得到，再求出，接着根据勾股定理，解得，得到，，最后证明，得到，代入计算，解得． 【详解】 解：连接交于， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴半径， ∵， ∴， 解得， ∴，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：，． 23．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，在中，，点是平面内一点，连接，连接交于点． （1）如图1，，，若，求线段的长度； （2）如图2，，，点为线段延长线上一点，连接交于点且，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，．用等式表示线段，与的数量关系并证明； （3）如图3，，点，分别为线段，上的动点且，点为线段的中点，连接，．当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内得，此时以为斜边向右侧构造，，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作于点，在中，，则，，根据设，则，，勾股定理得出，根据得出，进而求得，根据，求得，进而求得的长，即可求解． （2）结论：，证明得出，则，延长至，使得，连接，进而证明得出，，则，即可求解； （3）过点作，过点作于点，连接，过点作于点，证明，连接，，作关于的对称点，则当在上时，取最小值，进而作出辅助线，解直角三角形，根据的面积为，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，则； (2) 小问详解： 解：， 理由如下：∵， ，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，延长至，使得，连接， 又∵点为线段的中点， ∴， ∵，， ∴ ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴即， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作，过点作于点，连接，过点作于点， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴共线， ∴垂直平分， ∴， 连接，，作关于的对称点， ∴， ∴当在上时，取最小值，此时如图， ∵，点为线段的中点， ∴，， ∴， 过点作于点，则是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折到所在的平面内得， ∴，，则， 此时以为斜边向右侧构造，， 则在以的中点为圆心为半径的圆上运动，当经过点时，取最大值， 设，交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点，作的垂线，垂足为，，交于点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的面积为， ． 24．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，中，以为斜边向的左侧作等腰直角，，，点M是的中点，连接交于点G． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，点E是边上一点，连接，点F是的中点，连接，，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）问条件下，若，当点D到直线的距离取得最大值时，请直接写出此时的面积． 【答案】（1）；     （2）； 证明：如图，过点作交于点，延长交于点，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知， 则， ∴， ，， ， ， ． ， ，， 在中：．     （3）．      【分析】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，解三角形，垂直平分线的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 （1）根据直角三角形的性质得出，确定垂直平分．再解三角形即可； （2）过点作交AD于点，延长交于点，连接，根据全等三角形的判定得出，，，然后利用全等三角形的性质及勾股定理即可得出结果； （3）根据题意得出等腰固定，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆；当时，点到的距离取得最大值，再由勾股定理及解三角形求解即可． (1) 小问详解： 解：在中， ∵点M是的中点， ， 垂直平分． ， ， 在中， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点E作的延长线于点Q，过点C作， 等腰固定， ∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； ∴四点共圆， 根据题意得：点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆， ∴均在圆O上， 当垂足为S时，点到的距离取得最大值． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∵， ， ，， ∵， ∴， ∴在等腰中， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，以的斜边为直径作圆O，经过点F，点F为弧的中点，切线与直径延长线相交于点D，连接与直径相交于点P，，当时，则　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了直角三角形、圆的性质（直径所对圆周角、弧中点性质）、切线性质、相似三角形及三角函数的应用．解题关键是利用圆的性质确定角度关系，结合三角函数和相似三角形求解线段长度． （1）连接，过点B作于H，先求出，根据求出，在中求出，最后根据求得结果； （2）连接，先证明，令，则，根据相似三角形的性质得出，再证，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：连接， ∵点F为弧的中点， ， 为圆的直径， ，， ， ， 在中， 设， 则， 由勾股定理，得， ， 解得，即， 过点B作于H， ， ， ，即， ， 在中， ； （2）连接， 是圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 令，则， ， ，解得， ， ， ， ， 故答案为：． 26．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，在三角形中，，D为上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点D在边上，延长交于点E，，，求的长； （2）如图2，若点D在延长线上，延长交于点E，交于点G，求证：； （3）若点D在边上，P为边上一点，N为上方一点，，连接，H为上一点，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 【答案】（1）     （2） 证明：如图2，以为边作等边三角形，连接，交于M， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）作于G，设，根据等边对等角，得出，利用锐角三角函数得出，，，从而求出，则，，，由旋转的性质可得，进而推出，得到，即可求解； （2）以为边作等边三角形，连接，交于M，结合旋转的性质，证明，得到，，进而得出，由三线合一的性质，得到，，从而推出，，再根据相似三角形对应边成比例，得出，即可得证； （3）根据题意，可以固定，使进行变动，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O，结合圆周角定理，可得点B在上运动，当点B在的延长线上时（图中），最大为的长，设交于G，此时，从而求出，再根据锐角三角函数求出，将绕点B逆时针旋转至，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，连接并延长，交与K，则最大，推出，利用勾股定理得出，即可得解． (1) 小问详解： 解：如图1，作于G， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴是固定大小的等腰三角形， ∴可以固定，使进行变动， 如图3，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O， ∵，， ∴， ∴点B在上运动， ∴当点B在的延长线上时（图中），最大为的长， 设交于G，此时， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点D旋转得到线段， ∴， 将绕点B逆时针旋转至， ∴， ，， ∴点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 连接并延长，交与K，则最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴最大值． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，圆的定义及圆周角定理，二次根式，熟练掌握这些性质与判定，并掌握轨迹圆和主动从动圆是解题的关键． 27．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图，矩形，，，点H为上一点，将沿着翻折至，与交于点E，连接交于点F，．则　　　　　　　；的长为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，折叠，构造辅助线，利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质，勾股定理求出，进而根据正弦定义求出；延长至点，使得，连接交于点，证明，根据的正切列方程求出即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 延长至点，使得，连接交于点， ∴， 由折叠得， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 28．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，为圆的直径，为切线，与圆交于点，，，则的长为　　　　　　；连接并延长交圆于点，点为点下方圆上一点，且，连接，则的长为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 连接，连接，交于点，过作于点，由为圆的直径，则，通过勾股定理求得，根据同角的余角相等得，所以，则有，得，由勾股定理求得，则，所以，又，则，得，，从而可得，所以，通过同弧所对圆周角相等得，所以，，即，，代入得，，求出，，最后通过勾股定理和线段和差即可求出的长． 【详解】 解：如图，连接，连接，交于点，过作于点， ∵为圆的直径， ∴， ∴，， ∵为圆的切线， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质，圆周角定理，同角的余角相等，垂径定理及推论等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 29．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，等边三角形中，点D在上，连接． （1）如图1，若，，请求出的长度； （2）如图2，点E在上，且，连接与交于点G，延长至点F，连接，满足，求证：； （3）如图3，点E在上，且，与交于点G，点P在边上，连接，，点Q为射线上一点，连接，当取得最大值，且为等腰三角形时，直接写出此时的面积． 【答案】（1）     （2） 证明：在上截取，连接． ∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∴ ∴． ∴， ∴． 在和中 ， ∴． ∴，． ∴． 设，则， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴．     （3）或      【分析】 （1）过点D作于点H，由等边三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定理可得的长度； （2）在上截取，连接．先证，可证，通过角度换算得出，，由此可得出； （3）① 作，由定弦定角得A的轨迹为，得半径为，② 当G、O、A三点共线时最大，则，，，，三边之比为，③ 当或 时， 分别得出此时的面积． (1) 小问详解： 解：过点D作于点H， ∵在等边中，， ∴． 在中， ∴，． 在中， ∴． ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：或 ① 作，则，则， ，则， 由定弦定角得A的轨迹为，，半径为， ② 当G、O、A三点共线时最大，则，，，， 则，，，， 三边之比为， ③ 当，，； 当，，． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、定弦定角、解直角三角形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 30．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，线段是的直径，点B在上，四边形是平行四边形，于点E，边交于点G，连接交于点M，点M平分，若，，则的长度为　　　　　　；连接交于点N，则的长度为　　　　　　． 【答案】① 10    ② 【分析】 本题考查了垂径定理，解直角三角形，平行四边形性质，相似三角形性质与判定等知识，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造相似三角形是解题关键．连接，延长，交延长线于点H．先求出，，根据，结合勾股定理求出，．设，根据勾股定理得，求出，．证明，求出，得到，．证明，求出，得到，．证明，得到，即可求出． 【详解】 解：连接，延长，交延长线于点H． ∵直径， ∴． ∵， ∴设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴，． ∵点M平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：10， 31．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，四边形是平行四边形，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，，点A在反比例函数的图象上，点D是线段与反比例函数图象的交点，且点D的纵坐标为1． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）点P是x轴正半轴上一点，点Q是平面内一点，当以点A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）；     （2）△的面积为；     （3）点的坐标为或或或．      【分析】 （1）过点A作轴于G，解，求得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，根据，分别求出即可得到答案； （3）分当、、、为对角线时，四种情况讨论，分别画出图形即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点A作轴于G， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点D作轴于E， 在中，当时， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 当为对角线时，如图， 设， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当为对角线时，如图， 在中，， ∴， ∴， ∵，，菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当为对角线时，如图，作轴于点，作于点， 由题意得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 当为对角线时，如图，作轴于点，轴于点，作于点， 同理， ∴，， 在中， ∴， ∴， ∴． 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查反比例函数的图象及性质，解直角三角形，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 32．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，点是边上一点，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，，． （1）如图1，延长交于，当点在线段上时，连接，若为的角平分线，求的度数（用的代数式表示）； （2）如图2，当点在线段上时，连接，，若为的角平分线，求证：； （3）如图3，点为内一点，连接，，且，过点作于点，于点，连接，若，，，求的最小值． 【答案】（1）；     （2） 证明：在延长线上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 与的交点记为点，则， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在等腰中， ∴， ∴．      （3）．      【分析】 （1）综合三角形外角的性质和角平分线的性质，计算即可； （2）构造全等三角形，结合全等三角形的性质，推导线段之间的数量关系即可； （3）根据直角三角形的性质和三角形外角的性质，确定取最小值的条件，用勾股定理解直角三角形，构造等腰三角形，结合三角形外角的性质，得出含特殊角的直角三角形，解直角三角形，求出线段的长度，结合三角形三边之间的关系，即可求得的最小值． (1) 小问详解： 解：由题意可知，点为与的交点，B、D、A三点共线， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 答：的度数为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， 又∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 连接，取的中点记为，连接，则， ∵于点，于点， ∴， ∴，， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴当最小时，取最小值， 作的垂直平分线，交于点，交的垂直平分线于点，连接，， ，则，， ∴，， 延长交于点， 则，， ∴， 又∵， ∴， 作于点，则，，， ∵， ∴， 连接，则， ∴， ∴， 当点、点、点共线时，取得最小值， 答：的最小值是． 【点睛】 本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线． 33．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图，已知在中，点在直线上，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，若点在线段上，平分，，，求的长度； （2）如图2，若点在线段上，延长至点，连接，满足，求证； （3）如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点为的中点，连接，在点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 【答案】（1）6     （2） 证明：由（1）得：， ∵，， ∴，， 又∵，即， ∴， ∴， 过点E作交的延长线于点H，如图， 则，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即；     （3）      【分析】 （1）利用同角的余角相等得到，利用角平分线的定义和三角形的外角的性质得到，从而得到，从而得解； （2）根据题意可知是等腰三角形，，再利用三角形的外角的性质证明，过点E作交的延长线于点H，从而证明，，得到，继而得到； （3）设，继而求得，，和，结合翻折的性质得到，过点P作交于点O，则点O为的中点，且，那么，点在直线上运动过程中，始终有，则点的运动轨迹为以点A为圆心为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心为半径的圆上运动．当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，求得此时，和，连接，则，进一步求得，求得即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设， ∵， ∴，解得， ∴， 则，解得， ∴， ∵将沿翻折至所在平面得到， ∴， 过点P作交于点O，如图， ∵点为的中点， ∴点O为的中点， 点在直线上运动过程中，始终有，则点的运动轨迹为以点A为圆心为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心为半径的圆上运动． 当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， 此时，，， 连接，则， ∵， ∴， 则． 【点睛】 本题主要考查圆和三角形的综合，难度较大，涉及同角的余角相等、角平分线的定义、三角形外角、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形、切线定理和解直角三角形等知识点，解题的关键是熟悉点的运动轨迹和圆的性质． 34．（25-26学年九上·重庆南开中学校）在中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点． （1）如图，点是的中点，连接，若，，求的长度； （2）如图，当时，延长与的角平分线交于点，连接，连接与交于点，求证：； （3）如图，在（）的条件下，在线段上取一点，使得，将绕点逆时针旋转至，连接．若，当最小时，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）；     （2） 证明：如图，过作于点， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）过作于点，则，由，然后通过旋转性质可得，又点是的中点，则，设，，由勾股定理得，求出的值，从而有，，然后通过勾股定理即可求解； （）过作于点，则，由，则有，，又平分，所以，由旋转性质可得，，则有，可得，，然后证明，根据性质可得，，从而证明垂直平分，所以，，通过在中，即，所以，然后代入即可求证； （）过作，则，，从而求出，所以点的运动轨迹为圆，如图，过作于点，然后求出由勾股定理得：，即可得点的在以为圆心，为半径的圆上，的在以为圆心，为半径的圆上，当三点共线时，取得最小值，因为，所以点共圆，所以取得最小值，点共线，通过求解得，故有点到直线的距离为，然后通过勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过作于点， ∴， ∴， ∵，将绕点逆时针旋转至， ∴， ∵点是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆，如图，过作于点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴点的在以为圆心，为半径的圆上， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴点的在以为圆心，为半径的圆上， 当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴点共圆， ∴取得最小值，点共线，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 由勾股定理得：， ∴点到直线的距离为． 【点睛】 本题考查了勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为　　　　　　　　　　　． 【答案】30 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡比问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果． 【详解】 设这个斜坡的坡角为， 由题意得：， ． 故答案为：30． 2．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当   之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） （1）求的长． （2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】（1）海里     （2）最短      【分析】 本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． (1) 小问详解： 解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里， 在中，（海里）； 在等腰直角中， ∴（海里）； (2) 小问详解： 解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴ （海里）， 则 即选择最短． 3．（九·重庆铜梁·期末）如图，五边形是校园内的一个小湖，五边形各边构成环湖步道，线段是连接小湖南北的一条步道，步道的中点O处因施工修建一个中心小亭而不能通行．已知点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向，点C在点D的南偏西方向，测得米，米，米．（参考数据：，，） （1）计算步道的长度； （2）小新同学步行从A去往D处，他有两条路线可以选择：①；②． 请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 【答案】（1）步道的长度为500米     （2）线路① 路程更短      【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）直接运用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，可得四边形为矩形，得，，则可得的长，在中，由，可计算出，，从而可计算出线路② 的的长度，再计算出线路① 的的长度，进行比较即可判断． (1) 小问详解： 解：∵， 由勾股定理得：（米）， ∴步道的长度为500米． (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（米）， ∴（米）， ∵点C在点D的南偏西方向， ∴， 在中，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∵（米）， ∴， ∴线路① 路程更短． 4．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，四边形是某城市的休闲步道，小明家在点处，点处是超市，点处是公园，点处是书店．经测量，点在的正南方向，点在的西南方向，点在的正西方向，米，米，点在点的北偏西方向上． （1）求步道的长度（精确到个位）； （2）周末，小明和父亲在公园处晨练，结束后两人同时步行回家，已知：小明速度为70米/分，沿的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】（1）566米     （2）小明爸爸先到家，理由： 根据题意，得，， ，． 则（米），（分）， （米），（分）， 小明爸爸先到家．      【分析】 （1）过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，然后在中运用解直角三角形计算即可解题； （2）根据小明和父亲所走的路程和速度求出各自的时间作比较即可． (1) 小问详解： 过点作于点，过点作于点（如答图）． 在中， （米）． 在四边形中， 四边形是矩形， （米）， （米）． 在中， （米）． 答：的长度为566米． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，求出直角三角形的边长． 5．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） （1）求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）千米     （2）3.5千米      【分析】 （1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，解直角三角形求出，，然后求出，证明出四边形是矩形，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可； （2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到，设，则，然后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴（千米）； (2) 小问详解： 如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， ∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发， ∴甲的路程是乙的路程的1.5倍， ∴ 设，则 由（1）得， ∴， ∵ ∴ ∴， ，（舍去）． ∴当两人相遇时，乙一共跑了3.5千米． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 6．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）为了满足市民健身需求，万州区市政部门在望江公园内沿江边修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向．（参考数据： （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小花准备从点跑步到点去见小华，小花决定选择一条较短线路，请计算说明小花应选择路线，还是路线？ 【答案】（1）米     （2） 选择路线， 理由：，， 为等腰直角三角形， 米， 在中， 米， 米， 由题意得， ∵点在点的正南方，点在点的正东方， 在中， 米， 则米， 路线的长为：（米）， 的长为：（米）， ， 小花应选择路线比较．      【分析】 本题考查方位角问题，解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出，再根据正弦的定义即可求出； （2）先根据余弦的定义求得，进而求得，再根据正切的定义求出，进而可求出，分别求出路线、路线的距离，比较即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于， 由题意得，米， 在中， （米）， 由题意得， ， 在中， （米）； ∴的长度为490米． (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）第十二届世界城市日在重庆举办，“半山崖线步道”及“嘉陵江滨江路”吸引了众多游客打卡，小玉打卡了半山崖线步道，小雅打卡了嘉陵江滨江路、如图，，，， 在同一平面内，他们同时从步行出发，约定在处汇合．小玉先从沿南偏东的方向游览千米到达处，然后继续向的北偏东方向游览到达处，最后沿着 的北偏东方向到达处，且小玉在和两地都停留了分钟拍照、小雅先从沿正东方向游览至处并停留分钟拍照，再沿的南偏东方向到达处，恰好在的正北方向 千米处． （1）求，两地之间的距离（结果保留根号）； （2）若小玉游览速度为千米时，小雅游览速度为千米时，请问小玉和小雅谁先到达处？通过计算说明（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 【答案】（1），两地之间的距离为；     （2）小玉先到达 处．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，则有四边形是矩形，所以，，在中，得，在，，从而求解； （）过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则，由题意得，，则，，所以，由（）得四边形是矩形，，在，，，则，所以，，在，，然后分别求出小玉所花时间和小雅所花时间，最后比较即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，，， ∴， ∴在中， ∴， 在，， ∴，两地之间的距离为； (2) 小问详解： 解：如图，过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则， 由题意得，， 则，， ∴， 由（）得四边形是矩形，， 在，，， ∴， ∴，， 在，， ∴ 小玉所花时间为： ； 小雅所花时间为： ， ∵， ∴小玉先到达 处． 8．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】（1）千米     （2）千米      【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米， 根据题意得，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； (2) 小问详解： 解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 9．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】（1），两港之间的距离海里；     （2）甲货轮先到达港．      【分析】 （）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解； （）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． (1) 小问详解： 如图，过作于点， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴，两港之间的距离海里； (2) 小问详解： 由（）得：，，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，（海里）， ∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里）， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 10．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） （1）求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 【答案】（1）海里     （2） 解：过点作于点O， 在中，， ∴， ∴小艇从到用时（小时）， 而检查用时分钟小时， ∴小艇从到再检查用时（小时）， 由题意得：， ∵中， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴用时：（小时）， ∵， ∴能及时将维修配件送达灯塔M．      【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，由题意得：，，，，则，，，解，设，则，解得到，解得，即可求解； （2）过点作于点O，解，求出，可求小艇从到再检查用时小时，可得为等腰直角三角形，则，那么，由勾股定理得，则，那么用时：小时，由，得到能及时将维修配件送达灯塔M． (1) 小问详解： 解：过点作交的延长线于点， 由题意得：，，，， ∴，，， 在中， 设， 则， 在中， ∴， 解得：， ∴海里； (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆9米的处安置高为米的测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为． （1）若时求拉线的长；（结果保留根号） （2）如果拉线与视线恰好相等时，求的值； （3）若，请你比较从点到点的两种连接方式：方式一：和方式二：．哪种方式长度更短．（） 【答案】（1）拉线的长为米     （2）     （3）方式二的长度更短      【分析】 本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）过点A作于点H，可得四边形是矩形，因此米，米，在中，解直角三角形得到米，因此（米），在中，解直角三角形得到（米），即可解答； （2）在中，解直角三角形得到（米），米，从而米，在中，解直角三角形得到∴米，因此（米），再由在矩形得到（米），即可解答； （3）方式一的长度为，方式二的长度为，分别求出它们的长度，再进行比较即可解答． (1) 小问详解： 解：过点A作于点H， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵在中， ∴（米）， ∴（米）， ∵在中， ∴（米）． 答：拉线的长为米． (2) 小问详解： 解：∵在中，米， ∴（米）， 米， ∴米， ∵在中，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴在矩形中，（米）， 即a的值为． (3) 小问详解： 解：由（2）可得米，（米） ∴当时，米， ∴方式一的长度为（米）． ∵在中，米， ∴（米）， ∵，， ∴米， ∴方式二的长度为（米）， ∵， ∴方式二的长度更短． 12．（25-26学年九上·重庆川外基础教）小明和小华相约从家同时出发前往某公园赏花．如图，小明从家A处出发，乘坐公交车途经E处到F处，再从F处跑步到达公园Ｃ处，已知点E在A的北偏东方向，点F在E的东北方向，点C在F的正东方向，且相距千米；小华从家里B处出发骑自行车途经D处到达终点C处，已知点B在点A的正东方距离2千米处，点B在D的南偏西方向，点C在D的正北方向，且相距4千米，相距千米．（，，，，，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小明坐公交车时车的速度为900米/分钟，小明跑步的速度为100米/分钟；小华骑自行车的速度为230米/分钟：若两人同时从自己家里出发，请通过计算说明谁先到达终点？（计算结果保留一位小数） 【答案】（1）千米     （2）小明先到达终点      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，理解题意，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点G，过点E作于点H，交的延长线于点K，则，，，设米，在中，可得到的长度， 在中，可得的长度，从而得到千米，千米，根据，可得，即可求出的长度； （2）分别求出两人达到终点所用的时间，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，延长交于点G，过点E作于点H，交的延长线于点K，则，，， 设米， 在中， ∴千米，千米， 在中，千米， ∴千米，千米， ∵相距千米，点B在点A的正东方距离2千米处， ∴千米，千米， ∴千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米， 在中， ∴， ∴， 解得：， ∴的长度为千米； (2) 小问详解： 解：由（1）得：千米， 小明到达终点所用时间为分钟， 小华到达终点所用时间为分钟， ∵， ∴小明先到达终点． 13．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，港口在货物集散地的南偏东度方向的海里处，在货物集散地的南偏西度方向上，且位于的正西方向上，小镇位于的西北方向，且在的北偏东度方向上．（参考数据：，，） （1）求的距离（结果保留小数点后一位）； （2）现在，货船都停靠在港口，其中货船甲要将集散地的货物运往小镇，货船乙要将集散地的货物运往小镇，已知货船甲的速度是海里每小时，货船乙的速度是海里每小时，两货船同时出发，不计装货时间，请问哪艘货船先到达小镇（结果保留小数点后两位）？ 【答案】（1）54.6海里     （2）货船乙先到达      【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数和边长关系进行计算． （1）过点作，分别在和中，利用三角函数求出、，进而求出的距离； 过点A作，设，分别在和中表示出、，结合的长度求出，再分别计算货船甲、乙的路程和时间，比较时间判断哪艘货船先到达． (1) 小问详解： 解：过点作于点．构造如图所示， 解：由题意，海里，作。交于点， 在中， ， ， ， ，， ， ， 又， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的距离为54.6海里． (2) 小问详解： 过点作于点． 由题意，，设海里， 在中， 在中， ， ， ， ， ，， ， 由（1）得， ， ， 货船乙先到达． 14．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：）    （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 【答案】（1）424米     （2）爸爸先到达D处      【分析】 本题考查了与方向角有关的解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）过点A作于点H，易得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解； （2）由（1）求得的长，从而在中，利用解三角形知识分别求得，分别计算出及，即可计算出到达终点的时间，比较时间即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点A作于点H； 则； 由题意知， 即， 故四边形是矩形， 米，； ， 即是等腰直角三角形， 米， 由勾股定理得：（米）； (2) 小问详解： 解：由（1）知，四边形是矩形， 米， 米； 点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向， ； 在中， 则米，米； （米）， （米）， 则小依到达终点的时间为：（分）， 小依爸爸到达终点的时间为：（分）； 综上，小依爸爸先到达D处． 15．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处．（参考数据：，，） （1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为60米分，小红步行的速度为50米/分，请通过计算说明谁先到达景点． 【答案】（1）景点与景点之间的距离为米     （2）小红先到达景点      【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质； （1）过作于点，分别解，即可得到答案； （2）过点作交于点．证明四边形是矩形，再分别计算两人的路程，进一步计算时间可得答案． (1) 小问详解： 解：过作于点． 由题意得，， 在中，， ， 在中， ， （米） 答：景点与景点之间的距离为米． (2) 小问详解： 解：过点作交于点． 由题意得，， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ，， ， 小明到达所用时间： 分钟 小红到达所用时间： 分钟 小红先到达景点． 16．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】（1）米     （2）小陈先到达体育场D处      【分析】 本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， (1) 小问详解： 解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中， 在中，米， 答：的长度为米． (2) 小问详解： 解：由（1）可知：， ∴． 在中， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 17．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，两艘运输船从海岛B出发，在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西方向上，海岛C在海岛D的北偏西方向上．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）甲、乙两艘运输船同时从海岛B出发，前往海岛C装卸物品（装卸物品的时间相同），之后甲船开往海岛A，乙船开往海岛D．已知甲船的速度为每小时40海里，乙船的速度为每小时30海里，请通过计算说明甲船和乙船谁先到达目的地． 【答案】（1）海里；     （2）甲船先到达目的地．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作交延长线于点，根据题意，结合图形，得到，在中，求出，即可得到结果； （2）过点作于点，过点作于点，求出，进而求出，由（1）知海里，海里，解直角三角形求出，根据题意求出，进而求出，分别计算出甲、乙两船所走过的路程，结合两船的速度，即可得到两船所用的时间，进而得到结果． (1) 小问详解： 解：过点作交延长线与点， 根据题意， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴海里， ∴海里； (2) 小问详解： 解：过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知海里，海里， 在中， ∴海里， 在中， ∴海里， ∵， 在中， ∴海里，海里， ∴甲船走过的路程为（海里）， 乙船走过的路程为（海里）， ∴甲船所用时间为（小时）， 乙船所用时间为（小时）， ∵， ∴甲船先到达目的地． 18．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离（即的长度）．已知测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小张在处测得标语牌顶部点的仰角为，，且图中点在同一平面内，求的长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】 解：延长交于，如图所示： 则， ， ， 由题意可得，， 设，则， ， 在中， ， ， 解得：， ， 答：点到地面的距离的长约为． 19．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是100米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 【答案】（1）424米     （2）爸爸      【分析】 本题主要考查了方向角、解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，做辅助线、将实际问题转化成数学问题成为解题的关键． （1）如图，过点A作于点H；易得是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可； （2）由（1）求得的长，从而在中，利用解三角形知识分别求得，分别计算出及，即可计算出到达终点的时间，然后比较时间即可解答． (1) 小问详解： 解：如图，过点A作于点H；则； 由题意知，即， ∴四边形是矩形， 米，； ，即是等腰直角三角形， 米， 由勾股定理得：（米）。 (2) 小问详解： 解：由（1）知，四边形是矩形， 米， 米； 点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向， ； 在中，， 米，米； ∵①（米）， ②（米）， ∴小依到达终点的时间为：（分），小依爸爸到达终点的时间为：1350÷100=13.5（分）； 综上，小依爸爸先到达D处． 20．（25-26学年九上·重庆合川中学）如图，A、B、C、D分别是某旅游城市的四个景区．D在A的正南方向，千米．B 在A的北偏东方向，且在D的东北方向．C在A的北偏西方向，且在D的西北 方向．（参考数据： ，，） （1）求的长度（结果精确到1千米）； （2）小鲁、小能两人驾车从景区A出发去景区D．小鲁选择的路线为：A→C→D，小能选择的路线为：A→B→D．已知小鲁比小能早出发半小时，小鲁的速度为35千米/小时，小能的速度为55千米/小时．请通过计算说明谁先到达景区D? 【答案】（1）的长度约为39千米；     （2）小鲁先到达景区D．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，30度所对的直角边等于斜边的一半，外角的性质，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，在中求出，，在中求出，即可得到结果； （2）根据题意，分别计算出两人所走过的路程，结合两人的速度，即可得到两人所用的时间，得到结果． (1) 小问详解： 解：如图，过A作于点E，过B作，交的延长线于点F， 根据题意，，，，千米， ∴，，， ∵在中，，千米， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵在中， ∴（千米）， ∵， ∴（千米）， ∴（千米），  ，， （千米）, 答：的长度约为39千米； (2) 小问详解： 解：由（1）知（千米）， ∵小鲁的速度为35千米/小时， ∴小鲁从A→C→D，所用时间为（小时）， 在中，不妨设，则，， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得（千米）， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵小能的速度为55千米/小时， ∴小能从A→B→D，所用时间为（小时）， ∵， ∴小鲁先到达景区D． 21．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正西方向20千米的处，乙无人机位于的南偏东方向40千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏东方向上．（参考数据：，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿，往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．请问甲无人机飞离处多少千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）的长度为千米     （2）甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍．      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长. （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足，求解，，，设，则，可得，解方程即可得到答案. (1) 小问详解： 解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得， 在中，（千米）， （千米）， ∵无人机甲位于A的正西方向20千米的B处，C位于D的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米. (2) 小问详解： 解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足， 由（1）得：，而， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， 答：甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍． 22．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． ．    （1）求显示屏所在部分的宽度； （2）求镜头A到地面的距离． （参考数据：，，，结果保留一位小数） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出，从而可证四边形是矩形，进而可得，，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解： ，与水平地面所成的角的度数为， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为． 过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则． ， ， (2) 小问详解： 解：如图，连接，作垂直反向延长线于点， ，为的中点， ． ，， ． ，， 四边形为矩形，． ， ． ． ， 镜头到地面的距离为． 23．（25-26学年九上·重庆南开中学校）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） （1）求的长度； （2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米     （2） 解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处．      【分析】 本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中， ∴， ∴米； (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）寒假期间，小金和小童打算奔赴冰韵浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，沿途更是风光旖旎，一路美景相伴．该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：，） （1）求北环线的长度（结果保留小数点后一位）； （2）小金选择走北环线，小童选择走南环线，两人同时从景点出发，小金在途中发现小童的照相机落在自己背包里了，于是小金决定到之后前往与小童汇合，已知小金的步行速度与小童的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得北环线的长度即可； （2）过点C作的延长线于点，可得、，设小金的步行速度为，小童的步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小金和小童两人同时到达景点C，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可． (1) 小问详解： 解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：北环线的长度为； (2) 小问详解： 解：过点C作的延长线于点，如图所示： 、， 设小金的步行速度为，小童的步行速度为，两人步行时间为小时， ，， ， 在中，由勾股定理得， ∵小金与小童两人同时到达景点C， ∴， 整理得， ， 解得， 因此南环线的长度为 答：南环线的长度为． 【点睛】 本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 25．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）周末小明和小亮准备去公园做义务安全员．如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点C位于景点A的正北方向，景点D位于景点C的南偏东方向且距离C处400米处，景点E位于景点C的正西方向，景点D位于景点A的东北方向，景点B位于景点A的正西方600米处．（参考数据：，，，） （1）求景点A到景点C的距离（结果用根号表示）； （2）小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点B出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达P处时，小亮刚好到达边上的Q处，此时，P处到景点A的距离与Q处到景点A的距离相等，求的长度（结果保留整数）． 【答案】（1）米     （2）632米      【分析】 本题考查勾股定理、矩形的性质： （1）过作于F，利用勾股定理可得，再求出即可； （2）设，表示出，在中利用勾股定理求出x．过P作于G，在中，利用勾股定理即可求出． (1) 小问详解： 解：由题可知，，， 如图，过作于F： ， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即景点A到景点C的距离为米； (2) 小问详解： 解：如图： 设，则，， 由（1）知， 在中， 则，解得， ∴， 过P作于G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中， 即的长度为632米． 26．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，重庆市少年儿童图书馆焕新亮相于重庆园博园附近．如图，、、、在同一平面内．图书馆在的东北方向上，且在少年宫的北偏西60°方向上，园博园正门在的正南方向千米处，且在少年宫的南偏西方向1千米处．（参考数据：，，） （1）求图书馆与少年宫之间的距离（结果保留根号）； （2）小依和小钟相约图书馆阅读，小依从少年宫出发，沿着方向匀速运动，同时小钟从园博园正门出发，沿北偏东某方向匀速直线运动，两人在上某处相遇后再一起前往图书馆．已知小钟速度为小依速度的倍，求两人的相遇点距目的地的距离．（结果保留小数点后两位） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解直角三角形的实际应用； （1）如图，过作于，过作于，过作于，由题意可得，，，，即可得到，，，，设，则，，根据，解得，最后根据求解即可； （2）设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，设小依运动路程，则小钟运动路程，在中，得到，，则，，再根据，列方程解得，最后代入两人的相遇点距目的地的距离计算即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作于，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 由题意可得，，，， ∴中，， ∴，， 解得，， ∴， ∵中， ∴， 设，则，， ∵中，， ∴，， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 设小依运动路程， ∵小钟速度为小依速度的倍， ∴小钟运动路程， ∵中，， ∴，， ∴，， 中， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴两人的相遇点距目的地的距离． 27．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西方向海里处，同时在观测点D的北偏西方向处；观测点D既在A的北偏东方向处，同时又在C的北偏西方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在上且距离A点100海里处．（参考数据：，，） （1）求的距离（结果保留根号）； （2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）海里；     （2）乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．      【分析】 本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）过点作，垂足为F，则，，再进一步求解即可． （2）设乙巡逻艇距离处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务，过M作，垂足为P，，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：由观测点D既在A的北偏东方向处， 同时又在C的北偏西方向处知：， ∵点B在观测点D的北偏西方向处． ， ∵点B在观测点A的北偏西方向， 过点作，垂足为F，则，． 在中，， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）． (2) 小问详解： 解：由（1）得：在中，，， ∴（海里），（海里）， 设乙巡逻艇距离处海里的处时，此时甲巡逻艇到处，两巡逻艇开始共同执行任务，连接， 过M作，垂足为P，， 在中，， ，，， 在中，海里， 由勾股定理得：， 解得：，（舍去）， （海里）， 答：乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务． 28．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）近日，某高校“益路同行”志愿服务队受邀参加2025年全国青少年公益实践成果展．队员们将从学校南门集合点处出发，乘车前往展会主会场点处，开展为期两天的公益项目现场演示、互动体验活动与跨校志愿经验分享．出发前，家长志愿者协助查询了两条不同的出行线路，一条以城市快速路为主，全程无红绿灯干扰；另一条途经多个居民区，可顺路完成小型公益宣传预热．路线如图：①；②．经勘测，点在点的正南方向，且在点的北偏西30°方向；点在点的东南方向，在点的正东方向，且在点的东北方向12千米处；点在点的正东方向千米处． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）由于时间紧迫，受邀的志愿服务队成员决定选择一条较短的路线到达主会场，请通过计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：，，） 【答案】（1）千米     （2） 线路② ，证明： 作交于， 由题意得：，千米， 四边形是矩形， 由（1）得：千米，千米， （千米），（千米）， （千米）， 根据题意得：， ， （千米）， 在中， ∴（千米）， （千米）， 线路①的路程为：（千米）， 线路②的路程为：（千米）， 选择线路②．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形相关知识点是解题的关键． （1）作交于，由题意得：，， 千米，在中和在中，利用解直角三角形即可求解； （2）作交于，由题意得：，千米，由（1）得：千米，千米，进而可得（千米），根据矩形的性质及等腰三角形的性质、解直角三角形分别计算线路①和线路②的路程，再进行比较即可求解． (1) 小问详解： 解：作交于，如图： 由题意得：，， 千米， ， 在中， （千米）， 在中， （千米）， （千米）． (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西60°方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）小崔和小程两人从景点C骑自行车出发去景点D．小崔选择的路线为，且速度为200米/分钟，小程选择的路线为，且速度为220米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到0.1） 【答案】（1）的长度约为966米     （2）小程先到达景点      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角，然后运用解直角三角形解决问题． （1）过作于，得到，解直角三角形即可得到（米）； （2）根据，得到，求得，得到，则可求出小程的路程，从而求得小程所用时间，根据，，，，可求出小崔的总路程，从而求出小崔的所用时间，比较即可得到结论． (1) 小问详解： 解：过作于， ， ，， ， （米）， 在中，（米）， （米）， 故的长度约为966米； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 在中，（米）， ∴小程所以时间为（分钟）， 在中，米，米， ∴米，米， ∴小崔所以时间为（分钟）， ∴小程先到达景点． 30．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，． （参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到） 【答案】（1）米     （2）小明先达到，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴（米）， （米）， ∴小聪所用时间为：（分钟）， 小明所用的时间为：（分钟）， ∵， ∴小明先到达景点D．      【分析】 本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作于点，分别利用锐角三角函数比求出的长即可； （2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）, （米）， ∴（米）； (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发沿不同路线向C港运送货物，甲货轮沿路线运送货物，乙货轮沿路线运送货物．已知D位于A的正北方50海里处，C位于D的正东方，B位于A的东南方向，E位于B的正北方，C位于E北偏东方向海里处，且位于B的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求C与D之间的距离．（结果保留根号） （2）受恶劣天气的影响，C港失去了甲、乙两艘货轮的位置信息，C港立即让位于E处的信号塔定位甲、乙两艘货轮，若距离信号塔30海里范围内均能成功定位，其中甲货轮平均速度为20海里每小时，乙货轮平均速度为25海里每小时，请通过计算说明信号塔先定位到哪艘货轮？（结果保留一位小数） 【答案】（1）C与D之间的距离为海里     （2）信号塔先定位到乙货轮      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，延长交于点，根据题意得出 ，推出海里，在中利用余弦的定义求出海里，海里，进而得出的长，通过证明四边形是矩形，得出，，在中利用正切的定义求出，即可求解； （2） 由（1）得，海里，海里，根据垂线段最短的性质可知当甲货轮在路线上时，信号塔不能定位甲货轮，设信号塔定位到甲货轮的位置为点，连接，利用勾股定理求出海里，计算出信号塔定位到甲货轮所需时间，作于点，利用三角函数的知识得出海里，根据垂线段最短的性质可知当乙货轮在路线上时，信号塔不能定位乙货轮，设信号塔定位到乙货轮的位置为点，连接，作于点，利用勾股定理求出海里，计算出信号塔定位到乙货轮所需时间，比较二者的时间即可得出结论． (1) 小问详解： 解：如图，作于点，延长交于点，则， 由题意得，，，， ， ， （海里）， 在中，， （海里），（海里）， （海里）， ， 四边形是矩形， 海里， 海里， 在中， ∴海里， ∴海里， ∴海里， 答：C与D之间的距离为海里． (2) 小问详解： 解：由（1）得，海里，海里， 点到直线的距离为海里， 当甲货轮在路线上时，信号塔不能定位甲货轮， 设信号塔定位到甲货轮的位置为点，连接，则海里， （海里）， 海里， 信号塔定位到甲货轮所需时间为（小时）， 作于点，则， ， ， （海里）， 当乙货轮在路线上时，信号塔不能定位乙货轮， 设信号塔定位到乙货轮的位置为点，连接，则海里， 作于点，则， （海里），（海里）， （海里）， （海里）， 在中， 海里， 信号塔定位到乙货轮所需时间为（小时）， 信号塔先定位到乙货轮． 32．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向．（参考数据：，） （1）求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； （2）甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②．已知甲班的步行速度为千米/小时，且在途经点B处休息了1小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．（结果精确到） 【答案】（1）     （2）甲班先到      【分析】 （1）过点C作于点F，过点D作于点E，根据特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，解直角三角形即可； （2）分别求出两个班用的时间，比较后即可得到结论． 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数是关键． (1) 小问详解： 解：过点C作于点F，过点D作于点E， ∵点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向． ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：根据（1），得， 甲选择①，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 乙选择②，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 故甲先到达． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7．B 8．D 9．D 10．【答案】 【分析】 利用负指数幂的公式和特殊角的三角函数化简即可． 【详解】 解： =+2× =． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了负指数幂，特殊角的三角函数值，牢记负指数幂的公式是解题的关键． 11．【答案】 【分析】 本题考查了求特殊角的三角函数值，求一个数的立方根． 根据特殊角的三角函数值及立方根的定义进行运算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据计算即可得． 【详解】 解：， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值，，并计算平方根，然后进行有理数运算． 【详解】 原式 ． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查计算，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、有理数乘法与有理数加法运算等知识，先由特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算分别计算各部分，再由有理数乘法与加法运算求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算是解决问题的关键． 【详解】 解： ， 故答案为：． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 16．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，求代数式的值，先根据整式的混合运算以及分式的混合运算法则进行化简，再根据特殊角的三角函数值的混合运算法则求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】 解： ． 又． 当时， 原式 ． 17．【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解： ， 当时， 原式． 18．【答案】，6 【分析】 本题考查了整式和分式的混合运算以及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据整式和分式的混合运算法则展开计算，再把化简后的x的值代入计算即可． 【详解】 解： ； ∵ ， ∴当时，原式． 19．【答案】（1）     （2） 图象如下 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．     （3）      【分析】 本题主要考查平行四边形的性质、三角函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）过C作于M，过A作于N，由题意易得四边形为矩形，则有，然后可分当时和当时，进而问题可求解； （2）根据（1）可画出图象，然后根据图象可进行求解； （3）分别求出经过，，时，b对应的值，分析即可求解． (1) 小问详解： 解：过C作于M，过A作于N， ． 四边形是平行四边形， ，． ． 四边形是矩形． ． ，， ． ， ． 当时，． 当时，． 与x的函数表达式为 ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）知 由图可知，当时，， 当经过时，． 由图可知，当时，， 当经过时，，解得． 由图可知，当时，， 当经过时，，解得． 有且仅有2个交点， ． 20．【答案】（1）3 （2）， 【分析】 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程等知识点，能正确求出每一部分的值，利用公式法求解方程是解此题的关键． （1）先计算乘方与开方，并化简绝对值，代入三角孙函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）利用公式法求出方程的解即可． 【详解】 解：（1）原式 ． （2）， ，，，， ， ，． 21．【答案】； 【分析】 本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，先根据分式的混合运算法则，进行化简，代入特殊角的三角函数值，求出的值，再代入化简后的分式中计算即可． 【详解】 解：原式 ； 当时， 原式 ． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角函数的混合运算，整式的混合运算． （1）先计算三角函数和绝对值，再计算加减即可； （2）先计算乘法，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 23．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： ， ， ， ， 解得，． 24．【答案】； 【分析】 本题考查的是分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值．先根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算得到答案． 【详解】 解：  ，  ∵， ∴原式 ． 25．【答案】（1）的长为．     （2）小明先到达点D．      【分析】 本题考查了方位角的应用，以及解直角三角形的应用，解决本题的关键是添加适当的辅助线利用特殊角的正弦值，余弦值以及正切值求解． （1）作辅助线构造直角三角形，求解出的长度，由此可求解的长度； （2）作辅助线构造直角三角形，求解出与的长度，再分别计算出小明和小华的路线长，计算出小明和小华所需的时间，根据时间判断即可． (1) 小问详解： 解：过点D作交的延长线于点E，如图① ， 在中，，， ． 在中，，，， ． 答：的长为． (2) 小问详解： 解：过点B作交于点F，如图② ， ，， ，， ， 在中，，， ， 在中，， ， 小明走的路线长：， 小华走的路线长：． 小明所需时间：分钟． 小华所需时间：分钟， ， 答：小明先到达点D． 26．【答案】①     ② 【分析】 连接，，，由垂径定理可得，，由勾股定理可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由可得，进而可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，令，则，，由可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，即，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】 解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：，． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 27．【答案】， 【分析】 本题考查分式的化简求值，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算是解题关键． 先化简原式，再计算的值，最后代入求值． 【详解】 解：原式 = =， = = =， 将代入原式，得原式． 28．【答案】， 【分析】 先进行整式的混合运算，同时括号内进行异分母减法运算，再进行分式的乘除运算，最后通分计算结果为，将x化简后代入求值． 【详解】 解：                             ； ∵， ∴原式． 【点睛】 本题考查整式的运算，分式的运算，代入求值，特殊角的三角函数，负指数，掌握相关知识是解决问题的关键． 29．【答案】 【分析】 根据，不妨设，根据勾股定理，得，取的中点E，连接，利用三角形中位线定理，正切函数的定义解答即可． 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，正切函数的定义，正弦函数的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】 解：根据，不妨设， 根据勾股定理，得， 取的中点E，连接， ∵是边上的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．【答案】，36 【分析】 根据分式的运算进行化简，后根据负整数指数幂，特殊角三角函数值计算确定ｘ的值，代入求值即可． 本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵， ∴原式． 考点02 解直角三角形 1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．A 9．【答案】（1）     （2） 如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值；     （3）或      【分析】 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象： （1）先利用勾股定理求出，则，再分点P在和上两种情况，过点作于，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可； （3）根据（2）的图象，分两种情况讨论，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵ ∴； 当，即点在上时，过点作于， 由题意得：， ∴， ∴； 当，即点在上时， ∴ ∴； 综上所述， ； (2) 小问详解： 解：列表格如下： 如图所示，即为所求； x 0 2 6 y 6 0 由函数图象可知，当时，y有最大值； (3) 小问详解： 如图所示， 当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 即，解得 当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 即，解得 根据函数图象，可得当时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 综上所述：或时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点 10．【答案】① 4    ② 【分析】 本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 连接，，，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半径，再用三角函数求出的长即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，， 是的切线， ， ， ， ， 于点，， ， 设， 为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即的半径为4． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 11．【答案】（1）米     （2） 小明先收到快餐，理由：由题意得： ， 在中，米，， （米）， （米， 在中，，（米）， （米）， 米， 老张骑车的速度为90米/分，老李骑车的速度为87米/分，， 老李需要的时间（分）； 老张需要的时间分； 分分， 老李先送到，即小明先收到快餐．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：如图，延长，，过点作交于点，过点作交于点， ， 由题意得：，，， 在中，米，， （米）， 米， （米）， 在中，（米）， 快餐店D到公司C的距离米； (2) 小问详解： 略 12．【答案】度 【分析】 本题主要考查平行线的性质及直角三角形中两锐角互余，掌握两直线平行，则同位角相等是解题的关键． 作斜面的平行线得到，继而可求，再由角与互余求解即可． 【详解】 如图作斜面的平行线，    则（两直线平行，则同位角相等）， 又支持力 F 的方向与斜面垂直， ， 又重力 G 的方向竖直向下， ． 故答案为：． 13．【答案】（1） ，．     （2）图见解析，当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．     （3）．      【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得，解直角三角形得出，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，作于，于，于，再由三角形面积公式计算得出，，，再由三角形的面积公式，分情况讨论即可得出结果； （2）根据（1）中计算得出的函数表达式画出函数图象，结合函数图象写出性质即可； （3）根据函数图象即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵在等腰中，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 如图：作于，于，于， ∵，，， ∴，，， 当点在上运动时，即时，，则， 当点在上运动时，即时，，则，此时； 综上所述， ， 由题意可得：，故， ∴； (2) 小问详解： 解：画出函数图象 所示： 由图象可得：当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小； (3) 小问详解： 解：由图象可得：时，的取值范围为． 【点睛】 本题考查了一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 14．【答案】（1） ，     （2） 如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大；     （3）当时，      【分析】 本题考查了解三角形、一次函数和反比例函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形性质求得，，，，然后分当点在或上时两种情况讨论，然后即可求解； （2）根据（1）所得解析式进行描点作图，然后分析图像，即可得到函数的性质， （3）联立函数解析式得方程组，求出交点坐标，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵在矩形中，，，对角线，交于点， ∴，，， 作，，垂足分别为点和点，如图： ∴，， ∴，， 即， 解得：，， 当点在上时，，即， ，即， 当点在上时，作，垂足为，连接和，如图： ∴， 即，解得：， ，即， 综上所述： ，； (2) 小问详解： 解：函数的性质：当时，随的增大而增大， (3) 小问详解： 解：联立函数： ， 解得：， ∵， ∴，即和在第一象限的交点横坐标为， 联立函数： ，解得：，， ∵，即和在第一象限的交点横坐标为， 综上所述：当时，； 15．【答案】① 1    ② 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的相关计算等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由圆的切线得到，对运用勾股定理求解；连接，柑橘圆周角定理以及互余证明，则，证明，可得，则，那么，可得，则，证明，可设，则，那么，解得：，由勾股定理可求，由平行得到，求出，最后再由即可求解． 【详解】 解：∵是的切线， ∴， ∴； 连接，       ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1；． 16．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、相似三角形及解直角三角形的综合应用等，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系找到角的关系，结合三角函数和相似三角形求解． 连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，先证明，结合，得出，设，则，，利用，得，求出，即可求半径，利用平行证明，，利用，求出，即可得，利用相似的性质即可求解． 【详解】 解：如图，连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，得， ∴， ∵， ∴，即，即， 解得：． 故答案为：，． 17．【答案】① 8    ② 【分析】 如图所示，连接，过点作，根据垂径定理得出，根据，求出，根据与相切，得出，从而求出，，即可得，证明是等边三角形，得出，根据F为的中点，得出，证明是直角三角形，勾股定理求出，等面积法即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，过点作， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵与相切， ， ，， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即点O到的距离． 故答案为：8，． 【点睛】 本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 18．【答案】（1） ；     （2） 函数图象如下： 函数有最大值为；     （3）或．      【分析】 （1）根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出，设点运动的路程为，当时，点在上，则，过点作，垂足为，利用三角形面积先求出，再得到；当时，点在上，则，过点作，垂足为，利用正弦值得出，再根据三角形面积得到；求出，即可得到； （2）列表描线画出函数图象，再结合图象写出函数的一条性质即可； （3）根据（2）所得函数图象以及交点作答即可． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， 设点运动的路程为， 当时，点在上，则，如图，过点作，垂足为， ， ， ； 当时，点在上，则，如图，过点作，垂足为， ， ， ， 综上可知， ； ， ； (2) 小问详解： 解：列表如下： 3 2 4 6 6 3 2 (3) 小问详解： 解：由图象可知，函数时x的取值范围或． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，求函数解析式，画函数图象，利用函数图象求不等式解集等，利用数形结合的思想解决是关键． 19．【答案】（1）     （2） 解：函数图象如图2所示， 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；     （3）      【分析】 （1）①当时，过点C作于E﹒先求出进而求出，解直角三角形即可求出； ②当时，过点C作于E，与① 相同方法即可求出； （2）利用描点法即可画出函数图象，根据函数图象即可得到当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）画出函数图象，得到与交点坐标为，结合图象即可求解﹒ (1) 小问详解： 解：①当时，如图1.1，过点C作于E﹒ ∵， ∴，， ∴在中，， ∴﹒ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵于点M． ∴， 即； ② 当时，如图1.2，过点C作于E﹒ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵于点M． ∴， 即﹒ 综上所述，y关于x的函数关系式为 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3， 解方程组 得 ， ∴当时x的取值范围为﹒ 【点睛】 本题考查了等腰三角形性质，解直角三角形，求函数解析式，画函数图象，函数与不等式关系等知识，综合性较强，难度较大，理解题意，正确求出函数解析式是解题关键﹒ 20．【答案】（1）     （2）见解析     （3）      【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质可得，作于点，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，解直角三角形得出，由勾股定理可得， （2）由等腰直角三角形的性质可得，作于点，连接，则为等腰直角三角形，从而可得，，证明，得出，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）作，作于点，则，从而可得，当点、、在同一直线上，且时，取得最小值，当点运动到点时，为边向右侧作等边，作直线，交于点，交于点，证明，得出，，从而点在直线上运动，计算得出，由垂线段最短可得，当点与点重合，点与点重合时，取得最小时， 由直角三角形的性质求出，作于，则，由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算即可得出结果 (1) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， 如图，作于点， ， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 证明：∵在中，，， ∴， 如图，作于点，连接， ， 则为等腰直角三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：如图：作，作于点， ， 则， ∴， ∴当点、、在同一直线上，且时，取得最小值，如图所示： ， 当点运动到点时，为边向右侧作等边，作直线，交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点在直线上运动， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由垂线段最短可得，当点与点重合，点与点重合时，取得最小时，如图所示： ， ∵，，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短、三角形外角的定义及性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．【答案】（1）     （2） 证明：连接，过点G作于点P， ∵，， ∴， ∴， 同理（1）可得， ∴， ∵等边中，于点D， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）过点E作于点G，根据等边三角形的性质得到，求出，即可求出，根据旋转的性质易得，证明，推出，由正切的定义求出，得到，利用勾股定理求出，即可求出的面积； （2）连接，过点G作于点P，根据结合，求出，同理（1）可得，得到，由等边三角形的性质得到，进而得到，易证，得到，求出，证明是等边三角形，得到，根据等边三角形的性质证明，得到，，再求出，易证，得到，得到，即可证明结论； （3）在上取点，使得，连接，由翻折的性质得到为定值，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，由，求出，再证明是的中位线，得到，推出到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，证明，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，利用相似三角形的性质求出，结合图形得到当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值，此时最大值为，过点N作于点T，根据垂直平分线的性质，求出，进而求出，即可求出此时的面积． (1) 小问详解： 解：过点E作于点G， ∵等边中，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在上取点，使得，连接， 由翻折的性质得到为定值， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∴， ∴， 当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值， 此时最大值为， 过点N作于点T， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴此时的面积为． 【点睛】 本题考查旋转和对称的几何变换，涉及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握瓜豆原理是解题的关键． 22．【答案】①     ② 【分析】 本题考查圆的综合，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，连接交于，由，得到垂直平分，，则，，根据，得到，再求出，接着根据勾股定理，解得，得到，，最后证明，得到，代入计算，解得． 【详解】 解：连接交于， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴是的中位线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴半径， ∵， ∴， 解得， ∴，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：，． 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作于点，在中，，，则，，根据设，则，，勾股定理得出，根据得出，进而求得，根据，求得，进而求得的长，即可求解． （2）结论：，证明得出，则，延长至，使得，连接，进而证明得出，，则，即可求解； （3）过点作，过点作于点，连接，过点作于点，证明，连接，，作关于的对称点，则当在上时，取最小值，进而作出辅助线，解直角三角形，根据的面积为，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，则； (2) 小问详解： 解：， 理由如下：∵， ，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，延长至，使得，连接， 又∵点为线段的中点， ∴， ∵，， ∴ ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴即， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作，过点作于点，连接，过点作于点， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴共线， ∴垂直平分， ∴， 连接，，作关于的对称点， ∴， ∴当在上时，取最小值，此时如图， ∵，点为线段的中点， ∴，， ∴， 过点作于点，则是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折到所在的平面内得， ∴，，则， 此时以为斜边向右侧构造，， 则在以的中点为圆心为半径的圆上运动，当经过点时，取最大值， 设，交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点，作的垂线，垂足为，，交于点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积为， ． 24．【答案】（1）；     （2）； 证明：如图，过点作交于点，延长交于点，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知，， 则， ∴， ，， ， ， ． ， ，， 在中：．     （3）．      【分析】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，解三角形，垂直平分线的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 （1）根据直角三角形的性质得出，确定垂直平分．再解三角形即可； （2）过点作交AD于点，延长交于点，连接，根据全等三角形的判定得出，，，然后利用全等三角形的性质及勾股定理即可得出结果； （3）根据题意得出等腰固定，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆；当时，点到的距离取得最大值，再由勾股定理及解三角形求解即可． (1) 小问详解： 解：在中， ∵点M是的中点， ， ， 垂直平分． ， ， 在中， ， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点E作的延长线于点Q，过点C作， 等腰固定， ∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； ∴四点共圆， 根据题意得：点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆， ∴均在圆O上， 当垂足为S时，点到的距离取得最大值． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四点共圆， ， ∵， ， ，， ∵， ∴， ∴在等腰中， ∴， ∴， ∴． 25．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了直角三角形、圆的性质（直径所对圆周角、弧中点性质）、切线性质、相似三角形及三角函数的应用．解题关键是利用圆的性质确定角度关系，结合三角函数和相似三角形求解线段长度． （1）连接，过点B作于H，先求出，根据求出，在中求出，最后根据求得结果； （2）连接，先证明，令，则，根据相似三角形的性质得出，再证，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：连接， ∵点F为弧的中点， ，， 为圆的直径， ， ，， ， ， 在中，， 设， 则， 由勾股定理，得， ， 解得，，即， 过点B作于H， ， ， ，即， ， 在中，， ； （2）连接， 是圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 令，则， ， ，解得，， ， ， ， ， 故答案为：． 26．【答案】（1）     （2） 证明：如图2，以为边作等边三角形，连接，交于M， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）作于G，设，根据等边对等角，得出，利用锐角三角函数得出，，，，从而求出，则，，，由旋转的性质可得，进而推出，得到，即可求解； （2）以为边作等边三角形，连接，交于M，结合旋转的性质，证明，得到，，进而得出，由三线合一的性质，得到，，从而推出，，再根据相似三角形对应边成比例，得出，即可得证； （3）根据题意，可以固定，使进行变动，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O，结合圆周角定理，可得点B在上运动，当点B在的延长线上时（图中），最大为的长，设交于G，此时，从而求出，再根据锐角三角函数求出，将绕点B逆时针旋转至，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，连接并延长，交与K，则最大，推出，利用勾股定理得出，即可得解． (1) 小问详解： 解：如图1，作于G， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴是固定大小的等腰三角形， ∴可以固定，使进行变动， 如图3，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O， ∵，， ∴， ∴点B在上运动， ∴当点B在的延长线上时（图中），最大为的长， 设交于G，此时， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点D旋转得到线段， ∴， 将绕点B逆时针旋转至， ∴， ，， ∴点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 连接并延长，交与K，则最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴最大值． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，圆的定义及圆周角定理，二次根式，熟练掌握这些性质与判定，并掌握轨迹圆和主动从动圆是解题的关键． 27．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，折叠，构造辅助线，利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质，勾股定理求出，进而根据正弦定义求出；延长至点，使得，连接交于点，证明，根据的正切列方程求出即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 延长至点，使得，连接交于点， ∴， 由折叠得， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 28．【答案】①     ② 【分析】 连接，连接，交于点，过作于点，由为圆的直径，则，通过勾股定理求得，根据同角的余角相等得，所以，则有，得，由勾股定理求得，则，所以，又，则，得，，从而可得，所以，通过同弧所对圆周角相等得，所以，，即，，代入得，，求出，，最后通过勾股定理和线段和差即可求出的长． 【详解】 解：如图，连接，连接，交于点，过作于点， ∵为圆的直径， ∴， ∴，， ∵为圆的切线， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质，圆周角定理，同角的余角相等，垂径定理及推论等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 29．【答案】（1）     （2） 证明：在上截取，连接． ∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∴ ∴． ∴， ∴． 在和中 ， ∴． ∴，． ∴． 设，则， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，，． ∴． ∴．     （3）或      【分析】 （1）过点D作于点H，由等边三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定理可得的长度； （2）在上截取，连接．先证，可证，通过角度换算得出，，由此可得出； （3）① 作，由定弦定角得A的轨迹为，得半径为，② 当G、O、A三点共线时最大，则，，，，三边之比为，③ 当或 时， 分别得出此时的面积． (1) 小问详解： 解：过点D作于点H， ∵在等边中，，， ∴． 在中，， ∴，． 在中，， ∴． ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：或 ① 作，则，则， ，则， 由定弦定角得A的轨迹为，，半径为， ② 当G、O、A三点共线时最大，则，，，， 则，，，， 三边之比为， ③ 当，，； 当，，． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、定弦定角、解直角三角形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 30．【答案】① 10    ② 【分析】 本题考查了垂径定理，解直角三角形，平行四边形性质，相似三角形性质与判定等知识，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造相似三角形是解题关键．连接，延长，交延长线于点H．先求出，，根据，结合勾股定理求出，．设，根据勾股定理得，求出，．证明，求出，得到，．证明，求出，得到，．证明，得到，即可求出． 【详解】 解：连接，延长，交延长线于点H． ∵直径， ∴． ∵， ∴设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴，． ∵点M平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：10， 31．【答案】（1）；     （2）△的面积为；     （3）点的坐标为或或或．      【分析】 （1）过点A作轴于G，解，求得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，根据，分别求出即可得到答案； （3）分当、、、为对角线时，四种情况讨论，分别画出图形即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点A作轴于G， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点D作轴于E， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 当为对角线时，如图， 设， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当为对角线时，如图， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当为对角线时，如图，作轴于点，作于点， 由题意得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 当为对角线时，如图，作轴于点，轴于点，作于点， 同理， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查反比例函数的图象及性质，解直角三角形，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 32．【答案】（1）；     （2） 证明：在延长线上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 与的交点记为点，则， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴．      （3）．      【分析】 （1）综合三角形外角的性质和角平分线的性质，计算即可； （2）构造全等三角形，结合全等三角形的性质，推导线段之间的数量关系即可； （3）根据直角三角形的性质和三角形外角的性质，确定取最小值的条件，用勾股定理解直角三角形，构造等腰三角形，结合三角形外角的性质，得出含特殊角的直角三角形，解直角三角形，求出线段的长度，结合三角形三边之间的关系，即可求得的最小值． (1) 小问详解： 解：由题意可知，点为与的交点，B、D、A三点共线， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 答：的度数为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴， 又∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 连接，取的中点记为，连接，则， ∵于点，于点， ∴， ∴，， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴当最小时，取最小值， 作的垂直平分线，交于点，交的垂直平分线于点，连接，， ，则，， ∴，， 延长交于点， 则，， ∴， 又∵， ∴， 作于点，则，，， ∵， ∴， 连接，则， ∴， ∴， 当点、点、点共线时，取得最小值， 答：的最小值是． 【点睛】 本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线． 33．【答案】（1）6     （2） 证明：由（1）得：， ∵，， ∴，， 又∵，即， ∴， ∴， 过点E作交的延长线于点H，如图， 则，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即；     （3）      【分析】 （1）利用同角的余角相等得到，利用角平分线的定义和三角形的外角的性质得到，从而得到，从而得解； （2）根据题意可知是等腰三角形，，，再利用三角形的外角的性质证明，过点E作交的延长线于点H，从而证明，，得到，继而得到； （3）设，继而求得，，和，结合翻折的性质得到，过点P作交于点O，则点O为的中点，且，那么，点在直线上运动过程中，始终有，则点的运动轨迹为以点A为圆心为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心为半径的圆上运动．当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，求得此时，和，连接，则，进一步求得，求得即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设， ∵， ∴，解得， ∴， 则，解得， ∴， ∵将沿翻折至所在平面得到， ∴， 过点P作交于点O，如图， ∵点为的中点， ∴点O为的中点，， 点在直线上运动过程中，始终有，则点的运动轨迹为以点A为圆心为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心为半径的圆上运动． 当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， 此时，，，， 连接，则， ∵， ∴， 则． 【点睛】 本题主要考查圆和三角形的综合，难度较大，涉及同角的余角相等、角平分线的定义、三角形外角、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形、切线定理和解直角三角形等知识点，解题的关键是熟悉点的运动轨迹和圆的性质． 34．【答案】（1）；     （2） 证明：如图，过作于点， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）过作于点，则，由，然后通过旋转性质可得，又点是的中点，则，设，，由勾股定理得，求出的值，从而有，，然后通过勾股定理即可求解； （）过作于点，则，由，则有，，又平分，所以，由旋转性质可得，，则有，可得，，然后证明，根据性质可得，，从而证明垂直平分，所以，，通过在中，，即，所以，然后代入即可求证； （）过作，则，，从而求出，所以点的运动轨迹为圆，如图，过作于点，然后求出由勾股定理得：，即可得点的在以为圆心，为半径的圆上，的在以为圆心，为半径的圆上，当三点共线时，取得最小值，因为，所以点共圆，所以取得最小值，点共线，通过求解得，故有点到直线的距离为，然后通过勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过作于点， ∴， ∴， ∵，将绕点逆时针旋转至， ∴， ∵点是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆，如图，过作于点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴点的在以为圆心，为半径的圆上， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴点的在以为圆心，为半径的圆上， 当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴点共圆， ∴取得最小值，点共线，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 由勾股定理得：， ∴点到直线的距离为． 【点睛】 本题考查了勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点03 应用举例 1．【答案】30 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡比问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果． 【详解】 设这个斜坡的坡角为， 由题意得：， ． 故答案为：30． 2．【答案】（1）海里     （2）最短      【分析】 本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． (1) 小问详解： 解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； (2) 小问详解： 解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴ （海里）， 则 即选择最短． 3．【答案】（1）步道的长度为500米     （2）线路① 路程更短      【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）直接运用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，可得四边形为矩形，得，，则可得的长，在中，由，可计算出，，从而可计算出线路② 的的长度，再计算出线路① 的的长度，进行比较即可判断． (1) 小问详解： 解：∵， 由勾股定理得：（米）， ∴步道的长度为500米． (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（米），， ∴（米）， ∵点C在点D的南偏西方向， ∴， 在中，，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∵（米）， ∴， ∴线路① 路程更短． 4．【答案】（1）566米     （2）小明爸爸先到家，理由： 根据题意，得，， ，． 则（米），（分）， （米），（分）， 小明爸爸先到家．      【分析】 （1）过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，然后在中运用解直角三角形计算即可解题； （2）根据小明和父亲所走的路程和速度求出各自的时间作比较即可． (1) 小问详解： 过点作于点，过点作于点（如答图）． 在中，， （米）． 在四边形中， ， 四边形是矩形， （米）， （米）． 在中，， （米）． 答：的长度为566米． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，求出直角三角形的边长． 5．【答案】（1）千米     （2）3.5千米      【分析】 （1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，解直角三角形求出，，然后求出，证明出四边形是矩形，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可； （2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到，设，则，然后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴（千米）； (2) 小问详解： 如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， ∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发， ∴甲的路程是乙的路程的1.5倍， ∴ 设，则 由（1）得，， ∴， ∵ ∴ ∴， ，（舍去）． ∴当两人相遇时，乙一共跑了3.5千米． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 6．【答案】（1）米     （2） 选择路线， 理由：，， 为等腰直角三角形， 米， 在中， 米， 米， 由题意得，， ∵点在点的正南方，点在点的正东方， ， 在中， 米， 则米， 路线的长为：（米）， 的长为：（米）， ， 小花应选择路线比较．      【分析】 本题考查方位角问题，解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出，再根据正弦的定义即可求出； （2）先根据余弦的定义求得，进而求得，再根据正切的定义求出，进而可求出，分别求出路线、路线的距离，比较即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于， 由题意得，，米， 在中， （米）， 由题意得， ， 在中， （米）； ∴的长度为490米． (2) 小问详解： 略 7．【答案】（1），两地之间的距离为；     （2）小玉先到达 处．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，则有四边形是矩形，所以，，在中，，得，在，，从而求解； （）过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则，由题意得，，，则，，所以，由（）得四边形是矩形，，，在，，，则，所以，，在，，然后分别求出小玉所花时间和小雅所花时间，最后比较即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，，，， ∴， ∴在中，， ∴， 在，， ∴，两地之间的距离为； (2) 小问详解： 解：如图，过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则， 由题意得，，， 则，， ∴， 由（）得四边形是矩形，，， 在，，， ∴， ∴，， 在，， ∴ 小玉所花时间为： ； 小雅所花时间为： ， ∵， ∴小玉先到达 处． 8．【答案】（1）千米     （2）千米      【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； (2) 小问详解： 解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 9．【答案】（1），两港之间的距离海里；     （2）甲货轮先到达港．      【分析】 （）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解； （）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． (1) 小问详解： 如图，过作于点， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴，两港之间的距离海里； (2) 小问详解： 由（）得：，，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，（海里）， ∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里）， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 10．【答案】（1）海里     （2） 解：过点作于点O， 在中，，， ∴， ∴小艇从到用时（小时）， 而检查用时分钟小时， ∴小艇从到再检查用时（小时）， 由题意得：， ∵中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴用时：（小时）， ∵， ∴能及时将维修配件送达灯塔M．      【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，由题意得：，，，，则，，，解，设，则，解得到，，解得，即可求解； （2）过点作于点O，解，求出，可求小艇从到再检查用时小时，可得为等腰直角三角形，则，那么，由勾股定理得，则，那么用时：小时，由，得到能及时将维修配件送达灯塔M． (1) 小问详解： 解：过点作交的延长线于点， 由题意得：，，，， ∴，，， 在中，， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴海里； (2) 小问详解： 略 11．【答案】（1）拉线的长为米     （2）     （3）方式二的长度更短      【分析】 本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）过点A作于点H，可得四边形是矩形，因此米，米，在中，解直角三角形得到米，因此（米），在中，解直角三角形得到（米），即可解答； （2）在中，解直角三角形得到（米），米，从而米，在中，解直角三角形得到∴米，因此（米），再由在矩形得到（米），即可解答； （3）方式一的长度为，方式二的长度为，分别求出它们的长度，再进行比较即可解答． (1) 小问详解： 解：过点A作于点H， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）． 答：拉线的长为米． (2) 小问详解： 解：∵在中，米，， ∴（米）， 米， ∴米， ∵在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴在矩形中，（米）， 即a的值为． (3) 小问详解： 解：由（2）可得米，（米） ∴当时，米， ∴方式一的长度为（米）． ∵在中，，米， ∴（米）， ∵，， ∴米， ∴方式二的长度为（米）， ∵， ∴方式二的长度更短． 12．【答案】（1）千米     （2）小明先到达终点      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，理解题意，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点G，过点E作于点H，交的延长线于点K，则，，，设米，在中，可得到的长度， 在中，可得的长度，从而得到千米，千米，根据，可得，即可求出的长度； （2）分别求出两人达到终点所用的时间，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，延长交于点G，过点E作于点H，交的延长线于点K，则，，， 设米， 在中，， ∴千米，千米， 在中，千米，， ∴千米，千米， ∵相距千米，点B在点A的正东方距离2千米处， ∴千米，千米， ∴千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴的长度为千米； (2) 小问详解： 解：由（1）得：千米， 小明到达终点所用时间为分钟， 小华到达终点所用时间为分钟， ∵， ∴小明先到达终点． 13．【答案】（1）54.6海里     （2）货船乙先到达      【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数和边长关系进行计算． （1）过点作，分别在和中，利用三角函数求出、，进而求出的距离； 过点A作，设，分别在和中表示出、，结合的长度求出，再分别计算货船甲、乙的路程和时间，比较时间判断哪艘货船先到达． (1) 小问详解： 解：过点作于点．构造如图所示， 解：由题意，海里，作。交于点， 在中，， ， ， ， ，， ， ， 又， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的距离为54.6海里． (2) 小问详解： 过点作于点． 由题意，，，设海里， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ，， ， 由（1）得， ， ， 货船乙先到达． 14．【答案】（1）424米     （2）爸爸先到达D处      【分析】 本题考查了与方向角有关的解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）过点A作于点H，易得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解； （2）由（1）求得的长，从而在中，利用解三角形知识分别求得，分别计算出及，即可计算出到达终点的时间，比较时间即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点A作于点H； 则； 由题意知，， 即， 故四边形是矩形， 米，； ， 即是等腰直角三角形， 米， 由勾股定理得：（米）； (2) 小问详解： 解：由（1）知，四边形是矩形， 米， 米； 点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向， ； 在中，， 则米，米； （米）， （米）， 则小依到达终点的时间为：（分）， 小依爸爸到达终点的时间为：（分）； 综上，小依爸爸先到达D处． 15．【答案】（1）景点与景点之间的距离为米     （2）小红先到达景点      【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质； （1）过作于点，分别解，即可得到答案； （2）过点作交于点．证明四边形是矩形，再分别计算两人的路程，进一步计算时间可得答案． (1) 小问详解： 解：过作于点． 由题意得，，， 在中，，， ， 在中，， ， （米） 答：景点与景点之间的距离为米． (2) 小问详解： 解：过点作交于点． 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ，， ， 小明到达所用时间： 分钟 小红到达所用时间： 分钟 小红先到达景点． 16．【答案】（1）米     （2）小陈先到达体育场D处      【分析】 本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， (1) 小问详解： 解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中，， 在中，米， 答：的长度为米． (2) 小问详解： 解：由（1）可知：， ∴． 在中，， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 17．【答案】（1）海里；     （2）甲船先到达目的地．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作交延长线于点，根据题意，结合图形，得到，在中，求出，即可得到结果； （2）过点作于点，过点作于点，求出，进而求出，由（1）知海里，海里，解直角三角形求出，根据题意求出，进而求出，分别计算出甲、乙两船所走过的路程，结合两船的速度，即可得到两船所用的时间，进而得到结果． (1) 小问详解： 解：过点作交延长线与点， 根据题意，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴海里， ∴海里； (2) 小问详解： 解：过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知海里，海里， 在中，， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∵， 在中，， ∴海里，海里， ∴甲船走过的路程为（海里）， 乙船走过的路程为（海里）， ∴甲船所用时间为（小时）， 乙船所用时间为（小时）， ∵， ∴甲船先到达目的地． 18．【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】 解：延长交于，如图所示： 则， ， ， 由题意可得，，， 设，则， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 答：点到地面的距离的长约为． 19．【答案】（1）424米     （2）爸爸      【分析】 本题主要考查了方向角、解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，做辅助线、将实际问题转化成数学问题成为解题的关键． （1）如图，过点A作于点H；易得是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可； （2）由（1）求得的长，从而在中，利用解三角形知识分别求得，分别计算出及，即可计算出到达终点的时间，然后比较时间即可解答． (1) 小问详解： 解：如图，过点A作于点H；则； 由题意知，，即， ∴四边形是矩形， 米，； ，即是等腰直角三角形， 米， 由勾股定理得：（米）。 (2) 小问详解： 解：由（1）知，四边形是矩形， 米， 米； 点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向， ； 在中，，， 米，米； ∵①（米）， ②（米）， ∴小依到达终点的时间为：（分），小依爸爸到达终点的时间为：1350÷100=13.5（分）； 综上，小依爸爸先到达D处． 20．【答案】（1）的长度约为39千米；     （2）小鲁先到达景区D．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，30度所对的直角边等于斜边的一半，外角的性质，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，在中求出，，在中求出，即可得到结果； （2）根据题意，分别计算出两人所走过的路程，结合两人的速度，即可得到两人所用的时间，得到结果． (1) 小问详解： 解：如图，过A作于点E，过B作，交的延长线于点F， 根据题意，，，，，千米，， ∴，，， ∵在中，，，千米， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵在中，， ∴（千米）， ∵， ∴（千米）， ∴（千米），  ，， （千米）, 答：的长度约为39千米； (2) 小问详解： 解：由（1）知（千米）， ∵小鲁的速度为35千米/小时， ∴小鲁从A→C→D，所用时间为（小时）， 在中，，不妨设，则，， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 解得（千米）， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵小能的速度为55千米/小时， ∴小能从A→B→D，所用时间为（小时）， ∵， ∴小鲁先到达景区D． 21．【答案】（1）的长度为千米     （2）甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍．      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长. （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足，求解，，，设，则，可得，解方程即可得到答案. (1) 小问详解： 解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， ∵无人机甲位于A的正西方向20千米的B处，C位于D的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米. (2) 小问详解： 解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足， 由（1）得：，而， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， 答：甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出，从而可证四边形是矩形，进而可得，，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解： ，与水平地面所成的角的度数为， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为． 过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则． ， ， (2) 小问详解： 解：如图，连接，作垂直反向延长线于点， ，为的中点， ． ，， ． ，， 四边形为矩形，． ， ． ． ， 镜头到地面的距离为． 23．【答案】（1）米     （2） 解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处．      【分析】 本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米，， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴米； (2) 小问详解： 略 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得北环线的长度即可； （2）过点C作的延长线于点，可得、，设小金的步行速度为，小童的步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小金和小童两人同时到达景点C，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可． (1) 小问详解： 解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：北环线的长度为； (2) 小问详解： 解：过点C作的延长线于点，如图所示： 、， 设小金的步行速度为，小童的步行速度为，两人步行时间为小时， ， ，， ， 在中，由勾股定理得，， ∵小金与小童两人同时到达景点C， ∴， 整理得，， ， 解得， 因此南环线的长度为 答：南环线的长度为． 【点睛】 本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 25．【答案】（1）米     （2）632米      【分析】 本题考查勾股定理、矩形的性质： （1）过作于F，利用勾股定理可得，再求出即可； （2）设，表示出，在中利用勾股定理求出x．过P作于G，在中，利用勾股定理即可求出． (1) 小问详解： 解：由题可知，，， 如图，过作于F： ， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即景点A到景点C的距离为米； (2) 小问详解： 解：如图： 设，则，， 由（1）知， 在中，， 则，解得， ∴， 过P作于G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即的长度为632米． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解直角三角形的实际应用； （1）如图，过作于，过作于，过作于，由题意可得，，，，，即可得到，，，，设，则，，根据，解得，最后根据求解即可； （2）设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，设小依运动路程，则小钟运动路程，在中，得到，，则，，再根据，列方程解得，最后代入两人的相遇点距目的地的距离计算即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作于，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 由题意可得，，，，， ∴中，，， ∴，， 解得，， ∴， ∵中，， ∴， 设，则，， ∵中，，， ∴，， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 设小依运动路程， ∵小钟速度为小依速度的倍， ∴小钟运动路程， ∵中，，， ∴，， ∴，， 中，， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴两人的相遇点距目的地的距离． 27．【答案】（1）海里；     （2）乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．      【分析】 本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）过点作，垂足为F，则，，再进一步求解即可． （2）设乙巡逻艇距离处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务，过M作，垂足为P，，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：由观测点D既在A的北偏东方向处， 同时又在C的北偏西方向处知：， ∵点B在观测点D的北偏西方向处． ， ∵点B在观测点A的北偏西方向， ， 过点作，垂足为F，则，． 在中，，， （海里）， （海里）， 在中，，， （海里）． (2) 小问详解： 解：由（1）得：在中，，，， ∴（海里），（海里）， 设乙巡逻艇距离处海里的处时，此时甲巡逻艇到处，两巡逻艇开始共同执行任务，连接， 过M作，垂足为P，， 在中，，， ，，， 在中，海里， 由勾股定理得：， 解得：，（舍去）， （海里）， 答：乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务． 28．【答案】（1）千米     （2） 线路② ，证明： 作交于， 由题意得：，千米， 四边形是矩形， 由（1）得：千米，千米， （千米），（千米）， （千米）， 根据题意得：， ， （千米）， 在中，， ∴（千米）， （千米）， 线路①的路程为：（千米）， 线路②的路程为：（千米）， ， 选择线路②．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形相关知识点是解题的关键． （1）作交于，由题意得：，， 千米，在中和在中，利用解直角三角形即可求解； （2）作交于，由题意得：，千米，由（1）得：千米，千米，进而可得（千米），根据矩形的性质及等腰三角形的性质、解直角三角形分别计算线路①和线路②的路程，再进行比较即可求解． (1) 小问详解： 解：作交于，如图： 由题意得：，， 千米， ， ， 在中，， （千米）， 在中，， （千米）， （千米）． (2) 小问详解： 略 29．【答案】（1）的长度约为966米     （2）小程先到达景点      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角，然后运用解直角三角形解决问题． （1）过作于，得到，解直角三角形即可得到（米）； （2）根据，得到，求得，得到，则可求出小程的路程，从而求得小程所用时间，根据，，，，可求出小崔的总路程，从而求出小崔的所用时间，比较即可得到结论． (1) 小问详解： 解：过作于， ， ，， ， （米）， 在中，（米）， （米）， 故的长度约为966米； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 在中，（米）， ∴小程所以时间为（分钟）， 在中，米，米， ∴米，米， ∴小崔所以时间为（分钟）， ， ∴小程先到达景点． 30．【答案】（1）米     （2）小明先达到，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴（米）， （米）， ∴小聪所用时间为：（分钟）， 小明所用的时间为：（分钟）， ∵， ∴小明先到达景点D．      【分析】 本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作于点，分别利用锐角三角函数比求出的长即可； （2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）, （米）， ∴（米）； (2) 小问详解： 略 31．【答案】（1）C与D之间的距离为海里     （2）信号塔先定位到乙货轮      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，延长交于点，根据题意得出 ，推出海里，在中利用余弦的定义求出海里，海里，进而得出的长，通过证明四边形是矩形，得出，，在中利用正切的定义求出，即可求解； （2） 由（1）得，海里，海里，根据垂线段最短的性质可知当甲货轮在路线上时，信号塔不能定位甲货轮，设信号塔定位到甲货轮的位置为点，连接，利用勾股定理求出海里，计算出信号塔定位到甲货轮所需时间，作于点，利用三角函数的知识得出海里，根据垂线段最短的性质可知当乙货轮在路线上时，信号塔不能定位乙货轮，设信号塔定位到乙货轮的位置为点，连接，作于点，利用勾股定理求出海里，计算出信号塔定位到乙货轮所需时间，比较二者的时间即可得出结论． (1) 小问详解： 解：如图，作于点，延长交于点，则， 由题意得，，，，， ， ， （海里）， 在中，，， （海里），（海里）， （海里）， ， 四边形是矩形， 海里，， 海里， 在中，， ∴海里， ∴海里， ∴海里， 答：C与D之间的距离为海里． (2) 小问详解： 解：由（1）得，海里，海里， 点到直线的距离为海里， ， 当甲货轮在路线上时，信号塔不能定位甲货轮， 设信号塔定位到甲货轮的位置为点，连接，则海里， （海里）， 海里， 信号塔定位到甲货轮所需时间为（小时）， 作于点，则， ， ， （海里）， ， 当乙货轮在路线上时，信号塔不能定位乙货轮， 设信号塔定位到乙货轮的位置为点，连接，则海里， 作于点，则， （海里），（海里）， （海里）， （海里）， 在中，， 海里， 信号塔定位到乙货轮所需时间为（小时）， ， 信号塔先定位到乙货轮． 32．【答案】（1）     （2）甲班先到      【分析】 （1）过点C作于点F，过点D作于点E，根据特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，解直角三角形即可； （2）分别求出两个班用的时间，比较后即可得到结论． 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数是关键． (1) 小问详解： 解：过点C作于点F，过点D作于点E， ∵点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向． ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：根据（1），得， 甲选择①，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 乙选择②，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 故甲先到达． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $