专题强化02：空间向量在立体几何解答题专项【压轴培优+五大题型+高分精练】-2026-2027学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册）

专题强化02：空间向量在立体几何解答题专项 题型一：空间向量研究位置关系与空间角问题 1 题型二：空间向量研究距离问题 7 题型三：空间向量研究存在性问题 12 题型四：空间向量研究范围与最值问题 16 题型五：空间向量研究综合性问题 24 题型一：空间向量研究位置关系与空间角问题 【例1】．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在多面体中，平面，，，为中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】(1)连结CF，因为，所以， 所以四边形为平行四边形，因此； 因为 F为BD中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以以C为原点，所在直线分别为轴、轴，过C作与平行的线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， 设，则. 设平面的一个法向量， 则，令，则 ，所以. ， 因此直线与平面所成角的正弦值为，解得. 所以.设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 平面与平面ADE夹角的余弦值为. 【变式1】．（25-26高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，，，已知，四棱锥的体积为，平面与平面的夹角为，且在底面上的投影在四边形内（包括边界）． (1)求证：； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接，则面，过作交于点，连接和． 因为平面，所以． 因为，，平面，，所以平面. 又平面，所以. 则即为平面与平面的夹角，即． 又，所以，所以， 而，则，所以． 所以四边形为平行四边形，故 （2）以为原点，以为轴，为轴，过且垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，. 设，根据题（1）可得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面法向量为， 则，即，令，则，所以. 又平面与平面所成角的余弦值为， 所以，整理得，解得. 此时，. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2】．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)（i）由题意得，， ， 在中，因为，所以， 又因为，，， 在中，因为，所以， 因为，、平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.    （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴， 以平面内过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 结合图形可知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的大小为. （2）设，因为，， 即，所以， 结合图形不妨取，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成角为， 所以， 设，， 由，不妨取，则，所以， 所以 ， 令，所以， 因为函数、在上为减函数， 故函数在上为减函数， 故当时，，所以， 所以与平面所成角的正弦值的范围是. 题型二：空间向量研究距离问题 【例2】．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【答案】(1)证明：为等边三角形， 为中点，故. 由得，则，. 平行四边形中 ，，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则，满足， 故. 又，平面， 因此平面. (2)（i）平面， 平面 ，平面平面， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，， 由得. 由，，取直线的一个方向向量为. ， 设平面的法向量为， 则， 故可设 ，点到平面的距离： 令，则，整理得， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点到面的距离为. 【变式1】．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【答案】(1)由，得，则， 又，平面，则平面，平面，故， 由，为中点，得，而平面， 所以平面. （2）作，由（1）得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 记直线与平面所成角为， 则，当时，；当时，，当且仅当时取等号，此时最大， 平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 【变式2】．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； （2）由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 题型三：空间向量研究存在性问题 【例3】．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)若∥ ，平面， 平面，所以∥平面； 若∥，平面，平面，所以∥平面. 因为平面，所以平面∥平面. 又平面平面，平面平面， 所以∥. （2）因为，所以，所以. 因为平面 ⊥平面，平面 平面 ，平面 ，所以 平面. 过作 ，垂足为，则. 所以. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ， 则，所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则. 所以平面的法向量为. 由 平面，知平面的一个法向量为. 所以， 即，化简得，解得或. 故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时 或. 【变式1】．（25-26高二上·江苏南通·期末）如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值. 【答案】(1) 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接， 因为三角形是等腰直角三角形，且，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，， 所以四边形为矩形，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面与平面所成的夹角的余弦值为. （3）设，又，则， 由（2）可得，所以， 因为点为的中点，所以， 所以， 因为直线与平面交于点，所以， 解得，所以. 【变式2】．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为，所以四边形为平行四边形. 因为，，所以，，又， 由余弦定理得， 则，因此； 又平面平面，平面平面，平面， 因此平面. （2）由（1）平面， 又因为，所以直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由是平行四边形，得，则. 设平面的法向量， 则取，得， 假设线段上存在一点， 使得平面与平面的夹角的余弦值为， ，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 而，解得， 所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 此时. 题型四：空间向量研究范围与最值问题 【变式4】．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以， 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 【变式1】．（25-26高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱台中，平面，，，，，． (1)证明：平面； (2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (3)设为平面内一点，为的中点，，且．若直线与平面的交点为，求点到平面距离的最小值． 【答案】(1)连接， 在四棱台中，， 又，，所以， 又，则， 所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面； (2)直线与垂直，理由如下： 因为平面，，以为原点建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，，， 所以，，， 所以； （3）在上述坐标系中，设的坐标为， 因为为的中点，且，则，即， 又因，所以的轨迹是以为两焦点的椭圆， 由,得,故的轨迹方程为. 因为直线与平面的交点为，所以在直线上， 则存在，使， 得， 又在平面内，得， 即，得 ， 所以，得， 因为，令， 则 ，即 因为，所以， 又，平面， 所以平面，则平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离，因 所以当时，取最小值，即， 所以点到平面距离的最小值为． 【变式2】．（25-26高一下·四川广安·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)①由题设，易知是边长为4的正方形，且，， 由平面， 则平面，因平面，则， 又，平面， 则平面， 由平面，则， 又，为的中点，则， 由平面， 则平面； 【详解】（1）①略； ②由平面，平面，则，且， 同理可得，则，故， 由， 设到平面的距离为，由可得， ，而， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）由上分析，平面，且,则可建立如下图所示的空间直角坐标系， 依题意，,因为的中点，则， 又因，则， 所以， 若是平面的一个法向量， 所以，故可取， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 则， 设,因，则，且, 令，因在上单调递增，故， 则，故，则, 也即,则，即， 因，故得 即二面角的正弦值的取值范围为. 题型五：空间向量研究综合性问题 【例5】．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 【变式1】．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接.    因为四边形为矩形，所以点为中点. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）平面， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 所以. 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （3）设 因为，所以. 点到平面的距离为，解得. 所以.则. 所以的长为 【变式2】．（25-26高二下·湖南长沙·期末）在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ADE与平面BCE的交线为l， (1)求证: (2)若平面平面 . （ⅰ）求平面AED与平面AEB所成角的余弦值； （ⅱ）已知点O为底面ABCD的中心，点Q在侧面AEB内，且 求三棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)因为，平面，平面，从而平面， 又平面，平面平面，则． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． （2）平面平面，平面平面，，可得平面， （ⅰ）在底面为正方形的四棱锥中，以为坐标原点，，分别为，轴， 过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 则，，， 所以，因为， 又， 所以，解得，所以， 则，又，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则得取，则， 设平面的法向量为， 则得取，则， ，故平面与平面所成角的余弦值为． （ⅱ）设点到平面的距离为，因为， 所以，即点到平面的距离为， 则到平面的距离为． 过点作平面的垂线，垂足为， 又，，即点在以为圆心，为半径的圆上， 由（1）知平面，，，为二面角的平面角， 则到平面的距离为， 所以到平面的距离最大值为，则的最大值为． 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． 2．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 3．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，菱形的边长为，.现将沿折起，得到四面体 ，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求锐二面角的余弦值. 【答案】(1)由菱形的边长为，且， 所以和都是等边三角形，因为沿折起得， 所以为等边三角形， 如图所示，取的中点，连接，，可得，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）（i）由（1）知平面，所以， 又由，，所以是二面角的平面角，即， 因为菱形的边长为，可得，，且 所以. 又因为三棱锥的体积为，所以， 解得，因为，所以或. （亦可用 在平面上的投影为，由（1）知平面，且平面， 所以平面平面，因此必在上. 因为，所以，则. 又因为三棱锥的体积为， 所以， 解得，所以或） 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点在平面的投影在直线上， 所以即为直线与平面所成角， 在中，或，且，所以是等腰三角形， 当时，；当时，. 因此，直线与平面所成角为或. （ii）向量法： 由（i）知或，因为，，所以，且， 过点作平面的垂线为轴，，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，如图：    可得，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 可得 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 几何法：由（i）知或，因为，，所以，且，如图： 在中，，所以底边上的高为， 所以，设点到平面的距离为， 因为三棱锥的体积为，所以， 即，解得. 因为是等边三角形，所以点到二面角的棱的距离， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 4．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【详解】（1）略 （2），， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 5．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，O为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)若平面，求出的值． 【答案】(1)证明：因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面，因为平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）先证得，再由面面垂直的性质，证得平面，结合线面垂直的性质，即可证得； （2）取的中点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由平面，得到，即，利用向量数量积的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以, 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，可得， 因为，所以. 所以二面角的正弦值为. （3）解：因为平面，且平面，所以，即， 又因为， 所以，即， 因为，所以或（舍去）， 所以实数的值为. 6．（2026·江苏南京·三模）如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 【答案】(1)如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以， 又，所以面； (2)以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则 易得，则，设，则， 因为，所以，解得，则 所以， 设平面PBC的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 设平面PCD的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； (3). 【详解】（1）如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO， 因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O， 也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD,所以， 又因为，满足 所以，又， 所以面； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系： 则 易得，则， 设，则 ，因为， 所以，解得， 则 所以， 设平面PBC的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 设平面PCD的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 因为，所以， 则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； （3）因为面，所以，设， 则， 因为， 所以， 解得， 则. 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，平面，，为棱的中点，且．    (1)求证：； (2)若平面和平面所成角为，求； (3)若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且变化时，球的体积取到最小值，求此时直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，又平面，可得， 已知，且，故平面． 因为平面，所以． (2)1； (3)． 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理求证； （2）设，结合空间向量知识，用表示平面和平面所成角的余弦值，进而列方程求解； （3）设外接球心，半径为，由表达与的关系，进而求出球的体积取到最小值时的值，在用向量法求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 设，则，，，． 易求得平面的一个法向量为．平面的一个法向量为． 由题意： 解得，因，故，即． （3）直角的外接圆心为斜边中点． 设外接球心，半径为， 由可得： 解得． 球半径，当且仅当时，取得最小值，体积最小． 此时，且球心．所以，代入（2）中求出的法向量可得平面的法向量． 设所求角为，则： 直线与平面所成角的正弦值为． 8．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，是线段的中点， .∵平面平面，平面平面平面， ∴平面.又∵平面，∴， ∵，即，，平面， ∴平面，∵平面 ∴ (2)(2)①；②存在实数 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，进而证明，再结合已知证明平面，最后应用线面垂直的定义得出线线垂直； （2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数； ②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解. 【详解】（1）略 （2）解：①取的中点，连接，则，由（1）可知，平面. 平面，即两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 设平面的法向量为， 则即令，则. 设平面的法向量为， 则即令，则. . 设二面角的平面角为， 则. ，解得，即. ②假设实数存在，设点，则. 由，得则 由，得，则， 由（1）知平面的一个法向量. 由平面，得，解得. ∴存在实数，使得当时，平面. 9．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) 如图： 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 因为平面MQN，所以平面PBC. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理证且，由面面平行判定定理以及线面平行性质定理得证． （2）（i）先由平面PDE⊥平面BCDE建立空间直角坐标系，确定各点坐标；再设球心O，利用球心到距离相等列方程，求出球心坐标与半径，最后用球的表面积公式计算． （ii）在已建坐标系中，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两平面法向量夹角的余弦值，即为平面夹角的余弦值． 【详解】（1）略 （2） 取的中点，连接，则，， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，， （i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设， 由得， 解得， 所以球O的半径的平方，故球O的表面积为. （ii），，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量， 所以． 故平面与平面的夹角的余弦值为． 10．（25-26高二下·河南驻马店·期末）如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为四边形是边长为4的正方形，所以， 翻折后，，又，平面， 所以平面，即平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理，证明一条直线垂直于平面内两条相交直线；再结合翻折前后的平行关系，将线面垂直进行传递； （2）利用余弦定理和等腰三角形的三线合一性质求出底面四边形的面积，再根据棱锥体积公式代入已知高计算体积； （3）通过建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，并利用向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）连接，在中，由余弦定理得． 因为，易知，故四边形的面积为. 由（1）得四棱锥的高，所以四棱锥的体积． （3）取的中点，连接，则，易知两两垂直， 则以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为为边长为4的等边三角形，所以， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，． 设平面的法向量为， 则，即，． 设平面与平面夹角为， 则． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）如图1所示，三角形中，，，点是线段上的动点，过点作的垂线，使. (1)求长度的最小值； (2)沿将折起，使得平面平面，如图2所示，点在何位置时，点与点之间的距离最小？并求此时平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）根据向量相等的概念，判断四边形的性质，进而判定线段长度最小时的情况，求出结果即可； （2）根据折叠的几何性质，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，列出方程组，进而求出两点间距离最小时的情况，再根据面面夹角余弦值的向量方法，求出余弦值. 【详解】（1） 如图所示，连接交于， 因为，所以四边形是平行四边形， 则点为中点，， 所以当时，即为中点时，取得最小值， 此时长度的最小值为. （2） 如图所示，因为平面平面，平面上存在一点，使平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 所以， 设，， 即，解得，得， 则， 设点，可知， 即，解得，即， 则， 可知时，即时，长度取得最小值； 此时， 可得， 设平面的法向量为， 则，即， 当时，解得，即平面的一个法向量为， 平面的法向量为， 则，即， 当时，解得，即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以. 12．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 13．（2026·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，． (1)证明：； (2)已知的中点是D，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用直三棱柱的性质和线面垂直的判定定理，证明平面，从而得到结果； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到平面的距离；（ⅱ）先求平面的法向量，再根据和P是矩形上的条件，转化为向量夹角问题求解. 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以，    又因为，平面，平面，， 所以平面，   因为平面，所以； （2）（ⅰ）设，依题设以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 因为，所以，即，解得，     则，， 得，， 设平面的法向量为， 由，得，令，所以，     又，所以点到平面的距离； （ⅱ）设平面的法向量为，又，， 由，得，令，所以， 取中点Q，则，连接，， 因为，，所以， 在中，，所以，， 平面，平面，所以， 平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以点P的轨迹是以Q为圆心，为半径的半圆， 设，则，，， 因为，，所以，整理得：， 设与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：空间向量在立体几何解答题专项 题型一：空间向量研究位置关系与空间角问题 1 题型二：空间向量研究距离问题 7 题型三：空间向量研究存在性问题 12 题型四：空间向量研究范围与最值问题 16 题型五：空间向量研究综合性问题 24 题型一：空间向量研究位置关系与空间角问题 【例1】．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在多面体中，平面，，，为中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 【变式1】．（25-26高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，，，已知，四棱锥的体积为，平面与平面的夹角为，且在底面上的投影在四边形内（包括边界）． (1)求证：； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2】．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 题型二：空间向量研究距离问题 【例2】．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【变式1】．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【变式2】．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型三：空间向量研究存在性问题 【例3】．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】．（25-26高二上·江苏南通·期末）如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值. 【变式2】．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型四：空间向量研究范围与最值问题 【变式4】．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【变式1】．（25-26高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱台中，平面，，，，，． (1)证明：平面； (2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (3)设为平面内一点，为的中点，，且．若直线与平面的交点为，求点到平面距离的最小值． 【变式2】．（25-26高一下·四川广安·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 题型五：空间向量研究综合性问题 【例5】．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【变式1】．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 【变式2】．（25-26高二下·湖南长沙·期末）在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ADE与平面BCE的交线为l， (1)求证: (2)若平面平面 . （ⅰ）求平面AED与平面AEB所成角的余弦值； （ⅱ）已知点O为底面ABCD的中心，点Q在侧面AEB内，且 求三棱锥的体积的最大值． 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 2．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，菱形的边长为，.现将沿折起，得到四面体 ，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求锐二面角的余弦值. 4．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 5．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，O为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)若平面，求出的值． 6．（2026·江苏南京·三模）如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，平面，，为棱的中点，且．    (1)求证：； (2)若平面和平面所成角为，求； (3)若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且变化时，球的体积取到最小值，求此时直线与平面所成角的正弦值． 8．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 10．（25-26高二下·河南驻马店·期末）如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）如图1所示，三角形中，，，点是线段上的动点，过点作的垂线，使. (1)求长度的最小值； (2)沿将折起，使得平面平面，如图2所示，点在何位置时，点与点之间的距离最小？并求此时平面与平面夹角的余弦值. 12．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 13．（2026·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，． (1)证明：； (2)已知的中点是D，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $