第一章 专题01 空间向量及其运算专项训练（6大题型36题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题01 空间向量及其运算（6大题型36题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　空间向量的概念与表示 第1—4题 4 题型二　空间向量的线性运算 第5—8题 4 题型三　共线与共面向量的判定 第9—12题 4 题型四　空间向量的数量积与模 第13—21题 9 题型五　夹角与垂直 第22—27题 6 题型六　数量积的综合应用 第28—36题 9 题型通关 · 靶向提分 题型一　空间向量的概念与表示（共4小题） 【知识积累】 空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量；向量 的大小叫做它的模，记作 。向量可以用有向线段表示，与起点无关，可以在空间中任意平移。 零向量与单位向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 ，它的方向是任意的；长度为 的向量叫做单位向量。对非零向量 ，与它同方向的单位向量是 。 相等向量与相反向量：方向相同且模相等的两个向量是相等向量；方向相反且模相等的两个向量互为相反向量， 的相反向量记作 。 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量叫做共线向量，记作 ；零向量与任意向量共线。注意 只说明两条有向线段所在直线平行或重合， 四点不一定共线。 常见易错：两个单位向量不一定相等（方向可以不同）；零向量的方向任意；相等向量只要求模相等、方向相同，与起点、终点位置无关。 1．（单选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 2．（单选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（单选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 在平行六面体中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．（多选题） （26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测） 下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 题型二　空间向量的线性运算（共4小题） 【知识积累】 加法与减法：三角形法则 ；平行四边形法则 （ 为平行四边形）。减法 ，即 。 数乘：实数 与向量 的数乘 仍是向量，； 时 与 同向， 时反向， 时 。 运算律：，；，。 几何体中化简向量：把每个向量写成同起点的两个向量之差（），或按首尾相接合并（）；先在图上标出各向量方向，再逐段合并。 用已知向量表示未知向量：把未知向量拆成已知向量的和与数乘，逐步向已知的边、对角线靠拢；中点关系 为 中点时 常用来过渡。 5．（单选题） （26-27高二上·四川遂宁·阶段检测） 已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 6．（单选题） （26-27高二上·江苏无锡·阶段检测） 如图，在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 7．（单选题） （26-27高二上·河南郑州·开学考试） 如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（填空题） （25-26高二下·江苏扬州·期末） 在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 题型三　共线与共面向量的判定（共4小题） 【知识积累】 共线向量定理：对非零向量 ，向量 与 共线的充要条件是存在唯一实数 ，使 。 共面向量定理：若 、 不共线，则向量 与 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 。 判定三点共线： 三点共线等价于 与 共线，即存在实数 使 。 判定四点共面：从同一点出发，把第四个点对应的向量用另外两个不共线向量表示；若存在实数 、 使 ，则点 在平面 内。 常见结论：三个向量 、、 一定共面（第三个是前两个的线性组合）；若其中两个向量共线，则三个向量一定共面。 9．（单选题） （26-27高二上·河北邯郸·阶段检测） 对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 10．（多选题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 下列命题正确的有（    ） A．空间中不相交的两条直线是异面直线 B．已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则 C．若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线 D．若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且 11．（填空题） （25-26高二上·福建泉州·阶段检测） 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 12．（解答题） （25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 题型四　空间向量的数量积与模（共9小题） 【知识积累】 数量积的定义： 等于 、 与两向量夹角余弦三者的乘积；两个非零向量垂直的充要条件是 。 运算律：，，；注意 与 一般不相等，数量积不满足结合律。 由数量积求夹角余弦： 就是两向量夹角的余弦（结果可为负，夹角的范围是 ）。 求模：；，，三个向量类似展开，交叉项用数量积计算。 投影向量：向量 在向量 （）方向上的投影向量为 ；求投影向量时先算 。 几何体中求数量积：把目标向量用共起点、模与夹角已知的向量表示，再用运算律逐项展开，交叉项常因垂直而为零。 13．（单选题） （26-27高二上·河北邯郸·阶段检测） 已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 14．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知空间向量，的夹角为，且，，则为（   ） A．4 B． C．8 D． 15．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 已知正四面体的棱长为分别为棱的中点，则的值为（   ） A． B．2 C．-2 D． 16．（填空题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 在如图直三棱柱中，，则______． 17．（填空题） （26-27高二上·山东枣庄·阶段检测） 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 18．（填空题） （25-26高二下·江苏苏州·阶段检测） 已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 19．（填空题） （25-26高二下·甘肃酒泉·期末） 如图，平行六面体中，，，则__________． 20．（填空题） （26-27高二上·上海徐汇·阶段检测） 已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______． 21．（解答题） （25-26高二上·云南玉溪·阶段检测） 如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 题型五　夹角与垂直（共6小题） 【知识积累】 由数量积求夹角： 等于两向量夹角的余弦；求夹角时先算 与两向量的模。 由数量积判垂直： 等价于 （、 为非零向量）；求参数时令数量积为 列方程。 求线段长度：把线段对应的向量用基底表示，再平方展开取模，关键是 。 异面直线所成角：用数量积求出两条方向向量夹角的余弦后，异面直线所成角的余弦取其绝对值，范围是 。 含参数的模的最值：把模的平方整理成关于参数的二次式，配方求最小值；也可用 的思路。 22．（单选题） （25-26高二下·甘肃白银·期中） 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 23．（填空题） （26-27高二上·河北·阶段检测） 在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 24．（填空题） （25-26高二下·广东·期末） 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 25．（填空题） （24-25高二上·广东深圳·阶段检测） 如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 26．（解答题） （25-26高二上·浙江·期中） 如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 27．（解答题） （25-26高二上·广西河池·阶段检测） 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 题型六　数量积的综合应用（共9小题） 【知识积累】 垂直关系的转化：证明两条直线垂直，只需证明它们的方向向量数量积为 ；由一条直线垂直于一个平面，可得它垂直于该平面内的任意向量。 用基底表示是通法：先选一组模与夹角已知的向量作基底，把目标向量线性表示，再算数量积或模。 面积与数量积：相邻两边互相垂直时，平行四边形（矩形）的面积等于两边长之积；由数量积为零可判断两向量垂直，进而得到直角。 折叠问题：折叠前后在同一半平面内的角度不变；先作出二面角的平面角，再用空间向量把长度、角度联系起来。 新定义问题：先读懂定义（如斜坐标、向量积），把新定义翻译成“用向量表示 数量积运算”，再按题目要求逐问计算。 28．（多选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，，平面，，，，点为线段的中点，则（   ） A． B．存在实数，使得 C．向量在向量上的投影向量为 D． 29．（多选题） （25-26高二下·浙江宁波·期末） 在平行六面体中，，，为的中点，则（    ） A．当时，异面直线与所成角的余弦值为 B．当时， C．当时，四边形的面积为 D．无论为何值时，过三点的平面将平行六面体分成两个几何体的体积之比（体积较小部分∶体积较大部分）都为7∶17 30．（填空题） （26-27高二上·上海宝山·阶段检测） 已知四面体中，，．给出下列四个命题： ①； ②； ③四面体的四个面中至少有一个是直角三角形； ④空间中恰好存在7个不同的平面，使得四面体的四个顶点到其中每个平面的距离均相等； 其中所有正确命题的序号为___________． 31．（填空题） （26-27高二上·上海徐汇·阶段检测） 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 32．（解答题） （26-27高二上·江苏无锡·阶段检测） 空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. (1)求向量的斜坐标； (2)求； (3)求 33．（解答题） （25-26高二上·新疆·阶段检测） 如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 34．（解答题） （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测） 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 35．（解答题） （25-26高二上·山东日照·阶段检测） 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 36．（解答题） （25-26高二上·湖北荆州·期末） 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题01 空间向量及其运算（6大题型36题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　空间向量的概念与表示 第1—4题 4 题型二　空间向量的线性运算 第5—8题 4 题型三　共线与共面向量的判定 第9—12题 4 题型四　空间向量的数量积与模 第13—21题 9 题型五　夹角与垂直 第22—27题 6 题型六　数量积的综合应用 第28—36题 9 题型通关 · 靶向提分 题型一　空间向量的概念与表示（共4小题） 【知识积累】 空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量；向量 的大小叫做它的模，记作 。向量可以用有向线段表示，与起点无关，可以在空间中任意平移。 零向量与单位向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 ，它的方向是任意的；长度为 的向量叫做单位向量。对非零向量 ，与它同方向的单位向量是 。 相等向量与相反向量：方向相同且模相等的两个向量是相等向量；方向相反且模相等的两个向量互为相反向量， 的相反向量记作 。 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量叫做共线向量，记作 ；零向量与任意向量共线。注意 只说明两条有向线段所在直线平行或重合， 四点不一定共线。 常见易错：两个单位向量不一定相等（方向可以不同）；零向量的方向任意；相等向量只要求模相等、方向相同，与起点、终点位置无关。 1．（单选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 空间中方向相同的向量不一定是相等向量，因为长度也不一定相等，故D错误. 2．（单选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为分别为的中点， 所以且，且， 与相交，与异面， 所以与向量相反的向量为. 3．（单选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 在平行六面体中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与向量相等的向量，需和向量的方向相同，模相等. 如图，因为，所以向量与向量相等， 因为向量与向量的方向不同，所以和向量不相等. 4．（多选题） （26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测） 下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】BC 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 题型二　空间向量的线性运算（共4小题） 【知识积累】 加法与减法：三角形法则 ；平行四边形法则 （ 为平行四边形）。减法 ，即 。 数乘：实数 与向量 的数乘 仍是向量，； 时 与 同向， 时反向， 时 。 运算律：，；，。 几何体中化简向量：把每个向量写成同起点的两个向量之差（），或按首尾相接合并（）；先在图上标出各向量方向，再逐段合并。 用已知向量表示未知向量：把未知向量拆成已知向量的和与数乘，逐步向已知的边、对角线靠拢；中点关系 为 中点时 常用来过渡。 5．（单选题） （26-27高二上·四川遂宁·阶段检测） 已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法法则即可计算． 【详解】如图： 则. 6．（单选题） （26-27高二上·江苏无锡·阶段检测） 如图，在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法的运算法则，即可求解. 【详解】根据空间向量的加法、减法法则， 则. 7．（单选题） （26-27高二上·河南郑州·开学考试） 如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 8．（填空题） （25-26高二下·江苏扬州·期末） 在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 题型三　共线与共面向量的判定（共4小题） 【知识积累】 共线向量定理：对非零向量 ，向量 与 共线的充要条件是存在唯一实数 ，使 。 共面向量定理：若 、 不共线，则向量 与 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 。 判定三点共线： 三点共线等价于 与 共线，即存在实数 使 。 判定四点共面：从同一点出发，把第四个点对应的向量用另外两个不共线向量表示；若存在实数 、 使 ，则点 在平面 内。 常见结论：三个向量 、、 一定共面（第三个是前两个的线性组合）；若其中两个向量共线，则三个向量一定共面。 9．（单选题） （26-27高二上·河北邯郸·阶段检测） 对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 【答案】A 【详解】分两种情况讨论： 若共线，则均为共线向量，而共线向量必然是共面向量， 若不共线，则可作为平面内的一组基底，是的线性组合，根据共面向量定理，三个向量共面， 综上，一定是共面向量. 10．（多选题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 下列命题正确的有（    ） A．空间中不相交的两条直线是异面直线 B．已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则 C．若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线 D．若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且 【答案】BD 【分析】依次判断每个命题，利用空间直线位置关系、向量加法法则、共线向量性质、共面向量定理判定真假． 【详解】对于A，空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线，故A项错误； 对于B，已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则，故B项正确； 对于C，若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线或，故C项错误； 对于D，若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线， 由共面向量定理，存在实数使得， 展开，整理得 ， 对比，可得， 所以，故D项正确． 11．（填空题） （25-26高二上·福建泉州·阶段检测） 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 12．（解答题） （25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 题型四　空间向量的数量积与模（共9小题） 【知识积累】 数量积的定义： 等于 、 与两向量夹角余弦三者的乘积；两个非零向量垂直的充要条件是 。 运算律：，，；注意 与 一般不相等，数量积不满足结合律。 由数量积求夹角余弦： 就是两向量夹角的余弦（结果可为负，夹角的范围是 ）。 求模：；，，三个向量类似展开，交叉项用数量积计算。 投影向量：向量 在向量 （）方向上的投影向量为 ；求投影向量时先算 。 几何体中求数量积：把目标向量用共起点、模与夹角已知的向量表示，再用运算律逐项展开，交叉项常因垂直而为零。 13．（单选题） （26-27高二上·河北邯郸·阶段检测） 已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故在上的投影向量. 14．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知空间向量，的夹角为，且，，则为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】因为，的夹角为，所以， 所以 ， 所以. 15．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 已知正四面体的棱长为分别为棱的中点，则的值为（   ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理将用和表示，再将展开，利用正四面体棱长及夹角求出各点积，最后代入计算。 【详解】 因为为中点，为中点， 所以 于是 在正四面体中,棱长为，各面均为等边三角形， 所以 所以 16．（填空题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 在如图直三棱柱中，，则______． 【答案】0 【详解】由题可知，， 所以 . 17．（填空题） （26-27高二上·山东枣庄·阶段检测） 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 【答案】 【分析】根据与垂直，求得，再由条件可求出. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 所以. 18．（填空题） （25-26高二下·江苏苏州·阶段检测） 已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 19．（填空题） （25-26高二下·甘肃酒泉·期末） 如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 20．（填空题） （26-27高二上·上海徐汇·阶段检测） 已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______． 【答案】8 【分析】先对向量模长进行平方展开，再利用数量积运算转化成二元二次式，通过配方即可求得最小值. 【详解】∵、是空间互相垂直的单位向量，∴， ，又，， = ==， 当时，取到最小值，即的最小值为. 21．（解答题） （25-26高二上·云南玉溪·阶段检测） 如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据数量积的运算计算，进而可得. 【详解】（1）连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 题型五　夹角与垂直（共6小题） 【知识积累】 由数量积求夹角： 等于两向量夹角的余弦；求夹角时先算 与两向量的模。 由数量积判垂直： 等价于 （、 为非零向量）；求参数时令数量积为 列方程。 求线段长度：把线段对应的向量用基底表示，再平方展开取模，关键是 。 异面直线所成角：用数量积求出两条方向向量夹角的余弦后，异面直线所成角的余弦取其绝对值，范围是 。 含参数的模的最值：把模的平方整理成关于参数的二次式，配方求最小值；也可用 的思路。 22．（单选题） （25-26高二下·甘肃白银·期中） 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 23．（填空题） （26-27高二上·河北·阶段检测） 在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】取中点构造垂直关系，将向量分解简化运算，结合已知条件求解向量模长与数量积，最终计算夹角余弦值. 【详解】如图，取BD的中点O，连接OA，OC，则由题易得，，， 又因为平面平面CBD，平面平面，平面BCD， 所以平面ABD，所以，所以． ， 因为，所以， 设，由题意得 则，所以， 则，则． 设AC与BD夹角为，则． 24．（填空题） （25-26高二下·广东·期末） 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 25．（填空题） （24-25高二上·广东深圳·阶段检测） 如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 26．（解答题） （25-26高二上·浙江·期中） 如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用数量积求模长即可； （2）设，根据向量垂直结合数量积可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 27．（解答题） （25-26高二上·广西河池·阶段检测） 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件得出各向量的模及夹角，再通过向量加减法，结合向量的数量积计算； （2）先用已知向量分别表示，再求出以及和，进而求解． 【详解】（1） 平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点， ，， ， ． （2）， ， ， ， ． 题型六　数量积的综合应用（共9小题） 【知识积累】 垂直关系的转化：证明两条直线垂直，只需证明它们的方向向量数量积为 ；由一条直线垂直于一个平面，可得它垂直于该平面内的任意向量。 用基底表示是通法：先选一组模与夹角已知的向量作基底，把目标向量线性表示，再算数量积或模。 面积与数量积：相邻两边互相垂直时，平行四边形（矩形）的面积等于两边长之积；由数量积为零可判断两向量垂直，进而得到直角。 折叠问题：折叠前后在同一半平面内的角度不变；先作出二面角的平面角，再用空间向量把长度、角度联系起来。 新定义问题：先读懂定义（如斜坐标、向量积），把新定义翻译成“用向量表示 数量积运算”，再按题目要求逐问计算。 28．（多选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，，平面，，，，点为线段的中点，则（   ） A． B．存在实数，使得 C．向量在向量上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质可判断A；通过判断与是否共线，即可判断B；由题意可得，，即可判断C；求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，因为平面，平面ADFE， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为为等腰梯形，为线段的中点， 所以， 而与不共线， 所以不存在实数，使得，故B错误； 对于C，因为为等腰梯形，且，，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，由题意可得，所以， 同理可得, 在中，， 由余弦定理可得, 所以，故D正确. 29．（多选题） （25-26高二下·浙江宁波·期末） 在平行六面体中，，，为的中点，则（    ） A．当时，异面直线与所成角的余弦值为 B．当时， C．当时，四边形的面积为 D．无论为何值时，过三点的平面将平行六面体分成两个几何体的体积之比（体积较小部分∶体积较大部分）都为7∶17 【答案】ABD 【分析】A项，利用正方体的性质即可判断；BC项，通过向量的计算即可判断；D项，先作出平面，找到分割出的几何体，通过计算规则形状部分（棱台）的体积，进而求得两部分的体积之比. 【详解】A项，当时，为正方体，如图所示，易知，直线与的夹角为，则异面直线与所成角为，其余弦值为，故A正确； B项，已知，， 则， 所以，即，故B正确； C项，，则， ， 设的夹角为，则， 于是，，故C错误； D项，取的中点，连接，则， 因为为平行六面体，所以，所以，所以平面. 易知几何体为棱台，设平行六面体中的面积为，该面上的高为， 则，且，， 于是，， 故体积较小部分∶体积较大部分，故D正确. 30．（填空题） （26-27高二上·上海宝山·阶段检测） 已知四面体中，，．给出下列四个命题： ①； ②； ③四面体的四个面中至少有一个是直角三角形； ④空间中恰好存在7个不同的平面，使得四面体的四个顶点到其中每个平面的距离均相等； 其中所有正确命题的序号为___________． 【答案】①②④ 【分析】设四面体中，，，，根据已知条件得到：，对于①：求出，从而得到；对于②：分别求出，，，从而得到；对于③：举出反例即可；对于④：分两类讨论：型和型，最后求和. 【详解】设四面体中，，，， 又因为：，即，即； ，即，即， 令. 对于①：，， ， 因此，①正确； 对于②：，， ， ，， ， ，， ， 所以.②正确； 对于③：正四面体，满足，， 但正四面体的四个面均为等边三角形.③错误； 对于④：存在7个不同的平面使四个顶点到平面的距离相等， 分两类： 型：1个点在平面一侧，3个点在平面另一侧，共个； 型：2个点在平面一侧，2个点在平面另一侧，共个. 总计个平面，④正确. 31．（填空题） （26-27高二上·上海徐汇·阶段检测） 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 【答案】 【分析】先构造一个正方体，再用正方体截成一个正四面体，从而可得正四面体棱长，再通过等体积法计算内切球的半径及外接球的半径，再由向量的运算得，从而可得所求值. 【详解】由题意，球是正四面体的内切球，设正四面体棱长为，所以截四面体的正方体的棱长为， 正四面体的体积由正方体的体积减去个体积相等的三棱锥的体积得到， 所以正四面体的体积，因此，解得. 设正四面体的内切球半径为，正四面体表面积​​， 由等体积法：，即​​，解得. 因为球面上两点的最大距离为球的直径， 因此当最大时，是球的一条直径，此时. 因为中点即球心，有，，且， 因此： ， 因为点在正四面体表面上，正四面体的内切球心到正四面体顶点的距离（即外接球半径）， 也是正方体的外接球半径​​， 即正四面体表面上的点到的最大距离为，所以， 所以. 因此的最大值为. 32．（解答题） （26-27高二上·江苏无锡·阶段检测） 空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. (1)求向量的斜坐标； (2)求； (3)求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用基底写出与，作差即得的斜坐标； （2）把斜坐标还原为、的组合，利用三个单位向量两两成展开数量积（交叉项系数为），由垂直条件解出，再用模长公式求； （3）把两向量的斜坐标都写成、、的组合后逐项展开数量积，注意、都等于. 【详解】（1）设、、分别为、、轴正方向的单位向量， 由、得，，， 且. 由知是的中点，. 又， 所以，其斜坐标为. （2）由得，且. 由得， 解得. 所以，. （3） . 33．（解答题） （25-26高二上·新疆·阶段检测） 如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)，长度为； (2)； (3). 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量的模； （2）利用向量数量积的运算规则计算求解； （3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． （2） ． （3） ，， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 34．（解答题） （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测） 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 35．（解答题） （25-26高二上·山东日照·阶段检测） 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ） ． （ⅱ）因为， 所以 ，所以． 36．（解答题） （25-26高二上·湖北荆州·期末） 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $