第一章 专题04 空间向量的应用 专项训练（7大题型36题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题04 空间向量的应用（7大题型36题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　用空间向量判定平行与垂直 第1—7题 7 题型二　用空间向量求异面直线所成的角 第8—11题 4 题型三　用空间向量求直线与平面所成的角 第12—16题 5 题型四　用空间向量求二面角 第17—21题 5 题型五　用空间向量求空间距离 第22—26题 5 题型六　用空间向量解决存在性与范围问题 第27—31题 5 题型七　向量法解立体几何综合问题 第32—36题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　用空间向量判定平行与垂直（共7小题） 【知识积累】 方向向量与法向量：与直线平行的非零向量叫这条直线的方向向量；与平面垂直的非零向量叫这个平面的法向量。求平面 的法向量时，设 ，由 与平面内两个不共线向量垂直列方程组，再取一组解。 线线平行与垂直：设直线 、 的方向向量为 、，则 当且仅当 （即 ）； 当且仅当 。 线面平行与垂直：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 当且仅当 （即 ，且直线不在平面内）； 当且仅当 。 面面平行与垂直：设平面 、 的法向量为 、，则 当且仅当 ； 当且仅当 。 易错：由 只能得直线与平面平行或直线在平面内，须另行说明直线不在平面内；判断线线平行时要注意方向向量的方向（同向为正、反向为负）。 1．（单选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，所以， 所以，解得：,，所以 2．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵在空间直角坐标系中，轴垂直平面， 即平面，又，， 即是平面的一个法向量. 3．（单选题） （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由可得直线的方向向量与平面的法向量共线即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，且， 所以存在实数，使得 ，所以 解得 ． 4．（单选题） （26-27高二上·广东珠海·阶段检测） 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且直线不在平面内，则直线与平面的位置关系是（   ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据题意，求得向量和不共线，且向量和不垂直，结合线面位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 可得，所以向量和不共线， 又由，所以向量和不垂直， 因为直线不在平面内，所以直线与平面相交但不垂直. 5．（多选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知平面与平面垂直，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为 （     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先根据平面与平面垂直可得平面对应的法向量的数量积等于0，进而根据向量数量积的坐标运算进行求解即可. 【详解】已知平面与平面垂直，可得平面的法向量与平面的法向量数量积等于0. 已知平面的一个法向量为， 对于A选项，由于，故A正确； 对于B选项，由于，故B错误； 对于C选项，由于，故C正确； 对于D选项，由于，故D错误； 6．（填空题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______． 【答案】 【详解】由题可知，两个平面平行则它们的法向量必定平行，即， 若两个非零向量平行，则对应坐标成比例，故，解得. 7．（单选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面与平面的法向量分别为，，求出，再结合逐一判断即可. 【详解】 ，设平面与平面的法向量分别为，. ，令 ，， . 由平面平面， . 当时，，A错误. 当时，，B错误. 当时，，C错误. 当时，，D正确. 题型二　用空间向量求异面直线所成的角（共4小题） 【知识积累】 定义与范围：过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角，范围是 。 向量公式：设两条异面直线的方向向量为 、，它们所成的角为 ，则 。 求法：建系后写出两直线的方向向量（可取线段端点坐标之差），代入公式；分子取绝对值，分母是 。 易错：异面直线所成角不超过 ，算出的余弦值必须非负；若 ，两向量的夹角为钝角，而异面直线所成角取它的补角，所以要取绝对值。 8．（单选题） （26-27高二上·广东广州·阶段检测） 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，， ，， ， ，，， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则.    9．（解答题） （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理判定平面，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 结合，且．可知， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）连接，由于，且，则, 故，而四边形为矩形，故， 于是， 因为平面，平面， 所以平面， 因此直线到平面的距离就是点到平面的距离， 设平面的法向量为， ， 则有，令，则，即 则点E到平面的距离为：， 则直线到平面的距离为． 10．（解答题） （26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测） 如图，正四棱柱中，，，点，分别是，的中点． (1)求直线与直线所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可根据向量的夹角求解， （2）求解平面法向量，进而根据点面距离的向量法公式即可求解. 【详解】（1）正四棱柱中，平面，且， 分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，，． 因为点是的中点，所以，所以． ． 所以． 直线与直线所成角的正弦值为． （2）由（1）知，，，，． 设平面的法向量， 则，所以． 令，则，，所以平面的一个法向量． 因为，所以． 所以点到平面的距离为． 11．（解答题） （26-27高二上·湖北武汉·阶段检测） 如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，利用向量共线定理，结合的距离条件列方程求解； （2）求出向量 与 的坐标，利用空间向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）设点的坐标为；，，，. 点在棱上，，即； ，即. ，，，； ，，即， 整理得，解得或.，； ，即点的坐标为. （2）设异面直线与所成角为. 由，，，，得，. . 异面直线与所成角的余弦值为. 题型三　用空间向量求直线与平面所成的角（共5小题） 【知识积累】 定义与范围：直线与平面所成的角，是这条直线与它在平面内的射影所成的角，范围是 。 向量公式：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成角为 ，则 。 求法：先求直线的方向向量与平面的法向量，再算 （用 而不是 ），最后由正弦值求出角。 易错：线面角用 ，线线角与二面角用 ，不要混用；，正弦值非负。 12．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：中国古建筑的斗拱是榫卯营造技艺的瑰宝，层层构件相互咬合，撑起宏大的屋檐.在空间直角坐标系中，某斗拱构件所在平面的方程为，一根木质斜杆穿过构件，斜杆对应的直线l的方程为，则斜撑杆（直线l）与斗拱构件平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法可求得结果. 【详解】由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 13．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 如图，已知矩形，将沿对角线翻折至，使二面角大小为，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，用向量的方法求线面角的正弦值，进而可得正切值；解法二：设在平面上的射影为，通过线段的计算判断为中点，进而为与平面所成的角，再由等腰直角三角形可得所求角的正切值. 【详解】解法一：分别作直角和直角的高线和， 因为矩形中，，所以. 再由等面积法：，得. 由勾股定理得，所以. 如图，以为原点，平面为平面，方向为轴正方向建立空间直角坐标系, 因为轴，所以平面，所以就是二面角的平面角，所以. 所以，，平面的法向量取， 设与平面所成的角为（）， 则 ， 因为，所以. 因此与平面所成角的正切值为. 解法二： 分别作直角和直角的高线和， 因为矩形中，，所以. 再由等面积法：，得. 由勾股定理得，所以 ，且，， 所以 ， 所以. 设在平面上的射影为，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，且，平面， 所以平面，而平面，所以， 因此为二面角的平面角，所以， 所以，且，即为的中点，所以为中点. 因此为与平面所成的角， 在中，，所以 因此为等腰直角三角形，所以. 因此与平面所成角的正切值为. 14．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求角公式求解即可. 【详解】以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 可得,,,, 所以，平面中, 设平面的一条法向量为，有即令得，，所以； 设直线与平面所成角为则. 15．（单选题） （26-27高二上·北京石景山·阶段检测） 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】设直线与平面的夹角为，则， 由，解得. 16．（填空题） （26-27高二上·四川德阳·阶段检测） 在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的夹角为______ 【答案】/ 【详解】设直线与平面的夹角为， 则， 因为，所以. 题型四　用空间向量求二面角（共5小题） 【知识积累】 定义与范围：从二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角，范围是 。 向量公式：设二面角的两个半平面 、 的法向量为 、， 为二面角的平面角，则 。 锐角与钝角：由 只能得到二面角的大小或它的补角，须结合图形判断 是锐角还是钝角，再确定余弦值的正负。 易错：两个法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补；不看图形直接写 ，会把钝二面角写成锐角。 17．（单选题） （26-27高二上·山东临沂·阶段检测） 如图，函数图象上两点A，C关于原点对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，.将图象沿x轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的平面角的大小为（   ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】设二面角的大小为，对两边平方化简可得答案. 【详解】由题意可得，，设二面角的大小为， 因为，所以 ， 所以，因为，所以. 18．（填空题） （26-27高二上·江苏·阶段检测） 如图，和所在平面垂直，且，，则平面和平面的夹角的余弦值为________. 【答案】/ 【分析】作于点，利用条件证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和平面法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】因和所在平面垂直，且平面平面，作于点， 则平面，连接，则，因，则， 又因，则全等于，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，故可取， 因平面，则可取为平面的法向量， 设平面和平面的夹角为，则. 19．（解答题） （26-27高二上·云南昆明·阶段检测） 如图，在边长为2的正方形中，点分别是和的中点，将分别沿折起，使三点重合于点． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【详解】（1）由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则， 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则， 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为． （2）设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为， 由线面角公式， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 20．（解答题） （26-27高二上·上海宝山·阶段检测） 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，设二面角的大小为，求的值； (3)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，连接，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，求出四边形是矩形，建立空间直角坐标系，利用求出的坐标，求出平面的法向量，利用平面得到，从而求出的值； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积和同角关系式求解； （3）求平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式求解. 【详解】（1）取的中点，连接，连接， 因为是边长为4的等边三角形，所以，且，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为，，所以. 因为，所以，则， 因为，所以四边形是矩形， 以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设，因为，所以， 解得，则. 设平面的法向量为， 则，. 则，即，， 取，解得， 则平面的一个法向量， ， 因为平面，所以，即， 所以，即，解得. （2）当时，，平面的法向量， 平面的法向量取， 设二面角的大小为，， 则，所以. （3）当时，，， 设平面的法向量为， 则，即，即， 解得，取，解得，则， 点，，， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 21．（解答题） （26-27高二上·河南信阳·阶段检测） 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记（）． (1)求的长； (2)为何值时，的长最小？并求出的最小值. (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)时，的长最小，的最小值为 (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用参数表示的坐标，利用两点间距离公式求解； （2）根号内是的二次三项式，利用二次函数的图像和性质求解； （3）求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积求解. 【详解】（1）因为两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直， 所以两两互相垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，且，所以，， 设，，， 因为，所以， 所以，则， 设，，， 因为，所以， 所以，则， 则. （2）由 (1) 得，即， 当且仅当时取等号，且，符合题意.此时的最小值为. （3）当的长最小时，，此时，， ，， 设平面 的法向量为， 则，即，取，则， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则， 设平面与平面的夹角为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 题型五　用空间向量求空间距离（共5小题） 【知识积累】 点到平面的距离：设 为平面 内一点， 为平面 的法向量，则点 到平面 的距离 。 点到直线的距离：设直线 的方向向量为 ， 为直线 上一点，则点 到直线 的距离 。 线面距与线线距：直线与平面平行时，直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离；两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离；两条异面直线的距离是它们的公垂线段的长。 易错：点到平面距离公式里取平面内任意一点与 连成的向量，投影到法向量方向，分子取绝对值；用向量求距离前，先把目标量转化为点到面或点到线。 22．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标，利用方程组求出平面的法向量，再由向量关系确定点坐标得到坐标，用点到平面的向量距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，所以. 设，平面PBD的法向量为，则所以 令，则，所以是平面的一个法向量. 又，所以，解得， 即，则， 所以点到平面PBD的距离为. 23．（单选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 山东省大力推广山地光伏发电项目，光伏板由钢制支架支撑.支架设置斜向支撑钢杆，用来抵抗风力，保证支架稳定，为进行自动化监测，在光伏板边缘安装传感器.数学建模：以地面锚固点A为原点建立空间直角坐标系，坐标系中1个单位长度表示1米.若斜支撑钢杆所在空间直线l经过地面锚固点，且其方向向量为，传感器安装在光伏板边缘，位置记为点，则传感器所在位置P到斜支撑钢杆l的距离约为（参考数据：）（   ） A．2.04米 B．2.05米 C．2.06米 D．2.08米 【答案】B 【详解】由，，得，因此， 因为方向向量，所以 所以，，所以， 故P到斜支撑钢杆l的距离为， 因为，得米. 24．（填空题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 在空间直角坐标系下，的三个顶点坐标分别为，，，则原点到平面的距离为___________． 【答案】 【详解】设平面的法向量为，，所以，令，取， 所以到平面的距离. 25．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 如图，正方体的棱长为4，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,利用空间向量及配方法求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系： 则, 所以，，, 所以， 所以， 又因为在正方体内部， 所以， 又因为，, 所以 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，取最小值，为， 所以到直线的距离最小值为. 26．（单选题） （26-27高二上·河北邢台·阶段检测） 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：由向量共面定理得四点共面，所以本题转化为求点到平面距离，这个距离即的最小值，建立空间坐标系用点到平面的距离公式计算可得.法二：用等体积法求三棱锥底面上的高. 【详解】 ，由得， 四点共面. 的最小值即求点到平面距离. 法一：以为原点建立坐标系如图: , 设平面的法向量为 ，，取得 . 法二：由正方体的棱长为2， 所以三棱锥是边长为的正四面体. 的最小值也就是三棱锥以为底面上的高. 因为， 由， 所以，得. 题型六　用空间向量解决存在性与范围问题（共5小题） 【知识积累】 动点的参数表示：若点 在线段 上，可设 （），用 表示 的坐标，把问题化为关于 的方程或不等式。 存在性问题：假设存在满足条件的点，把条件翻译成方程（组）求解；解出参数后必须检验它是否在允许范围内（如 ），并舍去使几何位置退化的解。 范围与最值：把目标量表示成参数的函数（常为二次函数），用配方法或二次函数的性质求最值，并注意参数的实际取值范围。 易错：解含参方程时两边平方可能引入增根，须代回检验；求二面角余弦值的范围时要结合二面角是锐角还是钝角取舍。 27．（单选题） （26-27高二上·浙江台州·阶段检测） 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立对应的空间直角坐标系，设，，，再根据空间向量垂直的坐标表示得到，从而得到，进而根据二次函数的性质即可求出其取值范围． 【详解】以D为坐标原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 依题意设，，， 则，，，， 则，，， 因为平面，则，解得， 则，所以， 又函数，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 又，则其在时取最小值，且最小值为；在，或时取最大值，且最大值为， 所以线段长度的取值范围为． 28．（多选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 如图，四边形为正方形，，平面，，点在棱上，且，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当点在线段上运动时，的最小值为1 D．当点在线段上运动时，点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可． 【详解】因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， ，则，故， 对于A，当时，，， 故，即，A正确； 对于B，当时，，故， 而， 所以，，即，， 又因为，平面， 故平面，B正确； 对于C，，， 故， 当时等号成立，故的最小值为，C错误； 对于D，直线的单位方向向量，，， 故点到直线的距离， 当时等号成立，故点到直线的距离的最小值为，D正确． 29．（多选题） （26-27高二上·山东临沂·阶段检测） 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（     ） A． B．异面直线与所成角正弦值为 C．点到直线的距离是 D．为线段上的一个动点，则的最大值为3 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算判断选项A；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，判断选项B；根据点到直线的向量公式可判断选项C；利用坐标表示出，即可判断选项D． 【详解】建立下图所示空间直角坐标系， 则， 故， ， 选项A：，故A错误； 选项B：设异面直线与所成角为，则 ， 故，故B正确； 选项C：记与同向的单位向量为，则， 则点到直线的距离是，故C正确； 选项D：设点，使得， 即，故， 点，则 ， 当，即点与重合时，取最大值3，故D正确． 30．（多选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，，的中点，则 （     ） A． B． C．直线交于点，则 D．内存在唯一的点，使得 【答案】BD 【分析】取正方体的三条棱向量、、，它们两两垂直且模均为．用这三个向量表示有关点和向量，分别利用数量积、线面垂直判定、共面向量关系及点到平面的距离判断各选项． 【详解】令则两两垂直，且． 由分别为的中点，得 对于A，所以 A错误． 对于B，且 于是 因为直线相交且都在平面内，所以平面，B正确． 对于C，设． 由于平面，存在实数，使得 又 比较的系数，得，解得，从而，即 C错误． 对于D，由B知是平面的一个法向量． 设为点到平面的垂足，并令 由于平面，有． 又所以解得． 又，故 平面内任意点都有，且等号仅在与重合时成立，因此平面内存在唯一的点，使得．D正确． 31．（解答题） （26-27高二上·四川绵阳·阶段检测） 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. （2）①借助空间向量，利用与平面的法向量垂直，求的值； ②利用空间向量求直线与平面所成角的正弦的取值范围. 【详解】（1）在直三棱柱中，，，两两垂直， 以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，则有， 令，可得， 又，所以点到平面的距离为， 所以，点到平面的距离为. （2）①，，则， 设， 则， 因为平面， 所以，，即 ， 得， 所以，得，所以. ②因为，，点为棱上的动点， 可设点的坐标为. 又，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又，设直线与平面所成角为， 则 . 当时，； 当时，，当，取得最大值. 综上. 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 题型七　向量法解立体几何综合问题（共5小题） 【知识积累】 建系：在长方体、正方体、直棱柱、直棱锥等图形中，选三条两两垂直的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，先写出关键点（顶点、中点、分点）的坐标。 写点与向量：向量 的坐标等于终点坐标减起点坐标；分点坐标可用 表示。 解题流程：建系 → 写点（向量）坐标 → 求法向量、方向向量 → 用向量运算求角、距离或判断位置关系 → 回答几何结论。 共面与平行：四点 、、、 共面可设 ；直线平行于平面可证方向向量与法向量垂直。 易错：建系前确认三条轴两两垂直；求法向量时两个方程的取解要一致；写坐标时注意各坐标轴的方向与单位长度。 32．（多选题） （26-27高二上·广东珠海·阶段检测） 如图，在正四棱锥中，底面为正方形，为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若底面边长为2，侧棱，则 C．若在棱上且平面，则 D． 【答案】AD 【分析】由空间向量的加法即可判断A选项；取正方形中心，由投影的定义可求得，从而由可求得，判断B选项；设，写出向量，根据线面平行时空间向量的数量关系求得，即可判断C选项；由空间向量的数量积即可判断D选项. 【详解】A选项，为的中点，，A选项正确； B选项，设底面中心为O，则，，， 所以. 故，B选项错误； C选项，设， 则， 则. 若平面，则可由，线性表示， 故的系数，得，即，C选项错误；. D选项，. 因为，，且，所以，即， D选项正确. 33．（多选题） （26-27高二上·全国·期中） 如图，在正方体中，则下列说法正确的是（    ） A． B．与共线 C． D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，求出，从而得到结论；对于B，求出 ， ，利用这两个向量的对应坐标不成比例得到结论；对于C，求出得到结论；对于 D，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，利用线面角向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 ， 则，，，，，，． 对于A，，，则， 故，A正确； 对于B， ， ，显然与不共线，B错误； 对于C， ，，则，C正确； 对于 D，易得平面的一个法向量为，而 ， 设直线与平面所成的角为， 则，则，D正确． 34．（填空题） （26-27高二上·北京海淀·阶段检测） 在棱长为2的正方体中，Q为AD的中点，P为正方体内部及其表面上的一动点，且平面，则满足条件的所有点P构成的平面图形是_________（四边形、五边形、六边形），其面积为___________． 【答案】 四边形 【分析】通过建系，求出各个点的坐标，设出点P坐标，利用平面得到关于点P坐标的线性方程，从而得到点P的轨迹，结合正方体的范围依次求出该平面在正方体内的截面边界点，即可得到形状，利用向量坐标证明该形状是矩形，求出边长，即可算出面积. 【详解】以D为原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 由Q为中点，得 设平面的法向量， ，, ，即， 令，得，， 所以平面的一个法向量， 设点，则， 因为平面， 所以， 即， 即， 故点P的轨迹是平面截正方体所得的截面， 结合正方体的坐标范围：，，， 代入得到该平面在正方体内的截面边界点： 当时，，，得到点和点， 当时，超出正方体范围，取得，， 得到点和点， 连接这四个点，得到的图形是平行四边形属于四边形. 计算该四边形的面积： ，， 所以 所以， 所以四边形是矩形， 边长，， 面积为. 35．（解答题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，平面，，求： (1)点A，B，C，D，P的坐标； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在四棱锥中，底面为正方形， 平面， 则直线两两互相垂直， 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，则. （2），设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故平面的一个法向量为. 36．（解答题） （26-27高二上·四川遂宁·阶段检测） 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，点的坐标为 【分析】本题主要考查利用向量法求线面角和二面角，以点为原点，分别以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，第（1）小问，写出点，，，的坐标，求出平面的法向量，代入线面角的公式即可求解；第（2）小问点在线段上，所以点、、三点共线，即，由此可得点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，根据二面角的公式建立关于的方程，即可求出点的坐标. 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，分别以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，令，， 所以平面的法向量为， ， ， 设直线与平面所成角为， 所以 则直线与平面所成角的正弦值为. （2）因为点在线段上，所以点、、三点共线，即， ，，， ，可得， 由（1）可知，平面的法向量为， ， 设平面的法向量为 则，即，令，， 所以平面的法向量为， ， ， 设二面角的平面角为， 所以， 得，两边平方得 整理得，解得，， 当时，，点与点重合，此时二面角的平面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意，舍去； 当时，， 综上所述，线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，点的坐标为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题04 空间向量的应用（7大题型36题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　用空间向量判定平行与垂直 第1—7题 7 题型二　用空间向量求异面直线所成的角 第8—11题 4 题型三　用空间向量求直线与平面所成的角 第12—16题 5 题型四　用空间向量求二面角 第17—21题 5 题型五　用空间向量求空间距离 第22—26题 5 题型六　用空间向量解决存在性与范围问题 第27—31题 5 题型七　向量法解立体几何综合问题 第32—36题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　用空间向量判定平行与垂直（共7小题） 【知识积累】 方向向量与法向量：与直线平行的非零向量叫这条直线的方向向量；与平面垂直的非零向量叫这个平面的法向量。求平面 的法向量时，设 ，由 与平面内两个不共线向量垂直列方程组，再取一组解。 线线平行与垂直：设直线 、 的方向向量为 、，则 当且仅当 （即 ）； 当且仅当 。 线面平行与垂直：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 当且仅当 （即 ，且直线不在平面内）； 当且仅当 。 面面平行与垂直：设平面 、 的法向量为 、，则 当且仅当 ； 当且仅当 。 易错：由 只能得直线与平面平行或直线在平面内，须另行说明直线不在平面内；判断线线平行时要注意方向向量的方向（同向为正、反向为负）。 1．（单选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 2．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 3．（单选题） （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 4．（单选题） （26-27高二上·广东珠海·阶段检测） 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且直线不在平面内，则直线与平面的位置关系是（   ） A． B． C． D．与相交但不垂直 5．（多选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知平面与平面垂直，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为 （     ） A． B． C． D． 6．（填空题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______． 7．（单选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 题型二　用空间向量求异面直线所成的角（共4小题） 【知识积累】 定义与范围：过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角，范围是 。 向量公式：设两条异面直线的方向向量为 、，它们所成的角为 ，则 。 求法：建系后写出两直线的方向向量（可取线段端点坐标之差），代入公式；分子取绝对值，分母是 。 易错：异面直线所成角不超过 ，算出的余弦值必须非负；若 ，两向量的夹角为钝角，而异面直线所成角取它的补角，所以要取绝对值。 8．（单选题） （26-27高二上·广东广州·阶段检测） 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 9．（解答题） （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 10．（解答题） （26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测） 如图，正四棱柱中，，，点，分别是，的中点． (1)求直线与直线所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 11．（解答题） （26-27高二上·湖北武汉·阶段检测） 如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型三　用空间向量求直线与平面所成的角（共5小题） 【知识积累】 定义与范围：直线与平面所成的角，是这条直线与它在平面内的射影所成的角，范围是 。 向量公式：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成角为 ，则 。 求法：先求直线的方向向量与平面的法向量，再算 （用 而不是 ），最后由正弦值求出角。 易错：线面角用 ，线线角与二面角用 ，不要混用；，正弦值非负。 12．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：中国古建筑的斗拱是榫卯营造技艺的瑰宝，层层构件相互咬合，撑起宏大的屋檐.在空间直角坐标系中，某斗拱构件所在平面的方程为，一根木质斜杆穿过构件，斜杆对应的直线l的方程为，则斜撑杆（直线l）与斗拱构件平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 13．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 如图，已知矩形，将沿对角线翻折至，使二面角大小为，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 14．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 15．（单选题） （26-27高二上·北京石景山·阶段检测） 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 16．（填空题） （26-27高二上·四川德阳·阶段检测） 在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的夹角为______ 题型四　用空间向量求二面角（共5小题） 【知识积累】 定义与范围：从二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角，范围是 。 向量公式：设二面角的两个半平面 、 的法向量为 、， 为二面角的平面角，则 。 锐角与钝角：由 只能得到二面角的大小或它的补角，须结合图形判断 是锐角还是钝角，再确定余弦值的正负。 易错：两个法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补；不看图形直接写 ，会把钝二面角写成锐角。 17．（单选题） （26-27高二上·山东临沂·阶段检测） 如图，函数图象上两点A，C关于原点对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，.将图象沿x轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的平面角的大小为（   ） A．30° B．45° C．60° D．75° 18．（填空题） （26-27高二上·江苏·阶段检测） 如图，和所在平面垂直，且，，则平面和平面的夹角的余弦值为________. 19．（解答题） （26-27高二上·云南昆明·阶段检测） 如图，在边长为2的正方形中，点分别是和的中点，将分别沿折起，使三点重合于点． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 20．（解答题） （26-27高二上·上海宝山·阶段检测） 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，设二面角的大小为，求的值； (3)若，求点到平面的距离． 21．（解答题） （26-27高二上·河南信阳·阶段检测） 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记（）． (1)求的长； (2)为何值时，的长最小？并求出的最小值. (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 题型五　用空间向量求空间距离（共5小题） 【知识积累】 点到平面的距离：设 为平面 内一点， 为平面 的法向量，则点 到平面 的距离 。 点到直线的距离：设直线 的方向向量为 ， 为直线 上一点，则点 到直线 的距离 。 线面距与线线距：直线与平面平行时，直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离；两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离；两条异面直线的距离是它们的公垂线段的长。 易错：点到平面距离公式里取平面内任意一点与 连成的向量，投影到法向量方向，分子取绝对值；用向量求距离前，先把目标量转化为点到面或点到线。 22．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 23．（单选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 山东省大力推广山地光伏发电项目，光伏板由钢制支架支撑.支架设置斜向支撑钢杆，用来抵抗风力，保证支架稳定，为进行自动化监测，在光伏板边缘安装传感器.数学建模：以地面锚固点A为原点建立空间直角坐标系，坐标系中1个单位长度表示1米.若斜支撑钢杆所在空间直线l经过地面锚固点，且其方向向量为，传感器安装在光伏板边缘，位置记为点，则传感器所在位置P到斜支撑钢杆l的距离约为（参考数据：）（   ） A．2.04米 B．2.05米 C．2.06米 D．2.08米 24．（填空题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 在空间直角坐标系下，的三个顶点坐标分别为，，，则原点到平面的距离为___________． 25．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 如图，正方体的棱长为4，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为 （     ） A． B． C． D． 26．（单选题） （26-27高二上·河北邢台·阶段检测） 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 题型六　用空间向量解决存在性与范围问题（共5小题） 【知识积累】 动点的参数表示：若点 在线段 上，可设 （），用 表示 的坐标，把问题化为关于 的方程或不等式。 存在性问题：假设存在满足条件的点，把条件翻译成方程（组）求解；解出参数后必须检验它是否在允许范围内（如 ），并舍去使几何位置退化的解。 范围与最值：把目标量表示成参数的函数（常为二次函数），用配方法或二次函数的性质求最值，并注意参数的实际取值范围。 易错：解含参方程时两边平方可能引入增根，须代回检验；求二面角余弦值的范围时要结合二面角是锐角还是钝角取舍。 27．（单选题） （26-27高二上·浙江台州·阶段检测） 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（     ） A． B． C． D． 28．（多选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 如图，四边形为正方形，，平面，，点在棱上，且，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当点在线段上运动时，的最小值为1 D．当点在线段上运动时，点到直线的距离的最小值为 29．（多选题） （26-27高二上·山东临沂·阶段检测） 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（     ） A． B．异面直线与所成角正弦值为 C．点到直线的距离是 D．为线段上的一个动点，则的最大值为3 30．（多选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，，的中点，则 （     ） A． B． C．直线交于点，则 D．内存在唯一的点，使得 31．（解答题） （26-27高二上·四川绵阳·阶段检测） 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 题型七　向量法解立体几何综合问题（共5小题） 【知识积累】 建系：在长方体、正方体、直棱柱、直棱锥等图形中，选三条两两垂直的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，先写出关键点（顶点、中点、分点）的坐标。 写点与向量：向量 的坐标等于终点坐标减起点坐标；分点坐标可用 表示。 解题流程：建系 → 写点（向量）坐标 → 求法向量、方向向量 → 用向量运算求角、距离或判断位置关系 → 回答几何结论。 共面与平行：四点 、、、 共面可设 ；直线平行于平面可证方向向量与法向量垂直。 易错：建系前确认三条轴两两垂直；求法向量时两个方程的取解要一致；写坐标时注意各坐标轴的方向与单位长度。 32．（多选题） （26-27高二上·广东珠海·阶段检测） 如图，在正四棱锥中，底面为正方形，为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若底面边长为2，侧棱，则 C．若在棱上且平面，则 D． 33．（多选题） （26-27高二上·全国·期中） 如图，在正方体中，则下列说法正确的是（    ） A． B．与共线 C． D．直线与平面所成角的余弦值为 34．（填空题） （26-27高二上·北京海淀·阶段检测） 在棱长为2的正方体中，Q为AD的中点，P为正方体内部及其表面上的一动点，且平面，则满足条件的所有点P构成的平面图形是_________（四边形、五边形、六边形），其面积为___________． 35．（解答题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，平面，，求： (1)点A，B，C，D，P的坐标； (2)平面的一个法向量． 36．（解答题） （26-27高二上·四川遂宁·阶段检测） 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $