第一章 专题02 空间向量基本定理专项训练（6大题型37题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题02 空间向量基本定理（6大题型37题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　空间向量基本定理与基底的概念 第1—6题 6 题型二　用基底表示空间向量 第7—14题 8 题型三　共面向量定理与系数和为1 第15—20题 6 题型四　由共面（共线）求参数 第21—25题 5 题型五　基本定理的唯一性与换基底表示 第26—29题 4 题型六　基底表示的综合应用 第30—37题 8 题型通关 · 靶向提分 题型一　空间向量基本定理与基底的概念（共6小题） 【知识积累】 空间向量基本定理：如果三个向量 、、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 。 基底与基向量：如果三个向量 、、 不共面，就把它们叫做空间的一个基底，、、 都叫做基向量；空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 构成基底的条件：三个向量 、、 能构成基底，当且仅当它们不共面。判断时看等式 ：只有 时才成立，说明 不共面，可作基底；若存在不全为零的 使等式成立（即其中一个向量能用另外两个线性表示），说明三向量共面，不能作基底。 常见易错：基底不唯一，同一空间可以选不同基底；含零向量的三个向量一定共面，不能构成基底；单位正交基底是基底的一种特殊情形，不是所有基向量都两两垂直且模为 。 判定思路：把待判定的向量都用同一组基底表示成有序实数组，再判断它们是否线性相关；能互相线性表示的三个向量共面，不能的才可作基底。 1．（单选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（单选题） （26-27高二上·河北·阶段检测） 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 3．（多选题） （26-27高二上·福建南平·阶段检测） 已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（     ） A． B． C． D． 4．（多选题） （26-27高二上·河南·开学考试） 已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（多选题） （26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测） 关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．对于非零向量，，若，则 B．对空间任意两个向量，有 C．若，则存在唯一实数，使 D．若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 6．（单选题） （25-26高二上·上海·期中） 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 题型二　用基底表示空间向量（共8小题） 【知识积累】 首尾相接用加法，同起点用减法：；由同一起点出发，。选好基底后，把目标向量不断向已知向量（基向量）靠拢。 中点与定比分点： 为 中点时 ；点 在线段 上且 时，。 平行六面体：用从同一顶点出发的三条棱 、、 表示时，体对角线 ，。 遇到交点、重心先写过渡向量：重心 满足 ；叠用中点、三等分点公式逐段合并，结果整理成 。 结果核对：用基底表示的结果可代回图形逐段验证；下一步求模或数量积时，也需先把每个向量都化成同一组基底的线性组合。 7．（单选题） （26-27高二上·宁夏·阶段检测） 在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 8．（单选题） （26-27高二上·湖北武汉·阶段检测） 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（单选题） （26-27高二上·河北保定·期中） 在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（单选题） （26-27高二上·江西·期中） 如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 11．（单选题） （26-27高二上·云南玉溪·开学考试） 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 12．（单选题） （25-26高二下·福建莆田·期末） 在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 13．（填空题） （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 在四面体中，点为棱的中点．设，，那么向量用基底可表示为______________________． 14．（解答题） （26-27高二上·天津河北·阶段检测） 如图，在平行六面体中，，，，是的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： (1)； (2)； (3)． 题型三　共面向量定理与系数和为1（共6小题） 【知识积累】 共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，那么向量 与 、 共面，当且仅当存在唯一的有序实数对 ，使 。 四点共面的推论：对空间任意一点 和不共线的三点 、、，点 在平面 内，当且仅当 且 。 三点共线的系数和： 中 三点共线，当且仅当 且 （把 用 表示时两系数之和为 ）。 从系数和反推共面：先有“同一点出发、 不共线”的前提，再看 的三个系数之和是否为 ，是则四点共面。 易错：“系数和为 ”只用于判断“四点共面”的向量形式，且必须从同一点出发；把三个向量的系数直接相加前，先确认它们是关于不共线三点的表示。 15．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 16．（多选题） （26-27高二上·河南洛阳·阶段检测） 如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（     ） A．存在点与直线，使得 B．存在点与直线，使得平面 C．若，，其中，，则的最小值是 D． 17．（单选题） （25-26高二下·河南许昌·期末） 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 18．（填空题） （26-27高二上·上海徐汇·阶段检测） 已知在正方体中，，若，则______． 19．（多选题） （26-27高二上·湖北武汉·阶段检测） 下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 20．（多选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 在正四棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的有（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．无论取何值，三棱锥的体积均为定值 C．当时，点的轨迹长为 D．当时，四棱锥的体积为定值 题型四　由共面（共线）求参数（共5小题） 【知识积累】 翻译条件：把“共面”翻译成 ，把“共线”翻译成 ，再用空间向量基本定理（同一向量的两种表示系数相同）列出方程（组）。 由共面求参数：若 （含参数）且 共面，令 求参数。 由共线求参数：若三点共线且写成含参数的向量等式，可在同一组不共面基底下设表示相等的两个式子，对比系数解参数；或直接用三点共线“系数和为 ”。 解方程组：当 、、 不共面（构成基底）时，，当且仅当 、、，由此列出方程组求解。 检验与取舍：解出参数后代回原式确认共面/共线成立；注意题设中点的位置（线段上、延长线上）对参数范围的限制，舍去不符合题意的解。 21．（单选题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（     ） A． B． C． D． 22．（单选题） （26-27高二上·山东·期中） 在三棱锥中，与中点分别为，点G为中点．若D在上满足，E在上满足，平面交于点F，且，则λ的值为（ ） A． B． C． D． 23．（填空题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 已知空间中任意一点满足，且四点共面，则__________. 24．（填空题） （25-26高二下·广东东莞·期末） 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 25．（解答题） （26-27高二上·河南·开学考试） 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. (1)试用基底表示向量. (2)设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置. 题型五　基本定理的唯一性与换基底表示（共4小题） 【知识积累】 唯一性：若 、、 不共面，把 表示为 时，系数 、、 是由 与基底唯一确定的；特别地， 当且仅当 。 判三点共线：若 且两系数之和为 ，则 三点共线；若把 看成基底，对比系数可判断是否可能共线。 判断不共面：写出 并对比基底系数得到关于 的方程组；若只有零解，则三向量不共面。 换基底表示：同一向量在两组不同基底下的表示（坐标）不同。设 后，把新基向量用旧基底 表示，展开并对比系数，即可求出 在新基底下的坐标。 方法本质：“换基底求坐标”“判断共线/共面”都归结为“同一向量的两种线性表示，对应系数相等”，是基本定理唯一性的直接应用。 26．（单选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 27．（单选题） （26-27高二上·黑龙江吉林·期中） 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 28．（填空题） （25-26高二下·甘肃庆阳·期末） 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 29．（解答题） （25-26高二下·江苏扬州·阶段检测） 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 题型六　基底表示的综合应用（共8小题） 【知识积累】 通法：先选一组模与两两夹角已知的向量作基底，把涉及的每个向量都用基底表示，然后再算模或数量积（基底表示是必经步骤）。 由基底求模：；对 有 。 由基底求数量积：把两个向量都用同一组基底表示，按分配律展开，交叉项 等于两向量的模与夹角余弦之积，可代入已知数值。 垂直与共线：由 （ 非零）判 ；由共线设 并结合系数唯一性求参数。 易错： 一般不等于 ，只有 时才成立；展开时交叉项的符号由两向量夹角决定，不能遗漏。 30．（单选题） （26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测） 平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 31．（单选题） （25-26高二下·江苏南通·阶段检测） 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 32．（填空题） （26-27高二上·河北邯郸·阶段检测） 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则______．    33．（填空题） （26-27高二上·山东·期中） 如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为____. 34．（解答题） （26-27高二上·山东日照·阶段检测） 如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 35．（解答题） （25-26高二上·四川绵阳·期中） 在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． (1)用，，表示并求出的值； (2)求的值. 36．（解答题） （25-26高二上·陕西咸阳·期中） 如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 37．（解答题） （26-27高二上·辽宁营口·开学考试） 如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题02 空间向量基本定理（6大题型37题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　空间向量基本定理与基底的概念 第1—6题 6 题型二　用基底表示空间向量 第7—14题 8 题型三　共面向量定理与系数和为1 第15—20题 6 题型四　由共面（共线）求参数 第21—25题 5 题型五　基本定理的唯一性与换基底表示 第26—29题 4 题型六　基底表示的综合应用 第30—37题 8 题型通关 · 靶向提分 题型一　空间向量基本定理与基底的概念（共6小题） 【知识积累】 空间向量基本定理：如果三个向量 、、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 。 基底与基向量：如果三个向量 、、 不共面，就把它们叫做空间的一个基底，、、 都叫做基向量；空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 构成基底的条件：三个向量 、、 能构成基底，当且仅当它们不共面。判断时看等式 ：只有 时才成立，说明 不共面，可作基底；若存在不全为零的 使等式成立（即其中一个向量能用另外两个线性表示），说明三向量共面，不能作基底。 常见易错：基底不唯一，同一空间可以选不同基底；含零向量的三个向量一定共面，不能构成基底；单位正交基底是基底的一种特殊情形，不是所有基向量都两两垂直且模为 。 判定思路：把待判定的向量都用同一组基底表示成有序实数组，再判断它们是否线性相关；能互相线性表示的三个向量共面，不能的才可作基底。 1．（单选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若向量与共面，则存在实数，，使得， ， 对各选项逐一验证： 对于A：，假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故A错误； 对于B：假设， 比较系数使 由得，方程组无解， 不存在实数得等式成立，三个向量不共面，可以构成基底，故B正确； 对于C：假设， 比较系数使，方程组有解， ，向量共面，不能构成基底，故C错误； 对于D：假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故D错误. 2．（单选题） （26-27高二上·河北·阶段检测） 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，成立，故不能构成空间的另一个基底； 对于B选项，不存在实数，，使得，故能构成空间的另一个基底； 对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底． 3．（多选题） （26-27高二上·福建南平·阶段检测） 已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间向量基底的性质，依次判断即可. 【详解】对于A，假设，，共面， 则存在实数使得，即， 由于不共面，则对应向量的系数必须相等，即，解得， 所以向量，，共面，不能作为基底，故A错误； 对于B，假设，，共面， 则存在实数使得，得， 所以向量，，共面，不能作为基底，故B错误； 对于C，假设，，共面， 则存在实数使得，即 由于不共面，则对应向量的系数必须相等，即，方程无解， 所以向量，，不共面，能作为基底，故C正确； 对于D，假设，，共面， 则存在实数使得，即 由于不共面，则对应向量的系数必须相等，即，矛盾， 所以向量，，不共面，能作为基底，故D正确. 4．（多选题） （26-27高二上·河南·开学考试） 已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AB 【分析】A、B选项，通过向量线性运算检验是否存在非零线性组合为零向量进行判断；C、D选项，都满足线性关系式，可得共面. 【详解】由题知不共面. 对于A，假设存在实数，使得，即，则， 即不共面，可以构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，假设存在实数，使得，即，则， 即不共面，可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 5．（多选题） （26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测） 关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．对于非零向量，，若，则 B．对空间任意两个向量，有 C．若，则存在唯一实数，使 D．若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 【答案】ABD 【详解】A：空间向量数量积定义：， 都是非零向量，，夹角为， 即，A正确； B：， 因为，所以，B正确； C：当时，满足，但不存在实数使得， 命题缺少条件，C错误； D：三个非零向量两两垂直，任意一个向量都不能用另外两个向量线性表示， 因此不共面， 空间基底的定义：一组不共面的三个非零向量可以作为空间的一个基底，D正确. 6．（单选题） （25-26高二上·上海·期中） 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，结合充分条件，逐一分析判断选项． 【详解】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 选项A：已知，若， 因为，故，，共面， 故不能推出，故A错误； 选项B：已知，若， 设，则，解得， 则， 故，，共面，故不能推出，故B错误； 选项C：已知，若， 设，则，解得， ，故，，共面， 故不能推出，故C错误； 选项D：已知，若， 设，则，方程组无解， 故不存在满足条件的实数，故，，不共面， 故能推出，故D正确． 题型二　用基底表示空间向量（共8小题） 【知识积累】 首尾相接用加法，同起点用减法：；由同一起点出发，。选好基底后，把目标向量不断向已知向量（基向量）靠拢。 中点与定比分点： 为 中点时 ；点 在线段 上且 时，。 平行六面体：用从同一顶点出发的三条棱 、、 表示时，体对角线 ，。 遇到交点、重心先写过渡向量：重心 满足 ；叠用中点、三等分点公式逐段合并，结果整理成 。 结果核对：用基底表示的结果可代回图形逐段验证；下一步求模或数量积时，也需先把每个向量都化成同一组基底的线性组合。 7．（单选题） （26-27高二上·宁夏·阶段检测） 在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，. . 8．（单选题） （26-27高二上·湖北武汉·阶段检测） 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知 . 9．（单选题） （26-27高二上·河北保定·期中） 在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理，结合图形和条件计算即得. 【详解】如图，因是中点，则， 又因是中点，则， 因点在棱上，且， 则， 故. 10．（单选题） （26-27高二上·江西·期中） 如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理求解可得答案. 【详解】、分别为、的中点，若，，， . 11．（单选题） （26-27高二上·云南玉溪·开学考试） 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， . 12．（单选题） （25-26高二下·福建莆田·期末） 在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 13．（填空题） （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 在四面体中，点为棱的中点．设，，那么向量用基底可表示为______________________． 【答案】 【详解】因为点为棱中点，所以， 因为，所以， 因为，，， 所以. 14．（解答题） （26-27高二上·天津河北·阶段检测） 如图，在平行六面体中，，，，是的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以根据向量加法的法则可得，. （2）根据向量加法的法则可得． （3）由向量的减法法则及已知得. 题型三　共面向量定理与系数和为1（共6小题） 【知识积累】 共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，那么向量 与 、 共面，当且仅当存在唯一的有序实数对 ，使 。 四点共面的推论：对空间任意一点 和不共线的三点 、、，点 在平面 内，当且仅当 且 。 三点共线的系数和： 中 三点共线，当且仅当 且 （把 用 表示时两系数之和为 ）。 从系数和反推共面：先有“同一点出发、 不共线”的前提，再看 的三个系数之和是否为 ，是则四点共面。 易错：“系数和为 ”只用于判断“四点共面”的向量形式，且必须从同一点出发；把三个向量的系数直接相加前，先确认它们是关于不共线三点的表示。 15．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用空间向量基本定理可得出关于、、的两个表达式，结合空间向量基本定理可得出的值. 【详解】因为，则，所以. 因为四边形为平行四边形，所以， 所以. 因为为上的点，设，即，即， 又因为为上的点，设，即，即， 因为 ， 因为、、不共面，所以， 上述三个等式全加得. 16．（多选题） （26-27高二上·河南洛阳·阶段检测） 如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（     ） A．存在点与直线，使得 B．存在点与直线，使得平面 C．若，，其中，，则的最小值是 D． 【答案】ABD 【分析】选项A通过展开向量数量积，利用正四面体侧棱夹角为的余弦值为正，直接判定两数量积之和恒正；选项B通过构造且S为PC三等分点的特例，用余弦定理推导线线垂直，结合线面垂直判定定理证明存在性；选项C利用重心向量分解与三点共线系数和为 1 建立 的关系，但用基本不等式求 最小值时计算结果有误；选项 D借助正四面体重心的向量表达式，通过共线向量代换与共面向量定理的系数和性质，推导出长度倒数的等量关系. 【详解】对于选项A，，A正确； 对于选项B，当直线平行于直线，点为线段上靠近点的三等分点，即 时，平面 ，证明如下： 在正四面体中，设各棱长为，，，，均为等边三角形． 点为的中心，，由等边三角形的性质，易得 ， 在 中， ， ，， 由余弦定理，得 ， ， ．同理， ． 又 ，平面 ，平面 ，平面 ，存在点与直线，使得平面 ,B正确； 对于选项C，，则 ，即，同理，则， 根据，，三点共线有，，当且仅当时等号成立． C错误； 对于选项D，设为的中点，则 ， ，，三点共线， ，同理，，． 设 ， ， ，则， ，，，四点共面， ， 又 ，， ，即 ，D正确. 17．（单选题） （25-26高二下·河南许昌·期末） 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 18．（填空题） （26-27高二上·上海徐汇·阶段检测） 已知在正方体中，，若，则______． 【答案】 【详解】在正方体中，， 因此，故. 19．（多选题） （26-27高二上·湖北武汉·阶段检测） 下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【详解】对于A，当，不共线时，满足，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，即，三点共线，C正确； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定共面， 则存在实数，使得，于是，此方程组无解， 即不共面，因此也是空间的一个基底，D正确. 20．（多选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 在正四棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的有（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．无论取何值，三棱锥的体积均为定值 C．当时，点的轨迹长为 D．当时，四棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【分析】由平面向量基本定理得出所在的平面，算出点到平面的距离，即可算出三棱锥的体积；根据可以得出，可得点的轨迹为线段，即可算出轨迹长度；求出时点的轨迹，判断该轨迹与平面的位置关系，即可判断四棱锥的体积是否为定值. 【详解】对于选项A和B，因为，由平面向量基本定理得：点在平面内，由正四棱柱性质可得平面平面，且平面，则点到平面的距离为1，三棱锥的体积，所以选项A和B正确； 对于选项C，当时，有，可得点的轨迹为线段，由正四棱柱性质可得，所以，所以选项C错误； 对于选项D，当时，，则点的轨迹为线段，由正四棱柱性质可得平面，所以四棱锥的体积为定值，所以选项D正确. 题型四　由共面（共线）求参数（共5小题） 【知识积累】 翻译条件：把“共面”翻译成 ，把“共线”翻译成 ，再用空间向量基本定理（同一向量的两种表示系数相同）列出方程（组）。 由共面求参数：若 （含参数）且 共面，令 求参数。 由共线求参数：若三点共线且写成含参数的向量等式，可在同一组不共面基底下设表示相等的两个式子，对比系数解参数；或直接用三点共线“系数和为 ”。 解方程组：当 、、 不共面（构成基底）时，，当且仅当 、、，由此列出方程组求解。 检验与取舍：解出参数后代回原式确认共面/共线成立；注意题设中点的位置（线段上、延长线上）对参数范围的限制，舍去不符合题意的解。 21．（单选题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三个向量不能构成基底即它们共面的性质，将表示为和的线性关系，进而通过比较已知基底向量的对应系数列出方程组求解出. 【详解】因为和显然不共线， 因此必然存在实数，使得， 即， 即， 所以有，联立，解得， 代入，即. 22．（单选题） （26-27高二上·山东·期中） 在三棱锥中，与中点分别为，点G为中点．若D在上满足，E在上满足，平面交于点F，且，则λ的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵四点共面， ∴，解得. 23．（填空题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 已知空间中任意一点满足，且四点共面，则__________. 【答案】/0.5 【详解】由空间中任意一点满足，得点可以不在平面内， 而四点共面，则，解得. 24．（填空题） （25-26高二下·广东东莞·期末） 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 25．（解答题） （26-27高二上·河南·开学考试） 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. (1)试用基底表示向量. (2)设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置. 【答案】(1) (2)时，，则点在的延长线上且. 【分析】（1）利用空间向量线性运算表示向量； （2）设，由共面定理可得存在实数满足，列方程组求值即可得到点的位置. 【详解】（1）由题意知. （2）因为为的中点，所以. 由（1）知. 因为，所以，则. 因为四点共面，所以存在实数满足， 即，整理得， 因为不共面，所以解得. 当时，，则点在的延长线上且. 题型五　基本定理的唯一性与换基底表示（共4小题） 【知识积累】 唯一性：若 、、 不共面，把 表示为 时，系数 、、 是由 与基底唯一确定的；特别地， 当且仅当 。 判三点共线：若 且两系数之和为 ，则 三点共线；若把 看成基底，对比系数可判断是否可能共线。 判断不共面：写出 并对比基底系数得到关于 的方程组；若只有零解，则三向量不共面。 换基底表示：同一向量在两组不同基底下的表示（坐标）不同。设 后，把新基向量用旧基底 表示，展开并对比系数，即可求出 在新基底下的坐标。 方法本质：“换基底求坐标”“判断共线/共面”都归结为“同一向量的两种线性表示，对应系数相等”，是基本定理唯一性的直接应用。 26．（单选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【详解】对于A选项，不妨设，则， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，A不符合要求； 对于B选项，， 设，即， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，B不符合要求； 对于C选项，， 故、、三点共线，C符合要求； 对于D选项，设，即， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，D不符合要求. 27．（单选题） （26-27高二上·黑龙江吉林·期中） 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 由空间向量基本定理得：， 方程组无解，所以，，不共面. 28．（填空题） （25-26高二下·甘肃庆阳·期末） 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 29．（解答题） （25-26高二下·江苏扬州·阶段检测） 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【详解】（1）因为 ，又， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以，. 题型六　基底表示的综合应用（共8小题） 【知识积累】 通法：先选一组模与两两夹角已知的向量作基底，把涉及的每个向量都用基底表示，然后再算模或数量积（基底表示是必经步骤）。 由基底求模：；对 有 。 由基底求数量积：把两个向量都用同一组基底表示，按分配律展开，交叉项 等于两向量的模与夹角余弦之积，可代入已知数值。 垂直与共线：由 （ 非零）判 ；由共线设 并结合系数唯一性求参数。 易错： 一般不等于 ，只有 时才成立；展开时交叉项的符号由两向量夹角决定，不能遗漏。 30．（单选题） （26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测） 平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分解为，通过向量模长与数量积的运算关系求出的长度. 【详解】在平行六面体中，由空间向量线性运算可得 ， 所以 ， 又，，， ， 因此. 31．（单选题） （25-26高二下·江苏南通·阶段检测） 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 32．（填空题） （26-27高二上·河北邯郸·阶段检测） 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则______．    【答案】 【分析】取正方体的同顶点的三条棱作为基底，将目标向量用基底表示，再利用向量数量积的运算律计算即可． 【详解】 由图可知；； 则. 33．（填空题） （26-27高二上·山东·期中） 如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为____. 【答案】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 34．（解答题） （26-27高二上·山东日照·阶段检测） 如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 【答案】(1)-1 (2)①；② 【分析】（1） 利用及空间向量的数量积运算法则进行计算；（2）结合题干中的数量关系，把用、、向量的线性关系表达出来. 【详解】（1）由题意可知：，因为，，，所以 （2）由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 35．（解答题） （25-26高二上·四川绵阳·期中） 在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． (1)用，，表示并求出的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量运算得，再结合已知条件，利用数量积的运算律求出向量的模； （2）先利用向量运算求得，然后利用向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为点F为棱的中点，所以， 由得，所以 ， 又， 所以； 由题意，， 所以，，， 所以 ． （2）因为点G为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以，· 所以 . 36．（解答题） （25-26高二上·陕西咸阳·期中） 如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 37．（解答题） （26-27高二上·辽宁营口·开学考试） 如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则 ，    所以，，，得． （2）因为，且，， 设，，， 所以 ，    得， 即，    故，即，所以长度的取值范围为． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $