精品解析：山东青岛城阳第三高级中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题

2026-2027学年第一学期高一数学第一次阶段性检测 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 设集合，，则集合的子集个数为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，则， 所以集合的子集个数为． 3. 已知命题，则是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定为全称两次命题可知 命题的否定为. 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图确定阴影部分为，然后再由集合的运算求解. 【详解】由已知得， 所以阴影部分为. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】步骤1：判断充分性 方程，令，，可转换成，即. 解得或（舍去），即，由可推出方程成立，充分性成立. 步骤2：判断必要性 由步骤1可知，由方程可推出，必要性成立. 综上，选项C符合题意. 6. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（     ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，可得，即，则，故D错误. 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数取得最小值， 令，则，解得或， 函数在闭区间上最小值为，最大值为， 要取到最小值，需对称轴落在区间内，即， 要保证最大值不超过，区间右端点不能大于，即， 解得， 故的取值范围是. 8. 已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中存在量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用恒成立求得命题为真命题时实数的范围，求得命题为真命题时实数的范围，进而根据题意可求得实数的取值范围. 【详解】对于命题，由题意，得对恒成立，则； 即命题为真命题时，可知； 对于命题，由，得， 又因为，当且仅当，即时取等号， 若命题为真命题，可知； 因为存在量词命题是假命题，另一个命题是真命题， 所以，所以，所以实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合 ，则实数 的取值可以是（     ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】AC 【解析】 【详解】当时，方程无解，符合题意， 当时，方程无解，可得，解得， 所以实数 的取值可以是. 10. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（     ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，当时，得不出或， 所以“或”是“或”成立的不充分条件，故A不符合题意； 对于B，由或，可得出或， 所以“或”是“或”成立的充分条件； 当时，由或得不出或， 所以“或”是“或”成立的不必要条件； 所以“或”是“或”成立的一个充分不必要条件；故B符合题意； 对于C，由，可得出或， 所以“”是“或”成立的充分条件； 当时，由或得不出， 所以“”是“或”成立的不必要条件； 所以“，”是“或”成立的一个充分不必要条件；故C符合题意； 对于D，由或，可得出或， 所以“或”是“或”成立的充分条件； 当时，由或得不出或， 所以“或”是“或”成立的不必要条件； 所以“或”是“或”成立的一个充分不必要条件；故D符合题意. 11. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求解判断. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为_____  ． 【答案】 【解析】 【详解】，，， ， 所以的值为. 13. 若，，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，根据不等式的性质计算范围． 【详解】令， 则，解得；故， 因为，则； 因为，则； 故，故的取值范围为． 14. 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费 （单位：万元）与仓库到车站的距离 （单位：km）成反比，每月库存货物费 （单位：万元）与 成正比.若在距离车站10km处建立仓库，则 与 分别为4万元和16万元.则当两项费用之和最小时 ________________________（单位：km），费用之和最小值为 ____________________________________（单位：万元）. 【答案】 ①. 5 ②. 16 【解析】 【分析】由已知可设：，，根据题意求出、的值，再利用基本不等式可求出的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】由已知可设：，，且这两个函数图象分别过点、， 得，，从而，， 故，当且仅当时，即时等号成立. 因此，当时，两项费用之和最小为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求集合中所有质数的和； （2）求，，． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，求出即可求解； （2）结合已知条件，利用集合的交并补运算即可求解． 【小问1详解】 若，则，，故 因此中所有质数的和为． 【小问2详解】 由于，， 故，，． 16. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由“”是“”的充分条件可得，列出不等式组求解即可. （2）由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，    则 ，解得，则实数的取值范围是. 【小问2详解】 由于集合B为非空集合，所以，解得，      由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，        所以 ，解得，所以，        当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 17. 已知， （1）若，求的最小值及相应，的值 （2）若，求的最小值及相应，的值． 【答案】（1）最小值为，此时，； （2）最小值为，此时，． 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式计算范围即可； （2）通过凑积定的形式，利用基本不等式计算最小值． 【小问1详解】 因为，，， 则由基本不等式可知； 当且仅当，即，时，等号成立； 的最小值为，此时，； 【小问2详解】 因为，，且，则，故： 当且仅当，即时，即，时，等号成立； 故的最小值为，此时，． 18. 已知集合，或 （1）求， （2）若，且 ，求二次函数的最大最小值 （3）在第二问条件下，讨论二次函数的最小值 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 （3）当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集的运算求解； （2）根据并集、补集的运算及二次函数性质求解； （3）根据对称轴分类讨论即可得解. 【小问1详解】 因为，或， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以当时，，当时，. 【小问3详解】 ，对称轴方程为，开口向上， ①当，即时，在上单调递增， 故当时，； ②当，即时， 当时，； ③当，即时，在上单调递减， 故当时，. 综上， 19. 如图，长方形（）的周长为． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，请将面积表示为关于的函数并求面积最大值？ （2）沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题． （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积最大值及面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，面积取最大值时的长度为 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到，再利用基本不等式即可求解； （2）（i）先根据全等三角形的判定得到，从而得，进而即可求出的周长； （ⅱ）设，在中，根据勾股定理得到，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 由长方形（）的周长为，， 所以， 又，则在中，，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是． 【小问2详解】 （i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，，，所以，所以， 所以的周长为． （ⅱ）设，则， 由 可得 ，解得， 由（ⅰ）知，， 则在中，有，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学第一次阶段性检测 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则集合的子集个数为（     ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则是（     ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（     ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中存在量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合 ，则实数 的取值可以是（     ） A. 0 B. 1 C. D. 3 10. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（     ） A. 或 B. 或 C. D. 或 11. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为_____  ． 13. 若，，则的取值范围为______ 14. 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费 （单位：万元）与仓库到车站的距离 （单位：km）成反比，每月库存货物费 （单位：万元）与 成正比.若在距离车站10km处建立仓库，则 与 分别为4万元和16万元.则当两项费用之和最小时 ________________________（单位：km），费用之和最小值为 ____________________________________（单位：万元）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求集合中所有质数的和； （2）求，，． 16. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17. 已知， （1）若，求的最小值及相应，的值 （2）若，求的最小值及相应，的值． 18. 已知集合，或 （1）求， （2）若，且 ，求二次函数的最大最小值 （3）在第二问条件下，讨论二次函数的最小值 19. 如图，长方形（）的周长为． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，请将面积表示为关于的函数并求面积最大值？ （2）沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题． （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积最大值及面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $