专题2.9 直线和圆的方程 60道计算题专项训练（6大题型）-2026-2027学年高二上学期数学重难点专训（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦直线与圆的方程核心计算，以6大题型系统覆盖面积、距离、最值、参数求解等高频考点，通过60道计算题构建从基础到综合的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与坐标轴面积|10道|结合截距式、斜截式求面积及最值|直线方程→截距计算→图形面积，体现几何直观与运算能力| |点到直线距离|10道|含三角形面积、对称点等综合应用|距离公式→几何图形性质，培养数学思维的推理意识| |平行线间距离|10道|涉及平行条件判断与距离计算|平行直线性质→距离公式应用，强化符号意识与运算能力| |定点到圆上点最值|10道|结合圆方程求距离范围|圆的方程→圆心半径→距离最值，发展空间观念与模型意识| |直线与圆位置关系求参数|10道|含相切、相交条件下的参数计算|位置关系判定→方程联立→参数求解，培养逻辑推理能力| |已知弦长求方程/参数|10道|结合弦长公式求直线或圆方程|弦长公式→垂径定理→方程构建，体现数学语言表达现实问题的应用意识|

专题2.9 直线和圆的方程60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型二 求点到直线的距离 题型三 求平行线间的距离 题型四 定点到圆上点的最值(范围) 题型五 由直线与圆的位置关系求参数 题型六 已知圆的弦长求方程或参数 【经典计算题一 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 2．已知直线l： （1）若直线l的斜率是2，求m的值； （2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程． 【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0. 【分析】（1）由方程得出在坐标轴上的两点，即可由斜率求出； （2）由题得出0＜m＜4，表示出面积即可求出. 【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则，解得m＝－4. (2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4， 则. 当m＝2时，S有最大值， 故直线l的方程为x＋y－2＝0. 3．直线过点，且倾斜角为. （1）求直线的方程； （2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据倾斜角得到斜率，再由点斜式，即可得出结果； （2）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而可求出三角形面积. 【详解】（1）∵倾斜角为，∴斜率， ∴直线的方程为：，即； （2）由（1）得，令，则，即与轴交点为； 令，则，以及与轴交点为； 所以直线与坐标轴所围成的三角形面积为. 4．已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程. 【答案】或 【解析】设，求出直线在两坐标轴上的截距，利用面积公式可解得结果. 【详解】设， 当时，； 当时，. ∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴. ∴. ∴直线的方程为或. 5．已知的三个顶点坐标为，，，求： （1）边上的高所在直线的方程； （2）求直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析： （1）先求得，由此可得直线的斜率，由点斜式可得直线的方程．（2）求得直线和两个坐标轴的交点坐标可得三角形的面积． 试题解析： （1）由题意得， 所以， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即． （2）在方程中， 令得，所以直线AD与轴的交点为（0，6）； 令得，所以直线AD与轴的交点为（-3，0）． 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为． 6．平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【详解】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 7．已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据直线过点，再由斜率公式计算即可； （2）根据直线，设直线方程为，再计算直线与轴的交点坐标，然后根据面积求解即可. 【详解】（1）易知直线过点， 则直线的斜率为， 解得． （2）由题可知直线的斜率为2， 故设直线的方程为． 易知直线与轴的交点坐标分别为，， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 解得． 所以直线的方程为或． 8．已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 9．已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据两直线垂直斜率关系求参； （2）先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）由已知得的斜率为， 因为与直线垂直，所以， 解得． （2）令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 令，则，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小 此时的方程为 ，即． 10．设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为； (2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的斜率可得出关于的等式，解之即可； （2）求出直线与两坐标轴的交点坐标，可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】（1）解：由题意可知，直线的斜率为，解得. （2）解：由题意可知，在直线的方程中，令，可得， 令时，可得， 所以，直线分别交、轴于点、， 由题意可得，解得. 由题意可得，整理可得， 因为，解得. 【经典计算题二 求点到直线的距离】 11．已知三个顶点的坐标分别为，，，求 (1)边上的中线所在直线的方程. (2)的面积S. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的中点，进而求出中线的斜率，再利用点斜式求解即可. （2）先求出直线的方程，进而求得到直线的距离，再求出，即可得到的面积. 【详解】（1）设的中点，则，即的中点， 又，所以边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）因为，所以直线的方程为，即， 所以到直线的距离为， 又， 所以的面积为. 12．已知直线的方程为. (1)求直线过定点的坐标； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1) (2)时，到直线的距离最大，最大距离是. 【分析】（1）化简直线为，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，得到当与直线垂直时，点到直线的距离最大，列出方程，求得的值，得到直线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）直线的方程可化为， 联立方程组，解得， 所以直线过定点的坐标为. （2）当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，解得，即的方程为， 则点到直线的最大距离为， 故当时，到直线的距离最大，最大距离是. 13．已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求顶点，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立直线与方程，可得点，设，表示中点，根据在直线上，在直线上，可列方程，解方程即可； （2）根据点与的坐标可得，再根据点到直线的距离可得面积. 【详解】（1）由已知，， 则，解得，即， 设，则中点， 又点在直线上，点在直线上， 即，解得，即； （2）由（1）得， 点到直线的距离， 则. 14．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边的高所在直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得直线的斜率，再利用点斜式求得边的高所在直线方程； （2）根据三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】（1），边的高所在直线的斜率为， 所以边的高所在直线方程为. （2），直线的方程为， 到直线的距离为， 所以. 15．已知的三个顶点分别是 (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由两点间距离公式可得，再由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）中点， 由点斜式可得，化简可得， 所以中线方程为. （2）因为，且， 由点斜式可得直线的方程为，化简可得， 又点到直线的距离为， 所以， 即的面积为8. 16．已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程. (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得； （2）根据点到直线距离公式结合条件即得. 【详解】（1）易得的中点坐标为，， ∴所求直线斜率为， 故线段垂直平分线所在直线方程为，即. （2）直线过，且，， 当直线斜率不存在时，直线为，显然不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线为即， ∵、到直线距离相等， ∴，解得或， ∴直线为或. 17．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. （2）B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 18．已知为坐标原点，直线（）. (1)若与直线平行，求； (2)求点到的最大距离及此时的值. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）将两条直线方程化为斜截式，利用斜率相等，纵截距不相等可求出结果. （2）根据直线方程求出所过定点，当时，O到直线l的距离最大，据此求解即可. 【详解】（1）由直线得，得直线的斜率为， 由得，得斜率为， 因为直线与直线平行，所以， 解得. （2）由直线可得， 故直线l恒过定点， 所以O到l的最大距离小于等于， 此时，， 所以，即，解得． 19．已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【详解】（1）因为点，直线， 所以点到直线的距离为. （2）设，则，即，解得， 所以点关于直线l的对称点的坐标为. 20．已知点，直线. (1)求点P到直线l的距离； (2)求点P关于直线l的对称点Q的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点到直线距离公式即可得解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【详解】（1）因为点，直线， 所以点P到直线l的距离为； （2）设点关于直线对称的点的坐标为， 则中点的坐标为，又直线的斜率为， 所以，解得，即. 【经典计算题三 求平行线间的距离】 21．的四条边所在直线的方程分别是，，，. (1)求对角线交点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立四条边所在直线方程可求得顶点坐标，再由中点坐标公式可求得结果； （2）由两点坐标求得线段长，再利用两平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】（1）根据题意联立直线方程，解得，不妨取交点为； 同理联立可得，联立可得，联立可得； 对角线交点坐标即为中点坐标，即， 即对角线交点的坐标为 （2）易知， 点到边的高即为两平行线之间的距离，即， 所以的面积为. 22．（1）求点到直线的距离； （2）求两条平行直线与间的距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式可得； （2）根据平行直线间的距离公式可得. 【详解】（1）由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离. （2）由平行直线间的距离公式可得， 直线与的距离. 23．已知直线，. (1)若直线，求a的值： (2)当时，求两直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的性质进行求解即可； （2）根据平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，两直线方程分别为、， 因为，所以这两条直线互相平行， 因此这两平行线距离为. 24．已知直线，且∥． (1)求的值； (2)求两平行线与之间的距离． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由两直线平行，可得，从而可求出的值； （2）先将直线变形后，再利用两平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】（1）因为直线，且∥， 所以，解得 （2）由（1）知的方程为，即， 所以与之间的距离为 ． 25．已知直线和直线，其中为常数． (1)当时，求直线与的距离； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）将代入得两直线方程，再利用平行线之间距离公式即可； （2）根据两直线垂直得到关于的方程，解出即可. 【详解】（1）当时，直线和直线， 则直线平行，直线与的距离． （2）直线，直线，其中为常数， ，，解得或． 26．求下列各对平行直线间的距离： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】根据给定条件利用平行线间距离公式直接计算作答. 【详解】（1）直线与的距离为：. （2）直线化为：，直线化为：， 所以直线与的距离：. （3）直线化为：， 所以直线与的距离：. 27．求下列各对平行直线间的距离： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由平行直线间的距离公式可直接求解. 【详解】（1）根据两条平行直线间的距离公式，得 ． 即与间的距离为． （2）将所给直线方程化为一般式，得，． 根据两条平行直线间的距离公式，得 ． 即与间的距离为． （3）将直线的方程化简，得． 根据两条平行直线间的距离公式，得 ． 即与间的距离为． 28．已知三条直线，直线，且与的距离是. (1)求a的值； (2)若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）用平行线间距离公式求参数即可. （2）用点到直线的距离公式直接求解即可 【详解】（1）直线方程为， ∴和距离为， 解得 （2）设点， 若点P满足条件②，则P在与，平行的直线上， 且，得或， 所以或. 若满足条件③，联立方程解得，舍去， 或者联立方程解得，为所求点. 29．已知直线为：为：. （1）若，求直线之间的距离； （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）4；（2）. 【分析】(1)由直线平行得,进而根据平行线间的距离公式求解即可. （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：（1）为：为： 为：为： 令直线之间的距离为，则 （2）∵直线为：，与轴的截距为4 不经过第二象限，与的截距小于或等于0 ∴当时，直线为：满足题意 当时，与轴的截距为：，即，解得 综上可得，若不经过第二象限，则. 30．已知直线，． (1)若，求的值； (2)若，求与间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据给定条件直接列式计算即可得解. (2)由两直线平行求出m值，再借助平行线间距离公式计算即得. 【详解】（1）因为，则有，解得， 所以的值为. （2）当或重合时，，或， 当时，，此时两直线重合，不符合题意， 当时，，，即，此时两直线平行，满足条件， 于是得， 所以与间的距离为. 【经典计算题四 定点到圆上点的最值(范围)】 31．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 32．在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上． (1)求实数a的值； (2)若点在圆E上，求的取值范围． 【答案】(1)或5； (2)[，]． 【分析】(1)利用圆的一般方程，待定系数法求解； (2)根据几何几何意义求解. 【详解】（1）设过A、B、C的圆的方程为 将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程， 得， 解得： 得圆的方程为 将点D的坐标代入上述所得圆的方程， 得解得a＝1或5； （2）点在圆E：上， 其几何意义为圆E上的点到距离的平方减1． 如图： ∴的最小值为＝； 的最大值为． ∴的取值范围是[，]． 33．已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 34．已知点． (1)求的外接圆的标准方程； (2)已知为圆上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程列方程组计算求解，再转化为圆的标准方程即可得到答案； （2）设圆的参数方程，利用辅助角公式进行化简，得到函数，求函数的最大值和最小值即可求解. 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为， 则，解得，即 则的外接圆的标准方程为. （2）因为为圆上的动点，设（其中为参数，） 则， 所以当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的取值范围为. 35．已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，5 【分析】（1）设圆心得到圆的方程，代点坐标得到方程组，解方程组即可求得圆的方程； （2）设点坐标，列出，代入坐标的关系式化简即可得到定值. 【详解】（1）设，圆的方程为， 圆过两点， ∴， 解得， 故的标准方程为. （2）设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 36．已知圆C经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若点在圆C上，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）可设圆心为，由求出圆心坐标及半径进行求解； （2）由表示原点与圆C上的点间的距离，进行求解即可得出的最值. 【详解】（1）由已知可设圆心为， 则，即， 解得，∴，， ∴圆C的方程为． （2）表示原点与圆C上的点间的距离， 而原点O在圆C外，，圆C的半径， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为，最小值为． 37．平面上有两点，点P在圆周上，求的最大值、最小值及对应点P的坐标． 【答案】最大值：100，对应点；最小值：20，对应点. 【分析】设，然后可得，然后求出的最值及对应的点即可. 【详解】设，则， 则 因为，所以， 的最大值为，最小值为， 所以的最大值为，最小值为， 原点与点连线的方程为， 联立可解得或， 所以取得最大值时对应点，取得最小值时对应点. 38．在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一点，求的最值. 【答案】. 【分析】根据二次曲线与坐标轴的交点及圆的性质求得圆的方程，两圆方程作差即可得公共弦所在的直线方程，将目标式的最小问题转化为求圆上点到定点的距离平方的最小值即可. 【详解】由题设，与y轴的交点为，对称轴为， 若与x轴交点横坐标分别为，则，， ∴， 若圆半径为，圆心为， ∴，解得， ∴圆半径为，圆心为，则圆的方程为， ，只需求圆上点到定点的最小距离即可. 又圆心到的距离为，而， ∴，故目标式的最小值为. 39．已知圆及点． （1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率； （2）若M为圆C上的任一点，求的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2），. 【分析】（1）将点代入圆的方程可求得，确定点的坐标，可得答案； （2）由已知得圆心C的坐标为，计算，可得的最大值和最小值． 【详解】（1）因为点在圆上，所以，所以， 因此，直线的斜率． （2）因为圆心C的坐标为，所以， 又圆的半径是，所以点Q在圆外， 所以，． 40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P所构成的曲线为． (1)求点P的轨迹的方程；若满足曲线的方程，求的最大值及最小值． (2)若，求点Q的轨迹的方程． 【答案】(1)；最大值为；最小值为； (2). 【分析】（1）设结合题意列方程化简即可求得的方程，表示为圆上的点到的距离，根据点到圆上点距离最值求法计算即可. （2）设点，由代入点的坐标，整理得，将其代入方程即得点的轨迹方程. 【详解】（1）设，由可得，， 化简可得，即， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 表示为圆上的点到的距离， 因为，所以点在圆外， 点与点的距离为， 所以最大值为，最小值为； （2）设点，由，可得， 即则有（*）， 因点在圆上，故有， 将（*）代入上式得：，即. 故点的轨迹的方程为：. 【经典计算题五 由直线与圆的位置关系求参数】 41．已知的三个顶点为，，． (1)求边AC的垂直平分线的方程； (2)若直线BC与圆相切，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出垂直平分线的斜率，利用点斜式直接求解即可； （2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径直接列方程求解即可. 【详解】（1）边AC的中点，由已知得 所以AC的垂直平分线方程为，即 （2）由，，∴ 直线BC的方程为 圆心到直线BC的距离，所以 42．已知圆C过点，，圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)直线l与平行，且与圆C相切，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆的一般式方程，利用待定系数法可求答案； （2）利用相切时圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为，圆心为, 由题意，解得,所以圆的方程为. （2）由（1）可知，圆心为，半径为2， 设直线l的方程为，圆心到直线的距离为， 由可得或. 所以直线l的方程为或. 43．已知直线与直线平行. (1)求这两条平行线间的距离； (2)若以点为圆心，为半径的圆，与直线相切，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线平行求得，根据平行线间的距离公式即可求解； （2）根据圆心到直线的距离等于半径即可列方程求解. 【详解】（1）直线，即与直线平行， 则，解得 则直线为， 所以这两条平行线间的距离； （2）由题意知点到直线的距离为， 由（1）知直线为，则， 解得或. 44．已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. (1)求直线的方程； (2)求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）求得的坐标，再由题意得到轴，确定的坐标，即可求解； （2）由（1）设直线方程，再结合直线与圆的位置关系，列出等式，即可求解； 【详解】（1）在圆：中，令，解得，所以点的坐标为. 因为点是圆上到轴距离最大的点，所以轴. 因为圆的圆心为，且半径为1，所以点的坐标为. 过、两点的直线方程为，整理得， 即直线的方程为. （2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为， 因为所求直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为1， 所以， 解得或， 所以所求直线的方程为和. 45．已知点在圆的外部. (1)求的取值范围； (2)若，求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用点在圆的外部，将A点代入方程大于0，又圆C成立的条件为,联立两个方程即可求得结果. （2）分情况讨论，当斜率不存在时（不符合题意）；当斜率存在时，利用点到线的距离等于半径即可求得结果. 【详解】（1）因为点在圆的外部， 所以 解得，所以的取值范围为. （2）因为，所以. 由圆化简可得，圆心，半径为. 当垂直于轴时，显然不与圆相切，故设的方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得或， 则的方程为或. 46．已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解； （2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程. 【详解】（1）解：圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； （2）解：， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 47．已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设圆心，根据圆的定义可得，可得圆心和半径，即可得方程； （2）设直线的方程为，结合直线与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心，可得， 即，解得， 故圆心，半径， 所以圆的方程为：. （2）由（1）可知：圆心，半径， 设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，    若直线与圆相切，则， 即，可得或. 所以直线的方程为或. 48．已知圆与直线相交于A，B两点，O为坐标原点，若，求实数m的值． 【答案】或 【分析】将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理表示交点坐标的关系，结合的向量垂直条件列方程求解，最后验证直线与圆的相交性. 【详解】将圆的方程化为标准式：，圆心为，半径为3. 联立直线与圆的方程，将代入圆的方程， 得：， 展开合并得：. 设，，由韦达定理得：，. 由，， . 因，故，即， 代入得：， 化简得，解得或. 验证直线与圆相交：联立方程的判别式， 当时，当时，均符合相交条件. 49．已知圆，直线. (1)求过直线上点且与圆相切的直线方程； (2)若直线与直线平行，与轴交于点，且圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）结合直线与圆相切，分直线的斜率不存在、存在，两种情况讨论求解即可； （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，由题意可得，进而求解即可. 【详解】（1）由题设圆，则圆心，半径， 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为2，满足题意； 当所求直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 则直线方程为，即. 综上所述，所求直线的方程为或. （2）设直线的方程为：， 设圆心到直线的距离为， 由题设可知圆上仅有两个点到直线的距离为1，即， 所以，解得或， 则的取值范围为. 50．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出的中垂线方程为，联立，再求半径即可得到答案. （2）首先根据，得到在线段的中垂线上，从而得到，即可得到答案. 【详解】（1），则的中垂线方程为， ，. 则圆 （2）如图所示： 因为，所以在线段的中垂线上， 又因为线段的中垂线过，， 则，，整理得： 【经典计算题六 已知圆的弦长求方程或参数】 51．已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 52．平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线的方程为. 53．已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果； （2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【详解】（1）圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； （2）当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 54．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据已知条件，联立方程组，求出圆的一般方程，即可得到圆的标准方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，再根据圆的弦长公式，即可求得斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为，将三点坐标代入得： ，解得 所以圆的一般方程为：， 则圆的标准方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：， 此时直线与圆有两个交点，则被圆截得的弦长为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 即： 由（1）圆心，圆心C到直线的距离为， 由得：，解之得 所以直线的方程为：，即： 综上所述，直线的方程为：或. 55．已知直线．圆心为的圆经过和的交点． (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于M，N两点，且，求的方程 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程； （2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）联立，解得， 因为圆心为的圆经过和的交点，所以圆的半径为， 所以圆的方程为． （2）①当斜率存在时，设直线的方程为， 设圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 解得， 即，解得， 故直线的方程为，即， ②当斜率不存在时，直线的方程为，满足， 所以直线的方程为或. 56．已知圆经过，两点和坐标原点. (1)求圆的方程； (2)斜率为的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法可求得圆的方程； （2）设直线方程为，根据垂径定理表示弦长，可得解. 【详解】（1）由已知设圆的方程为，， 则， 解得， 所以圆的方程为； （2）由（1）得圆心，半径， 设直线，即， 则圆心到直线的距离， 弦长为， 解得或，符合题意， 则直线方程为或， 即或. 57．在平面直角坐标系中，已知圆C过点，，且圆关于x轴对称. (1)求圆C的标准方程； (2)已知直线l经过点，与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C的标准方程； （2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程. 【详解】（1）由圆关于x轴对称可知圆心在x轴上， 设圆心，半径为； 即可得，解得，半径， 所以圆C的标准方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，显然不合题意； 当直线l的斜率存在时，设方程为； 易知圆心到直线的距离 又可解得或， 即直线l的方程为或. 58．已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）求出经过切点的圆的半径所在直线方程，再与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）由（1）中信息，求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否分类求出直线方程. 【详解】（1）圆C与直线相切于点，则直线的斜率为， 直线的方程为，即， 解方程组，得，则圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由直线被圆C所截得的弦长为8，得圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离为3，则直线的方程可以为，此时直线的斜率不存在,； 当直线斜率存在时，设，由，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 59．已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于，两点.若，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设出圆心坐标，利用已知建立方程组，求出圆心及半径即得. （2）由给定弦长求出圆心到直线的距离，再按该直线斜率存在与否分类求出方程. 【详解】（1）设圆心的坐标为，则， 由，得，即， 由，解得，即， 则圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆：的圆心，半径， 圆心到直线的距离， ①若直线的斜率不存在，即：， 此时圆心到直线：的距离，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线：， 即，圆心到直线的距离，解得， 则直线：，即， 所以直线的方程为或. 60．已知圆，点. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求该直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）求出圆的圆心及半径，再利用切线的性质，并按切线的斜率是否存在分类求解. （2）根据给定条件，求出圆心到直线的距离，再设出方程，利用点到直线的距离公式列式求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 点到直线的距离为3，则直线可为过点与圆相切的直线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，得，即， 解得，切线方程为，所以切线方程为或. （2）由过点的直线与圆相交于两点，且，得点到直线的距离， 由（1）知，直线的斜率存在，设其方程为，即， 于是，即，整理得，解得或， 所以所求直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.9 直线和圆的方程60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型二 求点到直线的距离 题型三 求平行线间的距离 题型四 定点到圆上点的最值(范围) 题型五 由直线与圆的位置关系求参数 题型六 已知圆的弦长求方程或参数 【经典计算题一 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 2．已知直线l： （1）若直线l的斜率是2，求m的值； （2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程． 3．直线过点，且倾斜角为. （1）求直线的方程； （2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积. 4．已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程. 5．已知的三个顶点坐标为，，，求： （1）边上的高所在直线的方程； （2）求直线与坐标轴围成的三角形的面积. 6．平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 7．已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 8．已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 9．已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 10．设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为； (2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为. 【经典计算题二 求点到直线的距离】 11．已知三个顶点的坐标分别为，，，求 (1)边上的中线所在直线的方程. (2)的面积S. 12．已知直线的方程为. (1)求直线过定点的坐标； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 13．已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求顶点，的坐标； (2)求的面积． 14．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边的高所在直线方程； (2)求的面积. 15．已知的三个顶点分别是 (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求的面积. 16．已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程. (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程. 17．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 18．已知为坐标原点，直线（）. (1)若与直线平行，求； (2)求点到的最大距离及此时的值. 19．已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 20．已知点，直线. (1)求点P到直线l的距离； (2)求点P关于直线l的对称点Q的坐标. 【经典计算题三 求平行线间的距离】 21．的四条边所在直线的方程分别是，，，. (1)求对角线交点的坐标； (2)求的面积. 22．（1）求点到直线的距离； （2）求两条平行直线与间的距离. 23．已知直线，. (1)若直线，求a的值： (2)当时，求两直线的距离. 24．已知直线，且∥． (1)求的值； (2)求两平行线与之间的距离． 25．已知直线和直线，其中为常数． (1)当时，求直线与的距离； (2)若，求的值． 26．求下列各对平行直线间的距离： (1)，； (2)，； (3)，． 27．求下列各对平行直线间的距离： (1)，； (2)，； (3)，． 28．已知三条直线，直线，且与的距离是. (1)求a的值； (2)若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标. 29．已知直线为：为：. （1）若，求直线之间的距离； （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围. 30．已知直线，． (1)若，求的值； (2)若，求与间的距离． 【经典计算题四 定点到圆上点的最值(范围)】 31．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 32．在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上． (1)求实数a的值； (2)若点在圆E上，求的取值范围． 33．已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 34．已知点． (1)求的外接圆的标准方程； (2)已知为圆上的动点，求的取值范围． 35．已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 36．已知圆C经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若点在圆C上，求的最大值与最小值． 37．平面上有两点，点P在圆周上，求的最大值、最小值及对应点P的坐标． 38．在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一点，求的最值. 39．已知圆及点． （1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率； （2）若M为圆C上的任一点，求的最大值和最小值． 40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P所构成的曲线为． (1)求点P的轨迹的方程；若满足曲线的方程，求的最大值及最小值． (2)若，求点Q的轨迹的方程． 【经典计算题五 由直线与圆的位置关系求参数】 41．已知的三个顶点为，，． (1)求边AC的垂直平分线的方程； (2)若直线BC与圆相切，求b的值． 42．已知圆C过点，，圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)直线l与平行，且与圆C相切，求直线l的方程. 43．已知直线与直线平行. (1)求这两条平行线间的距离； (2)若以点为圆心，为半径的圆，与直线相切，求的值. 44．已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. (1)求直线的方程； (2)求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 45．已知点在圆的外部. (1)求的取值范围； (2)若，求过点且与圆相切的直线的方程. 46．已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 47．已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程. 48．已知圆与直线相交于A，B两点，O为坐标原点，若，求实数m的值． 49．已知圆，直线. (1)求过直线上点且与圆相切的直线方程； (2)若直线与直线平行，与轴交于点，且圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，求的取值范围. 50．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 【经典计算题六 已知圆的弦长求方程或参数】 51．已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 52．平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 53．已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 54．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程． 55．已知直线．圆心为的圆经过和的交点． (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于M，N两点，且，求的方程 56．已知圆经过，两点和坐标原点. (1)求圆的方程； (2)斜率为的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 57．在平面直角坐标系中，已知圆C过点，，且圆关于x轴对称. (1)求圆C的标准方程； (2)已知直线l经过点，与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程. 58．已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程. 59．已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于，两点.若，求的方程. 60．已知圆，点. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求该直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $