第一—四章 综合练习题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

必修1第1-4章综合练习题答案 一、单选题 1．已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|x>4}，则∁UA＝(　　) A．{x|0<x≤4} B．{x|0<x<4} C．{x|x≤0} D．{x|x≤4} 解析：A　全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|x>4}，则∁UA＝{x|0<x≤4}，故选A． 2.命题“∀x>2，log2x>1”的否定是(　　) A．∃x>2，log2x≤1　　　 B．∃x≤2，log2x≤1 C．∃x>2，log2x<1 D．∃x<2，log2x<1 解析：A　命题为全称量词命题，则命题的否定为∃x>2，log2x≤1”．故选A． 3已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　a2＞36等价于|a|＞6⇔a＞6或a＜－6，故a＞6⇒|a|＞6，即a2＞36，但|a|＞6a＞6，因此“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件 4．设f(x)的定义域为R，图象关于y轴对称，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　) A．f(－π)<f(－2)<f(3) B．f(－2)<f(3)<f(－π) C．f(－π)<f(3)<f(－2) D．f(3)<f(－2)<f(－π) [解析]　∵f(x)的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且2<3<π，∴f(2)<f(3)<f(π)，∴f(－2)<f(3)<f(－π)．故选B． [答案]　B 5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由于在上为增函数，所以.所以： ，A选项错误. ，故符号无法判断，B选项错误. ，在上递减，故，C选项错误. 由于，由于当时，在上递增，所以，即，故D选项正确. 故选：D. 6．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] [解析]　∵定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，f(x)的大致图象如图所示，∴f(x)在(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝0，故f(－1)＜0；当x＝0时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＝1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x－1＝2或x－1＝－2时，即x＝3或x＝－1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＞0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≥0，此时此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≤0，即得－1≤x＜0，综上－1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]，故选D． [答案]　D 7．函数y＝的图象大致为(　　) [解析]　易得y＝为偶函数，故可排除A、C，当x＝2时，y＝＞0，故可排除D选项．故选B． [答案]　B 8．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[4，＋∞) C．[2，＋∞) D．(－∞，4] 解析：B　因为f(x)＞0的解集为(－1,3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以即令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1,0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，故m≥4，故选B． 二、多选题 9．已知，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为4 【详解】对于A，，，，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故错误； 对于B，，，因， 则，可得， 当且仅当时等号成立，即的最大值为2，故B正确； 对于C，，，， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故C正确； 对于D，令，显然满足，而， 所以的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 10．若a＋b>0，函数f(x)＝(x－a)(x＋b)－1的零点为x1，x2(x1<x2)则(　　) A．x1<b B．x2>a C．x1＋x2＝a－b D．x1＋x2＝b－a 解析：BC　设g(x)＝(x－a)(x＋b)，则g(a)＝g(－b)＝0，f(x1)＝g(x1)－1＝0，g(x1)＝1，同理g(x2)＝1，所以x1＋x2＝a＋(－b)＝a－b，由a＋b>0得a>－b且a>0，又x1<x2，g(x)的图象是开口向上的抛物线，所以x1<－b，x2>a，故选B、C． 11．已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．若不等式的解集为 【详解】因为定义在实数集上的函数满足， 对于选项，令可得，解得， 令可得，解得， 所以，，A对； 对于B选项，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，任取、且，则，可得， 所以，，故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则，可得或， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：ABD 三、填空题 12．计算： ． 【详解】 . 故答案为：2 13．若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__________． 作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)． [答案]　　(0,1) 14．已知定义域为R的函数f(x)＝－＋，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________． 由题意知f(x)是奇函数，且在R上为减函数，则f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0，即f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2)．所以t2－2t>1－2t2，解得t>1或t<－． [答案](2)∪(1，＋∞) 四、解答题 15．已知集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时， 则． （2）因为， ， 又，则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为：； （3）由可得：， 当时，，此时，而， 若，则满足题意， 当时，，不等式解集为，此时满足， 所以符合题意； 当时，，此时，而， 若，则或，解得或，则或， 综上所述：实数的取值范围为：或. 16．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围． 解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3．又m∈Z，∴m＝0,1,2． 当m＝0或2时，f(x)＝x3，不是偶函数； 当m＝1时，f(x)＝x4，是偶函数． 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4． (2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1． 由g(x)>2对任意的x∈R恒成立，得g(x)min>2(x∈R)． ∵g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3． 故实数c的取值范围是(3，＋∞)． 17．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1； ②当x>0时，f(x)>－1． (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数； (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4． 解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1． 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1． 又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋1>0，所以f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在R上是单调增函数． (2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5． 由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4， 得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5， 即f(x2＋x＋1)>f(3)， 又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3， 解得x<－2或x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． 18．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围． 解：(1)当x<0时，－x>0， 由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)， 又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)． ∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)， ∴函数f(x)的解析式为 f(x)＝(a>0，且a≠1)． (2)∵－1<f(1)<1，∴－1<loga2<1， ∴loga<loga2<logaa． ①当a>1时，原不等式等价于解得a>2； ②当0<a<1时，原不等式等价于 解得0<a<． 综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)． 19．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝ (1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围； (2)①求F(x)的最小值m(a)； ②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)． 解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，不合题意； 当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)． 由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a． 所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2a]． (2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2， 由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即m(a)＝ ②当0≤x≤2时， F(x)＝f(x)≤max{f(0)，f(2)}＝2＝F(2)， 当2≤x≤6时， F(x)＝g(x)≤max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}＝max{F(2)，F(6)}． 所以M(a)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修1第1-4章综合练习题 一、单选题 1．已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|x>4}，则∁UA＝(　　) A．{x|0<x≤4} B．{x|0<x<4} C．{x|x≤0} D．{x|x≤4} 2. 命题“∀x>2，log2x>1”的否定是(　　) A．∃x>2，log2x≤1　　　 B．∃x≤2，log2x≤1 C．∃x>2，log2x<1 D．∃x<2，log2x<1 3. 已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设f(x)的定义域为R，图象关于y轴对称，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则 f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　) A．f(－π)<f(－2)<f(3) B．f(－2)<f(3)<f(－π) C．f(－π)<f(3)<f(－2) D．f(3)<f(－2)<f(－π) 5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0 的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 7．函数y＝的图象大致为(　　) 8． 已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[4，＋∞) C．[2，＋∞) D．(－∞，4] 二、多选题 9．已知，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为4 10．若a＋b>0，函数f(x)＝(x－a)(x＋b)－1的零点为x1，x2(x1<x2)则(　　) A．x1<b B．x2>a C．x1＋x2＝a－b D．x1＋x2＝b－a 11．已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．若不等式的解集为 三、填空题 12．计算： ． 13．若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__________． 14．已知定义域为R的函数f(x)＝－＋，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________． 四、解答题 15．已知集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 16．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围． 17．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1； ②当x>0时，f(x)>－1． (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数； (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4． 18．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围． 19．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝ (1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围； (2)①求F(x)的最小值m(a)； ②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)． 学科网（北京）股份有限公司 $