2.4 圆的方程专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二上学期 第二章 直线和圆的方程 专项训练 2.4 圆的方程（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （建议用时：90分钟　测试范围：第二章 直线和圆的方程 2.4） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点分组练习，每个考点内由浅入深；建议先浏览考点归纳，再逐题完成。 2．圆的方程按题目要求写成标准方程或一般方程，半径与距离化成最简根式；含参数的范围题注意同时满足“方程表示圆”的条件。 3．解答题须写出所设方程的形式、代入与求解过程，只写结果不得分。 内容速览　六考点42题（选23·填13·解6）｜解析版 16 页：速查表、答案、详解｜配图 6 幅 　考点归纳 1．由圆心和半径写方程、由方程读出圆心和半径、直径端点与过定点的圆 2．配方化为标准方程、二元二次方程表示圆的条件（含参数） 3．过三点的圆、过两点且圆心在定直线上的圆、三角形的外接圆 4．代入比较判断位置、由位置关系求参数的取值范围、实际情境 5．圆上的点到定点距离的最值、平方和型最值、中点轨迹与距离比为定值的轨迹 6．对称圆、与坐标轴相切的圆、圆心在定直线上的圆 　考点01　圆的标准方程 1．某圆的圆心位于点(－4，1)，半径长为3，那么它的标准方程是(____)。 A．＋＝9 B．＋＝9 C．＋＝3 D．＋＝9 2．观察方程＋＝12，它所表示的圆的圆心坐标为________，半径为________。 3．一个圆以C(－2，1)为圆心并且通过点Q(2，4)，它的标准方程是(____)。 A．＋＝25 B．＋＝25 C．＋＝5 D．＋＝25 4．线段AB的两个端点为A(－3，2)，B(5，－4)，以AB为直径的圆的标准方程是(____)。 A．＋＝25 B．＋＝25 C．＋＝25 D．＋＝100 5．如图，圆C经过坐标原点O，还与x轴的正半轴交于点A(8，0)，与y轴的负半轴交于点B(0，－6)，则圆C的标准方程是(____)。 A．＋＝100 B．＋＝5 C．＋＝25 D．＋＝25 6．圆C的圆心为C(a，3)（a>0），半径为5，且点P(2，－1)在圆C上，则a＝________，圆C的标准方程为________。 7．圆C的圆心为C(－1，－2)，点A(2，2)在圆C上。 (1)求圆C的标准方程； (2)圆C上横坐标为－4的点有哪些？求出它们的坐标； (3)求圆C与y轴的交点坐标，并求这两个交点之间的距离。 　考点02　圆的一般方程 8．把圆＋＋8x－4y－5＝0配方后可知，它的圆心坐标为(____)。 A．(8，－4) B．(－8，4) C．(－4，2) D．(4，－2) 9．将方程＋－10y＋9＝0化成标准方程，可得此圆的半径为________。 10．圆2＋2－4x＋12y＋2＝0的半径等于(____)。 A．3 B．2 C．9 D．6 11．关于x，y的方程＋－4x＋ky＋5＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是________。 12．若方程＋＋2mx－2y＋＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(____)。 A．m∈R B．m>1 C．m≤1 D．m<1 13．如图，圆C的圆心坐标与半径长已在图中标出。把圆C的方程展开成一般方程后，记x的系数为D，y的系数为E，常数项为F，则D＋E＋F的值为(____)。 A．－5 B．－1 C．－2 D．5 14．已知关于x，y的方程C：＋＋2(m－1)x－4my＋5－2m－3＝0（m∈R）。 (1)证明：不论m取何实数，方程C都表示圆，并求出圆心坐标和半径； (2)当m变化时，求这些圆的圆心所在直线的方程； (3)若圆C经过坐标原点，求m的值。 　考点03　待定系数法求圆的方程 15．求得经过O(0，0)，M(－1，－3)，N(－3，1)的圆的一般方程为(____)。 A．＋＋2x＋y＝0 B．＋－5x＋5y＝0 C．＋－4x－2y＝0 D．＋＋4x＋2y＝0 16．圆心落在y轴上，并且过A(4，1)，B(－2，－5)两点的圆的标准方程为________。 17．已知圆C过A(－1，3)，B(5，3)两点，且圆心C在直线x－2y＝0上，则圆C的标准方程是(____)。 A．＋＝ B．＋＝13 C．＋＝13 D．＋＝9 18．如图，△ABC的顶点A，B在x轴上，顶点C在y轴上，各顶点坐标已在图中标出，则△ABC的外接圆的一般方程为________。 19．某圆的圆心在直线y＝x上且位于第一象限，半径为，并经过点(2，－2)，则该圆的标准方程为________。 20．以直线x＋y－2＝0上一点M为圆心的圆恰好经过A(1，－1)与B(－1，1)，则这个圆的方程是(____)。 A．＋＝4 B．＋＝4 C．＋＝2 D．＋＝2 21．已知A(2，6)，B(3，－1)，C(－5，5)三点。 (1)求经过A，B，C三点的圆M的一般方程； (2)若点Q(t，－2)（t<0）也在圆M上，求t的值； (3)求圆M上的点到坐标原点O的距离的最大值与最小值。 　考点04　点与圆的位置关系 22．对于圆＋＝20，下面四个点中位于圆的内部的一个是(____)。 A．(5，1) B．(－2，3) C．(4，－4) D．(－3，－3) 23．把点的坐标代入＋－4x＋2y－4＝0的左边，看结果的正负，可判断点与该圆的位置。下列各点中，落在圆外的是(____)。 A．(－1，1) B．(5，－1) C．(4，1) D．(3，－1) 24．点(2，－1)在圆＋＝9的内部，则实数a的取值范围是________。 25．点P(2，1)在圆＋－2x＋4y＋m＝0的外部，则实数m的取值范围是(____)。 A．m<－5 B．m<5 C．m>－5 D．－5<m<5 26．若点P(a－1，2a)在圆＋＋2x－4＝0的内部，则a的取值范围是(____)。 A．－<a<1 B．a<－1或a>1 C．－1<a<1 D．－1≤a≤1 27．如图，以港口为原点建立平面直角坐标系（单位：km），一座雷达站位于点C(3，－1)处，它的探测范围是以C为圆心的圆面（含边界）。已知位于A(0，－5)处的灯塔恰好在探测范围的边界上。 (1)求探测范围边界圆的方程； (2)甲、乙两艘船分别位于B(0，2)，D(7，－5)处，哪艘船在探测范围内？ (3)若另一艘船位于E(t，3)处且在探测范围内，求t的取值范围。 28．已知点A(1，2)在圆＋＋kx＋2y＋－15＝0的外部，则实数k的取值范围是________。 　考点05　圆上动点的距离最值及轨迹方程 29．点P(5，6)与圆＋－2x－6y＋1＝0上各点距离的最小值为(____)。 A．3－3 B．2 C．5 D．8 30．设M为圆＋＝1上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的取值范围是________。 31．实数x，y满足＋＝4，则＋的最大值是(____)。 A．7 B．49 C．9 D．29 32．定点A(－2，4)与圆＋＝16上的动点P连成线段，线段AP的中点M的轨迹方程是________。 33．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹是(____)。 A．以(10，0)为圆心、6为半径的圆 B．以(－4，0)为圆心、4为半径的圆 C．以(－6，0)为圆心、4为半径的圆 D．以(6，0)为圆心、4为半径的圆 34．点P(x，y)在圆＋－6x－4y＋12＝0上运动，则＋的最小值为(____)。 A．16 B．4 C．25 D．36 35．已知圆C：＋－8x－4y＋16＝0，点A(0，－6)，P是圆C上的动点，M是线段AP的中点。 (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)求|OM|的取值范围（O为坐标原点）； (3)当|OM|取得最大值时，求点M的坐标。 　考点06　对称圆与相切条件的综合 36．与圆＋＝3关于坐标原点对称的圆的方程是(____)。 A．＋＝3 B．＋＝3 C．＋＝3 D．＋＝3 37．圆C的半径为4，圆心在第一象限且在直线x－2y＋2＝0上，并且圆C与y轴相切，则圆C的方程是(____)。 A．＋＝4 B．＋＝16 C．＋＝16 D．＋＝16 38．如图，圆C与x轴、y轴都相切，圆心C在第四象限，且在直线l：3x＋y－4＝0上，则圆C的方程是(____)。 A．＋＝4 B．＋＝4 C．＋＝2 D．＋＝1 39．将圆＋＝9沿直线x－y＋1＝0翻折，得到的新圆的方程是________。 40．若圆＋＋4x－2ay＋1＝0关于直线x－y＋5＝0对称，则该圆的半径为(____)。 A．2 B．12 C． D．2 41．圆心在直线x＋y＝0上、与x轴相切且经过点(1，－2)的圆的方程为________。 42．已知圆C的圆心在x轴上，且圆C经过A(4，4)，B(6，2)两点。 (1)求圆C的标准方程； (2)求圆C关于直线x＋y＝0对称的圆C′的方程； (3)若P是圆C上的动点，求点P到点Q(－4，8)的距离的最大值与最小值。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第二章 直线和圆的方程 专项训练 2.4 圆的方程（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （建议用时：90分钟　测试范围：第二章 直线和圆的方程 2.4） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点分组练习，每个考点内由浅入深；建议先浏览考点归纳，再逐题完成。 2．圆的方程按题目要求写成标准方程或一般方程，半径与距离化成最简根式；含参数的范围题注意同时满足“方程表示圆”的条件。 3．解答题须写出所设方程的形式、代入与求解过程，只写结果不得分。 内容速览　六考点42题（选23·填13·解6）｜解析版 16 页：速查表、答案、详解｜配图 6 幅 　考点归纳 1．由圆心和半径写方程、由方程读出圆心和半径、直径端点与过定点的圆 2．配方化为标准方程、二元二次方程表示圆的条件（含参数） 3．过三点的圆、过两点且圆心在定直线上的圆、三角形的外接圆 4．代入比较判断位置、由位置关系求参数的取值范围、实际情境 5．圆上的点到定点距离的最值、平方和型最值、中点轨迹与距离比为定值的轨迹 6．对称圆、与坐标轴相切的圆、圆心在定直线上的圆 　考点01　圆的标准方程 1．某圆的圆心位于点(－4，1)，半径长为3，那么它的标准方程是(____)。 A．＋＝9 B．＋＝9 C．＋＝3 D．＋＝9 2．观察方程＋＝12，它所表示的圆的圆心坐标为________，半径为________。 3．一个圆以C(－2，1)为圆心并且通过点Q(2，4)，它的标准方程是(____)。 A．＋＝25 B．＋＝25 C．＋＝5 D．＋＝25 4．线段AB的两个端点为A(－3，2)，B(5，－4)，以AB为直径的圆的标准方程是(____)。 A．＋＝25 B．＋＝25 C．＋＝25 D．＋＝100 5．如图，圆C经过坐标原点O，还与x轴的正半轴交于点A(8，0)，与y轴的负半轴交于点B(0，－6)，则圆C的标准方程是(____)。 A．＋＝100 B．＋＝5 C．＋＝25 D．＋＝25 6．圆C的圆心为C(a，3)（a>0），半径为5，且点P(2，－1)在圆C上，则a＝________，圆C的标准方程为________。 7．圆C的圆心为C(－1，－2)，点A(2，2)在圆C上。 (1)求圆C的标准方程； (2)圆C上横坐标为－4的点有哪些？求出它们的坐标； (3)求圆C与y轴的交点坐标，并求这两个交点之间的距离。 　考点02　圆的一般方程 8．把圆＋＋8x－4y－5＝0配方后可知，它的圆心坐标为(____)。 A．(8，－4) B．(－8，4) C．(－4，2) D．(4，－2) 9．将方程＋－10y＋9＝0化成标准方程，可得此圆的半径为________。 10．圆2＋2－4x＋12y＋2＝0的半径等于(____)。 A．3 B．2 C．9 D．6 11．关于x，y的方程＋－4x＋ky＋5＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是________。 12．若方程＋＋2mx－2y＋＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(____)。 A．m∈R B．m>1 C．m≤1 D．m<1 13．如图，圆C的圆心坐标与半径长已在图中标出。把圆C的方程展开成一般方程后，记x的系数为D，y的系数为E，常数项为F，则D＋E＋F的值为(____)。 A．－5 B．－1 C．－2 D．5 14．已知关于x，y的方程C：＋＋2(m－1)x－4my＋5－2m－3＝0（m∈R）。 (1)证明：不论m取何实数，方程C都表示圆，并求出圆心坐标和半径； (2)当m变化时，求这些圆的圆心所在直线的方程； (3)若圆C经过坐标原点，求m的值。 　考点03　待定系数法求圆的方程 15．求得经过O(0，0)，M(－1，－3)，N(－3，1)的圆的一般方程为(____)。 A．＋＋2x＋y＝0 B．＋－5x＋5y＝0 C．＋－4x－2y＝0 D．＋＋4x＋2y＝0 16．圆心落在y轴上，并且过A(4，1)，B(－2，－5)两点的圆的标准方程为________。 17．已知圆C过A(－1，3)，B(5，3)两点，且圆心C在直线x－2y＝0上，则圆C的标准方程是(____)。 A．＋＝ B．＋＝13 C．＋＝13 D．＋＝9 18．如图，△ABC的顶点A，B在x轴上，顶点C在y轴上，各顶点坐标已在图中标出，则△ABC的外接圆的一般方程为________。 19．某圆的圆心在直线y＝x上且位于第一象限，半径为，并经过点(2，－2)，则该圆的标准方程为________。 20．以直线x＋y－2＝0上一点M为圆心的圆恰好经过A(1，－1)与B(－1，1)，则这个圆的方程是(____)。 A．＋＝4 B．＋＝4 C．＋＝2 D．＋＝2 21．已知A(2，6)，B(3，－1)，C(－5，5)三点。 (1)求经过A，B，C三点的圆M的一般方程； (2)若点Q(t，－2)（t<0）也在圆M上，求t的值； (3)求圆M上的点到坐标原点O的距离的最大值与最小值。 　考点04　点与圆的位置关系 22．对于圆＋＝20，下面四个点中位于圆的内部的一个是(____)。 A．(5，1) B．(－2，3) C．(4，－4) D．(－3，－3) 23．把点的坐标代入＋－4x＋2y－4＝0的左边，看结果的正负，可判断点与该圆的位置。下列各点中，落在圆外的是(____)。 A．(－1，1) B．(5，－1) C．(4，1) D．(3，－1) 24．点(2，－1)在圆＋＝9的内部，则实数a的取值范围是________。 25．点P(2，1)在圆＋－2x＋4y＋m＝0的外部，则实数m的取值范围是(____)。 A．m<－5 B．m<5 C．m>－5 D．－5<m<5 26．若点P(a－1，2a)在圆＋＋2x－4＝0的内部，则a的取值范围是(____)。 A．－<a<1 B．a<－1或a>1 C．－1<a<1 D．－1≤a≤1 27．如图，以港口为原点建立平面直角坐标系（单位：km），一座雷达站位于点C(3，－1)处，它的探测范围是以C为圆心的圆面（含边界）。已知位于A(0，－5)处的灯塔恰好在探测范围的边界上。 (1)求探测范围边界圆的方程； (2)甲、乙两艘船分别位于B(0，2)，D(7，－5)处，哪艘船在探测范围内？ (3)若另一艘船位于E(t，3)处且在探测范围内，求t的取值范围。 28．已知点A(1，2)在圆＋＋kx＋2y＋－15＝0的外部，则实数k的取值范围是________。 　考点05　圆上动点的距离最值及轨迹方程 29．点P(5，6)与圆＋－2x－6y＋1＝0上各点距离的最小值为(____)。 A．3－3 B．2 C．5 D．8 30．设M为圆＋＝1上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的取值范围是________。 31．实数x，y满足＋＝4，则＋的最大值是(____)。 A．7 B．49 C．9 D．29 32．定点A(－2，4)与圆＋＝16上的动点P连成线段，线段AP的中点M的轨迹方程是________。 33．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹是(____)。 A．以(10，0)为圆心、6为半径的圆 B．以(－4，0)为圆心、4为半径的圆 C．以(－6，0)为圆心、4为半径的圆 D．以(6，0)为圆心、4为半径的圆 34．点P(x，y)在圆＋－6x－4y＋12＝0上运动，则＋的最小值为(____)。 A．16 B．4 C．25 D．36 35．已知圆C：＋－8x－4y＋16＝0，点A(0，－6)，P是圆C上的动点，M是线段AP的中点。 (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)求|OM|的取值范围（O为坐标原点）； (3)当|OM|取得最大值时，求点M的坐标。 　考点06　对称圆与相切条件的综合 36．与圆＋＝3关于坐标原点对称的圆的方程是(____)。 A．＋＝3 B．＋＝3 C．＋＝3 D．＋＝3 37．圆C的半径为4，圆心在第一象限且在直线x－2y＋2＝0上，并且圆C与y轴相切，则圆C的方程是(____)。 A．＋＝4 B．＋＝16 C．＋＝16 D．＋＝16 38．如图，圆C与x轴、y轴都相切，圆心C在第四象限，且在直线l：3x＋y－4＝0上，则圆C的方程是(____)。 A．＋＝4 B．＋＝4 C．＋＝2 D．＋＝1 39．将圆＋＝9沿直线x－y＋1＝0翻折，得到的新圆的方程是________。 40．若圆＋＋4x－2ay＋1＝0关于直线x－y＋5＝0对称，则该圆的半径为(____)。 A．2 B．12 C． D．2 41．圆心在直线x＋y＝0上、与x轴相切且经过点(1，－2)的圆的方程为________。 42．已知圆C的圆心在x轴上，且圆C经过A(4，4)，B(6，2)两点。 (1)求圆C的标准方程； (2)求圆C关于直线x＋y＝0对称的圆C′的方程； (3)若P是圆C上的动点，求点P到点Q(－4，8)的距离的最大值与最小值。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 答案 B (5，－2)；2 D A C 题号 6 8 9 10 答案 5；＋＝25 C 4 A 题号 11 12 13 15 16 答案 k<－2或k>2 D B D ＋＝20 题号 17 18 19 20 答案 B ＋－4x－y－12＝0 ＋＝10 A 题号 22 23 24 25 26 29 30 31 答案 C A －1<a<2 D C B [4，6] B 题号 32 33 34 36 37 38 答案 ＋＝4 D A C C A 题号 39 40 答案 ＋＝9 D 　考点01　圆的标准方程 1．【答案】B 【解析】标准方程的形式是 ＋＝，其中 (a，b) 是圆心、r是半径。 这里a＝－4，b＝1，＝＝9，所以方程为 ＋＝9。 所以选B。 A项是只把纵坐标1的符号写反了，按此错法真算得＋＝9；C项是等号右边直接写了半径3，没有平方，按此错法真算得＋＝3；D项是把圆心两个坐标的符号都写反了，按此错法真算得＋＝9。 2．【答案】(5，－2)；2 【解析】把方程写成 ＋＝的样子：x－5说明a＝5，y＋2＝y－(－2) 说明b＝－2。 ＝12，所以r＝＝2。 所以答案为(5，－2)；2。 3．【答案】D 【解析】半径等于圆心到圆上一点的距离：＝|CQ|²＝＋＝25。 所以圆的标准方程为 ＋＝25。 所以选D。 A项是把圆上的点Q当成了圆心，按此错法真算得＋＝25；B项是圆心坐标的符号全部写反，按此错法真算得＋＝25；C项是把＝25开方后的5写在了等号右边，按此错法真算得＋＝5。 4．【答案】A 【解析】直径的中点就是圆心：(，)＝(1，－1)。 5－(－3)＝8，－4－2＝－6，|AB|＝＝＝10，半径r＝5，＝25。 所以圆的标准方程为 ＋＝25。 所以选A。 B项是求中点时把两端点坐标相减再除以2，得到圆心(4，－3)，按此错法真算得＋＝25；C项是圆心坐标的符号写反，按此错法真算得＋＝25；D项是把直径 |AB| 当成半径，右边写成 |AB|²，按此错法真算得＋＝100。 5．【答案】C 【解析】∠AOB＝90°，圆周角为直角所对的弦是直径，所以AB是圆C的直径。 圆心为AB的中点(4，－3)，|AB|²＝＋＝100，＝＝25。 所以圆C的标准方程为 ＋＝25。 所以选C。 A项是把直径 |AB| 当成半径，右边写 |AB|²，按此错法真算得＋＝100；B项是右边写成了半径r＝5而不是，按此错法真算得＋＝5；D项是圆心坐标的符号写反，按此错法真算得＋＝25。 6．【答案】5；＋＝25 【解析】点P在圆上，所以 |CP|＝5，即 ＋＝25，得 ＝9。 解得a＝－1或a＝5，又a>0，所以a＝5（a＝－1舍去）。 圆C的标准方程为 ＋＝25。 所以答案为5；＋＝25。 7．【答案】（1）＋＝25；（2）(－4，2)，(－4，－6)；（3）(0，2－2)，(0，－2－2)，距离为4 【解析】【解答】(1)＝|CA|²＝＋＝25，所以圆C的标准方程为 ＋＝25。 (2)令x＝－4，得 ＋＝25，即 ＝16，y＋2＝±4，所以y＝2或y＝－6。横坐标为－4的点是 (－4，2) 和 (－4，－6)。 (3)令x＝0，得 ＋＝25，即 ＝24，y＝2－2或y＝－2－2。 所以圆C与y轴交于 (0，2－2) 和 (0，－2－2)，两交点间的距离为 (2－2)－(－2－2)＝4。 　考点02　圆的一般方程 8．【答案】C 【解析】配方：(+8x+16)＋(－4y+4)＝5＋16＋4，即 ＋＝25。 所以圆心为(－4，2)（半径为5）。也可以直接用 (－，－) 求得。 所以选C。 A项是既弄反符号又忘记除以2，取成了 (D，E)，按此错法真算得(8，－4)；B项是忘记除以2，取成了 (－D，－E)，按此错法真算得(－8，4)；D项是圆心取成了 (，)，符号弄反，按此错法真算得(4，－2)。 9．【答案】4 【解析】方程中不含x的一次项，只对y配方：＋(－10y+25)＝－9＋25，即＋＝16。 所以＝16，半径为4。 所以答案为4。 10．【答案】A 【解析】方程两边同除以2，化为＋－2x＋6y＋1＝0，此时D＝－2，E＝6，F＝1。 r＝()＝()＝()＝3。 所以选A。 B项是两边同除以2时漏除了常数项（仍用F＝2），按此错法真算得2；C项是算出＝后忘了开方，按此错法真算得9；D项是漏乘，把 当成半径，按此错法真算得6。 11．【答案】k<－2或k>2 【解析】方程＋＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，当且仅当＋－4F>0。 这里D＝－4，E＝k，F＝5，于是16＋－20>0，即>4，解得k<－2或k>2。 所以答案为k<－2或k>2。 12．【答案】D 【解析】D＝2m，E＝－2，F＝＋m。由＋－4F>0得4＋4－4(+m)>0，即4－4m>0，解得m<1。 所以选D。 A项是把F只看成m，漏了（得4－4m＋4>0恒成立），按此错法真算得m∈R；B项是最后一步把不等号方向弄反，按此错法真算得m>1；C项是把“>0”写成“≥0”（等于0时方程只表示一个点），按此错法真算得m≤1。 13．【答案】B 【解析】由图知圆心C(2，－3)，半径r＝4，标准方程为 ＋＝16。 展开得＋－4x＋6y＋＋－＝0，即＋－4x＋6y－3＝0。 所以D＝－4，E＝6，F＝－3，D＋E＋F＝－1。 所以选B。 A项是把一次项系数的符号取反（D＝4，E＝－6），按此错法真算得－5；C项是一次项系数漏乘2（D＝－2，E＝3），按此错法真算得－2；D项是常数项的符号弄反，取成－－＝3，按此错法真算得5。 14．【答案】（1）证明见解析，圆心(1－m，2m)，半径2；（2）2x＋y－2＝0；（3）m＝1或m＝－ 【解析】【解答】(1)D＝2(m－1)，E＝－4m，F＝5－2m－3。＋－4F＝4＋16－4(5－2m－3)＝16>0，所以对任意实数m，方程C都表示圆。 圆心为 (－，－)＝(1－m，2m)，半径r＝()＝2。 (2)设圆心为 (x，y)，则x＝1－m，y＝2m。由第一式得m＝1－x，代入第二式得y＝2(1－x)，即2x＋y－2＝0。所以圆心都在直线2x＋y－2＝0上。 (3)圆C经过原点，把 (0，0) 代入方程得5－2m－3＝0，即 (m－1)(5m+3)＝0，解得m＝1或m＝－。 　考点03　待定系数法求圆的方程 15．【答案】D 【解析】设所求圆为＋＋Dx＋Ey＋F＝0。由原点在圆上得F＝0。 把M，N的坐标代入，得－D－3E＝－10，－3D＋E＝－10。 解得D＝4，E＝2，所以圆的方程为＋＋4x＋2y＝0（圆心(－2，－1)，半径 ）。 所以选D。 A项是把圆心坐标的相反数当成D，E（漏乘2），按此错法真算得＋＋2x＋y＝0；B项是代入N时把横坐标－3错看成3，按此错法真算得＋－5x＋5y＝0；C项是D，E的符号取反，按此错法真算得＋－4x－2y＝0。 16．【答案】＋＝20 【解析】设圆心C(0，b)，由 |CA|＝|CB| 得＋＝＋。 展开整理得17－2b＝10b＋29，解得b＝－1。＝＋＝20。 所以圆的标准方程为＋＝20。 所以答案为＋＝20。 17．【答案】B 【解析】圆心在AB的垂直平分线上。A，B纵坐标相同，AB的垂直平分线是x＝2。 联立x＝2与x－2y＝0，得圆心C(2，1)，＝|CA|²＝＋＝13。 所以圆C的标准方程为 ＋＝13。 所以选B。 A项是右边写成半径r而不是，按此错法真算得＋＝；C项是圆心坐标的符号写反，按此错法真算得＋＝13；D项是把AB的中点(2，3)当成圆心，按此错法真算得＋＝9。 18．【答案】＋－4x－y－12＝0 【解析】设外接圆为＋＋Dx＋Ey＋F＝0。代入A，B：4－2D＋F＝0，36＋6D＋F＝0，两式相减得32＋8D＝0，D＝－4，F＝2D－4＝－12。 代入C：16＋4E＋F＝0，E＝＝－1。所以外接圆的方程为＋－4x－y－12＝0。 所以答案为＋－4x－y－12＝0。 19．【答案】＋＝10 【解析】设圆心为 (a，a)，由圆过点(2，－2)得 ＋＝10，整理得2＋8＝10，＝1。 a＝－1或a＝1，圆心在第一象限，取a＝1，所以圆的方程为 ＋＝10。 所以答案为＋＝10。 20．【答案】A 【解析】AB的中点为(0，0)，kAB＝＝－1，所以AB的垂直平分线斜率为1，方程为y＝x。 联立y＝x与x＋y－2＝0得圆心M(1，1)，＝|MA|²＝＋＝4。 所以圆M的方程为 ＋＝4。 所以选A。 B项是圆心坐标的符号写反，按此错法真算得＋＝4；C项是把AB的中点当成圆心，按此错法真算得＋＝2；D项是右边写成半径2而不是，按此错法真算得＋＝2。 21．【答案】（1）＋＋2x－4y－20＝0；（2）t＝－4；（3）最大值5＋，最小值5－ 【解析】【解答】(1)设圆M：＋＋Dx＋Ey＋F＝0。把A，B，C三点的坐标分别代入，得2D＋6E＋F＋40＝0，3D－E＋F＋10＝0，－5D＋5E＋F＋50＝0。 第一式减第二式得－D＋7E＝－30；第三式减第一式得－7D－E＝－10。解得D＝2，E＝－4，再代入第二式得F＝－20。 所以圆M的方程为＋＋2x－4y－20＝0。 (2)配方得圆M的标准方程 ＋＝25，圆心M(－1，2)，半径r＝5。把Q(t，－2) 代入得 ＋＝25，即 ＝9，t＝2或t＝－4。又t<0，所以t＝－4。 (3)|OM|＝＝<5，原点O在圆M内。圆上的点到O的距离的最大值为r＋|OM|＝5＋，最小值为r－|OM|＝5－。 　考点04　点与圆的位置关系 22．【答案】C 【解析】点 (x0，y0) 与圆 ＋＝：代入左边后小于在圆内，等于在圆上，大于在圆外。 A项，代入得 ＋＝20，恰好等于＝20，点在圆上。 B项，代入得 ＋＝25，大于＝20，点在圆外。 C项，代入得 ＋＝18，小于＝20，点在圆内。 D项，代入得 ＋＝20，恰好等于＝20，点在圆上。 所以选C。 23．【答案】A 【解析】配方可知＋－4x＋2y－4＝＋－9，所以把点的坐标代入左边，得到的是“点到圆心 (2，－1) 距离的平方减去＝9”：结果大于0在圆外，等于0在圆上，小于0在圆内。 A项，代入左边得1＋1＋4＋2－4＝4>0，点在圆外。 B项，代入左边得25＋1－20－2－4＝0，点在圆上。 C项，代入左边得16＋1－16＋2－4＝－1<0，点在圆内。 D项，代入左边得9＋1－12－2－4＝－8<0，点在圆内。 所以选A。 24．【答案】－1<a<2 【解析】点在圆内，代入左边应小于：＋<9。 展开得2－2a＋5<9，即－a－2<0，(a+1)(a－2)<0，解得－1<a<2。 所以答案为－1<a<2。 25．【答案】D 【解析】先保证方程表示圆：＋－4m>0，即4＋16－4m>0，得m<5。 再由点P在圆外：＋－2×2＋4×1＋m>0，即5＋m>0，得m>－5。 两者同时成立，所以－5<m<5。 所以选D。 A项是把“点在圆外”的不等号写反（得m<－5）再与m<5取公共部分，按此错法真算得m<－5；B项是只用了方程表示圆的条件，漏了“点在圆外”，按此错法真算得m<5；C项是只用了“点在圆外”，漏了方程表示圆的条件，按此错法真算得m>－5。 26．【答案】C 【解析】圆的方程配方得 ＋＝5。点P在圆内：＋<5，即5<5，<1，解得－1<a<1。 所以选C。 A项是代入时把 (a－1)＋1算成了a－2（得5－4a－1<0），按此错法真算得－<a<1；B项是把<1解成了a<－1或a>1，按此错法真算得a<－1或a>1；D项是把“<”写成“≤”，把圆上的点也算进内部，按此错法真算得－1≤a≤1。 27．【答案】（1）＋＝25；（2）甲船在探测范围内，乙船不在；（3）0≤t≤6 【解析】【解答】(1)灯塔A在探测范围的边界上，所以半径r＝|CA|＝＝5，边界圆的方程为 ＋＝25。 (2)|CB|²＝＋＝18<25，甲船在圆内；|CD|²＝＋＝32>25，乙船在圆外。 所以甲船在探测范围内，乙船不在。 (3)E在探测范围内：＋≤25，即 ≤9，－3≤t－3≤3，解得0≤t≤6。 28．【答案】－<k<－3或2<k< 【解析】方程要表示圆：＋4－4(－15)>0，即3<64，解得－<k<。 点A在圆外：1＋4＋k＋4＋－15>0，即＋k－6>0，(k+3)(k－2)>0，解得k<－3或k>2。 取公共部分得－<k<－3或2<k<。 所以答案为－<k<－3或2<k<。 　考点05　圆上动点的距离最值及轨迹方程 29．【答案】B 【解析】配方得 ＋＝9，圆心C(1，3)，半径r＝3。 |PC|＝＝5>3，点P在圆外，最小值为 |PC|－r＝5－3＝2。 所以选B。 A项是圆心坐标符号取反，用 (－1，－3) 计算，按此错法真算得3－3；C项是只算了 |PC|，忘了减去半径，按此错法真算得5；D项是求成了最大值 |PC|＋r，按此错法真算得8。 30．【答案】[4，6] 【解析】圆心C(－3，4)，半径r＝1，|OC|＝＝5>r，原点在圆外。 |OM| 的最小值为 |OC|－r＝4，最大值为 |OC|＋r＝6，所以取值范围是 [4，6]。 所以答案为[4，6]。 31．【答案】B 【解析】＋表示点 (x，y) 到原点距离的平方。圆心C(3，－4)，r＝2，|OC|＝＝5。 圆上的点到原点的最大距离为 |OC|＋r＝7，所以＋的最大值为＝49。 所以选B。 A项是求出最大距离7后忘了平方，按此错法真算得7；C项是用了最小距离 |OC|－r再平方，按此错法真算得9；D项是误认为＋＝|OC|²＋，按此错法真算得29。 32．【答案】＋＝4 【解析】设M(x，y)，P(x0，y0)。由中点坐标公式x＝，y＝，得x0＝2x＋2，y0＝2y－4。 P在圆上，所以 ＋＝16，两边除以4得 ＋＝4。 所以答案为＋＝4。 33．【答案】D 【解析】设P(x，y)，由 |PA|＝2|PB| 得 |PA|²＝4|PB|²，即 ＋＝4[＋]。 展开整理得3＋3－36x＋60＝0，即＋－12x＋20＝0，配方得 ＋＝16。 所以点P的轨迹是以(6，0)为圆心、4为半径的圆。 所以选D。 A项是两边平方时比值2没有平方（右边只乘2），得 ＋＝72，按此错法真算得以(10，0)为圆心、6为半径的圆；B项是把条件看成 |PB|＝2|PA|，得 ＋＝16，按此错法真算得以(－4，0)为圆心、4为半径的圆；C项是配方后把圆心横坐标的符号读反，按此错法真算得以(－6，0)为圆心、4为半径的圆。 34．【答案】A 【解析】配方得 ＋＝1，圆心C(3，2)，r＝1。 ＋是点P与Q(－1，－1) 距离的平方。|CQ|＝＝5>r，Q在圆外。 |PQ| 的最小值为5－1＝4，所求最小值为＝16。 所以选A。 B项是求出最小距离4后忘了平方，按此错法真算得4；C项是只算了 |CQ|²，忘了减半径，按此错法真算得25；D项是求成了最大值 ，按此错法真算得36。 35．【答案】（1）＋＝1，是以(2，－2)为圆心、1为半径的圆；（2）[2－1，2＋1]；（3）(2+，－2－) 【解析】【解答】(1)圆C的标准方程为 ＋＝4。设M(x，y)，P(x0，y0)，则x＝x0/2，y＝，所以x0＝2x，y0＝2y＋6。 P在圆C上，＋＝4，整理得 ＋＝1。点M的轨迹是以(2，－2)为圆心、1为半径的圆。 (2)记轨迹圆的圆心为N(2，－2)，|ON|＝＝2>1，原点在轨迹圆外，所以 |OM| 的最小值为2－1，最大值为2＋1，取值范围是 [2－1，2＋1]。 (3)|OM| 最大时，M在射线ON上且在N的外侧，|NM|＝1。ON方向的单位向量为 (，－)，把N沿这个方向移动1个单位，得M的坐标为(2+，－2－)。 　考点06　对称圆与相切条件的综合 36．【答案】C 【解析】两圆关于原点对称，半径相等，圆心关于原点对称。圆心 (2，－5) 关于原点的对称点为 (－2，5)。 所以所求圆的方程为 ＋＝3。 所以选C。 A项是把圆心只关于x轴作了对称，按此错法真算得＋＝3；B项是把圆心关于直线y＝x作了对称（交换横、纵坐标），按此错法真算得＋＝3；D项是把圆心只关于y轴作了对称，按此错法真算得＋＝3。 37．【答案】C 【解析】圆与y轴相切，圆心到y轴的距离等于半径，圆心在第一象限，所以圆心横坐标为4。 代入x－2y＋2＝0得4－2b＋2＝0，b＝3，圆心为(4，3)。 所以圆C的方程为 ＋＝16。 所以选C。 A项是右边写成半径4而不是，按此错法真算得＋＝4；B项是没有用“第一象限”，取横坐标为－4，按此错法真算得＋＝16；D项是把“与y轴相切”当成与x轴相切（取纵坐标为4），按此错法真算得＋＝16。 38．【答案】A 【解析】圆与两坐标轴都相切，圆心到两轴的距离都等于半径；圆心在第四象限，可设圆心为 (a，－a)（a>0），半径为a。 代入3x＋y－4＝0得3a－a－4＝0，a＝2，所以圆C的方程为 ＋＝4。 所以选A。 B项是圆心坐标的符号写反，按此错法真算得＋＝4；C项是右边写成半径2而不是，按此错法真算得＋＝2；D项是按第一象限设圆心为 (a，a)，得3a＋a－4＝0，a＝1，按此错法真算得＋＝1。 39．【答案】＋＝9 【解析】翻折后半径不变，新圆心是原圆心 (4，－2) 关于直线x－y＋1＝0的对称点，设为 (m，n)：两点的中点在直线上，且两点连线与直线垂直（斜率为－1）。 由中点在直线上得 －＋1＝0，由连线与直线垂直得 ＝－1，解得m＝－3，n＝5。所以新圆的方程为 ＋＝9。 所以答案为＋＝9。 40．【答案】D 【解析】圆关于一条直线对称，这条直线必过圆心。圆心为 (－2，a)，代入x－y＋5＝0得－2－a＋5＝0，a＝3。 此时r＝()＝＝＝2。 所以选D。 A项是把圆心写成 (2，－a)，得a＝－7，按此错法真算得2；B项是算出＝12后忘了开方，按此错法真算得12；C项是把F的符号弄反，用＝4＋＋1，按此错法真算得。 41．【答案】＋＝1或＋＝25 【解析】设圆心为 (a，－a)，与x轴相切，所以半径r＝|a|。 由圆过点(1，－2)得 ＋＝，整理得－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5。 所以圆的方程为 ＋＝1或 ＋＝25。 所以答案为＋＝1或＋＝25。 42．【答案】（1）＋＝20；（2）＋＝20；（3）最大值10＋2，最小值10－2 【解析】【解答】(1)设圆心C(t，0)，由 |CA|＝|CB| 得 ＋＝＋，整理得4t＝8，t＝2。＝＋＝20，所以圆C的方程为 ＋＝20。 (2)点 (a，b) 关于直线x＋y＝0的对称点为 (－b，－a)，所以圆心C(2，0) 的对称点为C′(0，－2)，半径不变，圆C′ 的方程为＋＝20。 (3)|CQ|＝＝10>2，点Q在圆外。所以 |PQ| 的最大值为10＋2，最小值为10－2。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $