2.3 直线的交点坐标与距离公式专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二上学期 第二章 直线和圆的方程 专项训练 2.3 直线的交点坐标与距离公式（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （建议用时：90分钟　测试范围：第二章 直线和圆的方程 2.3） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点分组，每个考点内由易到难；先看考点归纳，再逐题训练。 2．距离一律写成最简根式；直线方程的最后结果化为一般式Ax＋By＋C＝0（A，B，C为整数，且x的系数为正）。 3．解答题要写出用到的公式与代入过程，只写结果不得分。 内容速览　六考点29题（选15·填10·解4）｜解析版 9 页：速查表、答案、详解 　考点归纳 1．两直线的交点：解方程组求交点、过两直线交点的直线 2．两点间的距离：两点间距离公式的计算、由两点间的距离求点的坐标 3．点到直线的距离：距离公式的直接使用、由点到直线的距离确定参数 4．两平行线间的距离：先化同系数再套公式 5．对称与垂直平分线：点关于直线的对称点、线段的垂直平分线 6．综合应用：交点与垂线与距离、光线反射、三角形的边高面积、到原点距离为定值的直线 　考点01　两直线的交点 1．直线x＋2y－5＝0与直线2x－y－5＝0的交点坐标是(____)。 A．(1，3) B．(1，－3) C．(－1，3) D．(3，1) 2．两条直线x＋y－6＝0，3x－y－2＝0的交点为________。 3．直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋7＝0相交于一点，该点的坐标是(____)。 A．(1，2) B．(－，－) C．(－1，－2) D．(－，－) 4．过直线x＋3y－7＝0与2x－y－7＝0的交点，且与直线3x＋y＋7＝0平行的直线方程是(____)。 A．3x－y－11＝0 B．x－3y－1＝0 C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y－7＝0 5．经过两直线3x＋y－14＝0，x－2y＝0的交点并垂直于直线x＋2y＋5＝0的直线的方程为________。 　考点02　两点间的距离 6．点A(2，－1)与点B(5，3)之间的距离是(____)。 A．5 B． C． D．25 7．已知A(－3，1)，B(1，－2)，则|AB|为________。 8．平面直角坐标系中，A(－1，4)，B(3，6)两点间的距离是(____)。 A．2 B．20 C．2 D． 9．已知点A(1，2)，B(m，6)，且|AB|＝5，则m为________。 10．点A(－2，3)与点B(m，0)的距离为5，则实数m的值是(____)。 A．2 B．无实数解 C．－6 D．－6或2 　考点03　点到直线的距离 11．已知直线l：3x－4y＋5＝0，则点P(2，－1)到l的距离d等于(____)。 A． B．3 C． D．2 12．点P(1，1)与直线x＋y＋2＝0的距离为________。 13．已知直线l：7x＋24y－50＝0，则坐标原点O到l的距离等于(____)。 A． B． C．2 D． 14．已知点P(a，2)（a>0）到直线3x－4y＋2＝0的距离为2，则a为________。 15．若点P(a，－1)与直线4x＋3y－5＝0的距离等于1，则a的值是(____)。 A． B．－或 C．或 D． 　考点04　两平行线间的距离 16．已知l1：4x＋3y－2＝0，l2：8x＋6y＋1＝0，且l1∥l2，则l1与l2间的距离等于(____)。 A． B． C． D． 17．直线x－2y＋4＝0与直线x－2y－1＝0间的距离为________。 18．平行直线2x－y＋6＝0和4x－2y－3＝0的距离是(____)。 A． B． C． D． 19．已知直线l1：3x＋4y＋1＝0与l2：6x＋8y－8＝0互相平行，则l1与l2间的距离d＝________。 20．直线5x－12y＋1＝0与直线10x－24y＋3＝0间的距离是(____)。 A． B． C． D． 　考点05　对称与垂直平分线 21．点P(3，1)关于直线x－y＋1＝0的对称点的坐标是(____)。 A．(4，0) B．(1，3) C．(2，2) D．(0，4) 22．点P(2，5)关于直线x＋y－6＝0对称的点为________。 23．已知A(1，2)，B(5，4)，则线段AB的垂直平分线的方程是(____)。 A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－4＝0 24．线段AB的端点为A(－3，2)，B(1，－4)，它的垂直平分线的方程为________。 　考点06　综合应用 25．以A(1，2)，B(5，3)，C(2，7)为顶点的三角形的面积是(____)。 A． B．19 C． D． 26．已知直线l1：2x＋y－7＝0，l2：x－2y＋4＝0，l3：3x＋4y＋1＝0。 (1)设l1与l2相交于点P，求点P的坐标； (2)求过点P且与l3垂直的直线的方程； (3)求点P到直线l3的距离。 27．位于点A(2，3)处的光源发出一束光，射到x轴上的点M处后被反射，反射光线恰好通过点B(6，1)。 (1)求反射光线MB所在直线的方程； (2)求反射点M的坐标； (3)求这束光从A到M再到B所走的路程。 28．已知△ABC的三个顶点为A(1，3)，B(－2，－1)，C(4，－3)。 (1)写出直线BC的方程（化为一般式）； (2)求边BC上的高的长度； (3)求△ABC的面积。 29．已知点P(1，2)。 (1)求过点P且到原点的距离等于1的直线的方程； (2)求过点P的直线到原点的距离的最大值。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第二章 直线和圆的方程 专项训练 2.3 直线的交点坐标与距离公式（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （建议用时：90分钟　测试范围：第二章 直线和圆的方程 2.3） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点分组，每个考点内由易到难；先看考点归纳，再逐题训练。 2．距离一律写成最简根式；直线方程的最后结果化为一般式Ax＋By＋C＝0（A，B，C为整数，且x的系数为正）。 3．解答题要写出用到的公式与代入过程，只写结果不得分。 内容速览　六考点29题（选15·填10·解4）｜解析版 9 页：速查表、答案、详解 　考点归纳 1．两直线的交点：解方程组求交点、过两直线交点的直线 2．两点间的距离：两点间距离公式的计算、由两点间的距离求点的坐标 3．点到直线的距离：距离公式的直接使用、由点到直线的距离确定参数 4．两平行线间的距离：先化同系数再套公式 5．对称与垂直平分线：点关于直线的对称点、线段的垂直平分线 6．综合应用：交点与垂线与距离、光线反射、三角形的边高面积、到原点距离为定值的直线 　考点01　两直线的交点 1．直线x＋2y－5＝0与直线2x－y－5＝0的交点坐标是(____)。 A．(1，3) B．(1，－3) C．(－1，3) D．(3，1) 2．两条直线x＋y－6＝0，3x－y－2＝0的交点为________。 3．直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋7＝0相交于一点，该点的坐标是(____)。 A．(1，2) B．(－，－) C．(－1，－2) D．(－，－) 4．过直线x＋3y－7＝0与2x－y－7＝0的交点，且与直线3x＋y＋7＝0平行的直线方程是(____)。 A．3x－y－11＝0 B．x－3y－1＝0 C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y－7＝0 5．经过两直线3x＋y－14＝0，x－2y＝0的交点并垂直于直线x＋2y＋5＝0的直线的方程为________。 　考点02　两点间的距离 6．点A(2，－1)与点B(5，3)之间的距离是(____)。 A．5 B． C． D．25 7．已知A(－3，1)，B(1，－2)，则|AB|为________。 8．平面直角坐标系中，A(－1，4)，B(3，6)两点间的距离是(____)。 A．2 B．20 C．2 D． 9．已知点A(1，2)，B(m，6)，且|AB|＝5，则m为________。 10．点A(－2，3)与点B(m，0)的距离为5，则实数m的值是(____)。 A．2 B．无实数解 C．－6 D．－6或2 　考点03　点到直线的距离 11．已知直线l：3x－4y＋5＝0，则点P(2，－1)到l的距离d等于(____)。 A． B．3 C． D．2 12．点P(1，1)与直线x＋y＋2＝0的距离为________。 13．已知直线l：7x＋24y－50＝0，则坐标原点O到l的距离等于(____)。 A． B． C．2 D． 14．已知点P(a，2)（a>0）到直线3x－4y＋2＝0的距离为2，则a为________。 15．若点P(a，－1)与直线4x＋3y－5＝0的距离等于1，则a的值是(____)。 A． B．－或 C．或 D． 　考点04　两平行线间的距离 16．已知l1：4x＋3y－2＝0，l2：8x＋6y＋1＝0，且l1∥l2，则l1与l2间的距离等于(____)。 A． B． C． D． 17．直线x－2y＋4＝0与直线x－2y－1＝0间的距离为________。 18．平行直线2x－y＋6＝0和4x－2y－3＝0的距离是(____)。 A． B． C． D． 19．已知直线l1：3x＋4y＋1＝0与l2：6x＋8y－8＝0互相平行，则l1与l2间的距离d＝________。 20．直线5x－12y＋1＝0与直线10x－24y＋3＝0间的距离是(____)。 A． B． C． D． 　考点05　对称与垂直平分线 21．点P(3，1)关于直线x－y＋1＝0的对称点的坐标是(____)。 A．(4，0) B．(1，3) C．(2，2) D．(0，4) 22．点P(2，5)关于直线x＋y－6＝0对称的点为________。 23．已知A(1，2)，B(5，4)，则线段AB的垂直平分线的方程是(____)。 A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－4＝0 24．线段AB的端点为A(－3，2)，B(1，－4)，它的垂直平分线的方程为________。 　考点06　综合应用 25．以A(1，2)，B(5，3)，C(2，7)为顶点的三角形的面积是(____)。 A． B．19 C． D． 26．已知直线l1：2x＋y－7＝0，l2：x－2y＋4＝0，l3：3x＋4y＋1＝0。 (1)设l1与l2相交于点P，求点P的坐标； (2)求过点P且与l3垂直的直线的方程； (3)求点P到直线l3的距离。 27．位于点A(2，3)处的光源发出一束光，射到x轴上的点M处后被反射，反射光线恰好通过点B(6，1)。 (1)求反射光线MB所在直线的方程； (2)求反射点M的坐标； (3)求这束光从A到M再到B所走的路程。 28．已知△ABC的三个顶点为A(1，3)，B(－2，－1)，C(4，－3)。 (1)写出直线BC的方程（化为一般式）； (2)求边BC上的高的长度； (3)求△ABC的面积。 29．已知点P(1，2)。 (1)求过点P且到原点的距离等于1的直线的方程； (2)求过点P的直线到原点的距离的最大值。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D (2，4) B C 2x－y－6＝0 A 5 题号 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A －2或4 D B 2 C C 题号 16 17 18 19 20 21 22 23 答案 A D 1 B D (1，4) B 题号 24 25 答案 2x－3y－1＝0 C 　考点01　两直线的交点 1．【答案】D 【解析】联立 {x＋2y－5＝0，2x－y－5＝0}，解得x＝3，y＝1。 所以交点坐标为(3，1)。 所以选D。 A项把交点的横、纵坐标写反，按此错法得(1，3)；B项把第一个方程的常数项符号看反，按此错法得(1，－3)；C项把第二个方程的常数项符号看反，按此错法得(－1，3)。 2．【答案】(2，4) 【解析】联立 {x＋y－6＝0，3x－y－2＝0}，解得x＝2，y＝4。 所以交点坐标为(2，4)。 所以答案为(2，4)。 3．【答案】B 【解析】联立 {3x－2y＋1＝0，x＋3y＋7＝0}，解得x＝－，y＝－。 所以交点坐标为(－，－)。 所以选B。 A项把第二个方程的常数项符号看反，按此错法得(1，2)；C项把第一个方程的常数项符号看反，按此错法得(－1，－2)；D项把交点的横、纵坐标写反，按此错法得(－，－)。 4．【答案】C 【解析】联立 {x＋3y－7＝0，2x－y－7＝0} 解得交点(4，1)。 直线3x＋y＋7＝0的斜率为－3，所求直线与它平行，斜率为－3，由点斜式得y－(1)＝－3[x－(4)]，即3x＋y－13＝0。 所以选C。 A项斜率符号弄反，按此错法得3x－y－11＝0；B项误当成垂直，按此错法得x－3y－1＝0；D项交点坐标写反，按此错法得3x＋y－7＝0。 5．【答案】2x－y－6＝0 【解析】联立 {3x＋y－14＝0，x－2y＝0} 解得交点(4，2)。 直线x＋2y＋5＝0的斜率为－，所求直线与它垂直，斜率为2，由点斜式得y－(2)＝2[x－(4)]，即2x－y－6＝0。 所以答案为2x－y－6＝0。 　考点02　两点间的距离 6．【答案】A 【解析】5－(2)＝3，3－(－1)＝4，由两点间距离公式得 |AB|＝＝5。 所以选A。 B项横坐标相减写成了相加（用x2＋x1），按此错法得；C项漏了平方，直接对两个差之和开方，按此错法得；D项漏了开方，按此错法得25。 7．【答案】5 【解析】1－(－3)＝4，－2－(1)＝－3，由两点间距离公式得 |AB|＝＝5。 所以答案为5。 8．【答案】A 【解析】3－(－1)＝4，6－(4)＝2，由两点间距离公式得 |AB|＝＝2。 所以选A。 B项漏了开方，按此错法得20；C项横坐标相减写成了相加（用x2＋x1），按此错法得2；D项漏了平方，直接对两个差之和开方，按此错法得。 9．【答案】－2或4 【解析】由 |AB|＝5得 ＋＝25，即 ＝9。 解得m＝－2或4。 所以答案为－2或4。 10．【答案】D 【解析】由 |AB|＝5得 ＋＝25，即 ＝16。 解得m＝－6或2。 所以选D。 A项漏掉了另一个解，按此错法得2；B项把写成了d（漏平方，用 ＋9＝5），按此错法得无实数解；C项漏掉了一个解，按此错法得－6。 　考点03　点到直线的距离 11．【答案】B 【解析】由点到直线的距离公式d＝|Ax0+By0+C|/＝|3×(2)+(－4)×(－1)+(5)|/＝＝3。 所以选B。 A项分母漏了开方，按此错法得；C项分母算成了 |A|＋|B|，按此错法得；D项代入时常数项C漏掉，按此错法得2。 12．【答案】2 【解析】由点到直线的距离公式d＝|Ax0+By0+C|/＝|1×(1)+1×(1)+(2)|/＝4/＝2。 所以答案为2。 13．【答案】C 【解析】由点到直线的距离公式d＝|Ax0+By0+C|/＝|7×(0)+24×(0)+(－50)|/＝＝2。 所以选C。 A项把x0、y0都当成1代入（算成 |A+B+C|），按此错法得；B项分母算成了 |A|＋|B|，按此错法得；D项分母漏了开方，按此错法得。 14．【答案】 【解析】由距离公式得 |3a－6|/＝2，即 |3a－6|＝10。 解得a＝－或，又a>0，所以a＝。 所以答案为。 15．【答案】C 【解析】由距离公式得 |4a－8|/＝1，即 |4a－8|＝5。 解得a＝或。 所以选C。 A项解绝对值方程时只取了4a－8＝－5这一支，漏掉另一支，按此错法得；B项分母漏了开方，按此错法得－或；D项分子漏取绝对值，只解了4a－8＝5这一支，按此错法得。 　考点04　两平行线间的距离 16．【答案】A 【解析】先把两直线的x，y系数化成相同：8x＋6y＋1＝0两边同除以2，得4x＋3y＋＝0。 由两平行线间距离公式d＝|C1－C2|/＝|－2－()|/＝。 所以选A。 B项分母改用第二条直线的系数代入 而分子没化同系数，按此错法得；C项没有把系数化成相同就直接套公式，按此错法得；D项分母漏了开方，按此错法得。 17．【答案】 【解析】两直线的x，y系数已相同，可直接套公式。 由两平行线间距离公式d＝|C1－C2|/＝|4－(－1)|/＝。 所以答案为。 18．【答案】D 【解析】先把两直线的x，y系数化成相同：4x－2y－3＝0两边同除以2，得2x－y－＝0。 由两平行线间距离公式d＝|C1－C2|/＝|6－(－)|/＝。 所以选D。 A项分母改用第二条直线的系数代入 而分子没化同系数，按此错法得；B项没有把系数化成相同就直接套公式，按此错法得；C项分母漏了开方，按此错法得。 19．【答案】1 【解析】先把两直线的x，y系数化成相同：6x＋8y－8＝0两边同除以2，得3x＋4y－4＝0。 由两平行线间距离公式d＝|C1－C2|/＝|1－(－4)|/＝1。 所以答案为1。 20．【答案】B 【解析】先把两直线的x，y系数化成相同：10x－24y＋3＝0两边同除以2，得5x－12y＋＝0。 由两平行线间距离公式d＝|C1－C2|/＝|1－()|/＝。 所以选B。 A项分母改用第二条直线的系数代入 而分子没化同系数，按此错法得；C项没有把系数化成相同就直接套公式，按此错法得；D项分母漏了开方，按此错法得。 　考点05　对称与垂直平分线 21．【答案】D 【解析】设对称点Q(a，b)，则PQ的中点在直线x－y＋1＝0上，且PQ⊥l（kPQ＝－1）。 由中点 (，) 满足直线方程，及 ＝－1，解得a＝0，b＝4。 所以对称点为(0，4)。 所以选D。 A项把两个方程解反，按此错法得(4，0)；B项当成了关于直线y＝x对称（漏掉常数项），按此错法得(1，3)；C项把直线常数项的符号弄反（当成y＝x－1），按此错法得(2，2)。 22．【答案】(1，4) 【解析】设对称点Q(a，b)，则PQ的中点在直线x＋y－6＝0上，且PQ⊥l（kPQ＝1）。 由中点 (，) 满足直线方程，及 ＝1，解得a＝1，b＝4。 所以对称点为(1，4)。 所以答案为(1，4)。 23．【答案】B 【解析】AB的中点为(3，3)，kAB＝，所以垂直平分线的斜率为－2。 由点斜式得y－(3)＝－2[x－(3)]，即2x＋y－9＝0。 所以选B。 A项斜率没有取负倒数，按此错法得x－2y＋3＝0；C项斜率只取了倒数，按此错法得2x－y－3＝0；D项过的不是中点而是端点A，按此错法得2x＋y－4＝0。 24．【答案】2x－3y－1＝0 【解析】AB的中点为(－1，－1)，kAB＝－，所以垂直平分线的斜率为。 由点斜式得y－(－1)＝[x－(－1)]，即2x－3y－1＝0。 所以答案为2x－3y－1＝0。 　考点06　综合应用 25．【答案】C 【解析】5－(1)＝4，3－(2)＝1，|AB|＝＝；直线AB的方程为x－4y＋7＝0。 点C到直线AB的距离h＝|1×(2)+(－4)×(7)+(7)|/＝。 所以 △ABC的面积S＝×|AB|×h＝。 所以选C。 A项把高算成了C到x轴的距离，按此错法得；B项忘了乘，按此错法得19；D项底用了 |AC| 而高仍用C到AB的距离，按此错法得。 26．【答案】（1）P(2，3)；（2）4x－3y＋1＝0；（3） 【解析】【解答】(1)联立 {2x＋y－7＝0，x－2y＋4＝0}，解得x＝2，y＝3，所以P(2，3)。 (2)l3的斜率为－，所求直线与l3垂直，斜率为，由点斜式得y－(3)＝[x－(2)]，即4x－3y＋1＝0。 (3)d＝|3×(2)+4×(3)+(1)|/＝。 27．【答案】（1）x－y－5＝0；（2）M(5，0)；（3）4 【解析】【解答】(1)点A(2，3) 关于x轴的对称点为A′(2，－3)。由反射的性质，A′、M、B三点共线，即反射光线MB所在直线经过A′ 与B。 直线A′B的斜率为1，所以反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝1[x－(2)]，即x－y－5＝0。 (2)反射点M是直线A′B与x轴的交点：令y＝0，得x＝5，所以M(5，0)。 (3)|MA|＝|MA′|，所以光线走过的路程 |AM|＋|MB|＝|A′M|＋|MB|＝|A′B|，6－(2)＝4，1－(－3)＝4，|A′B|＝＝4。 28．【答案】（1）x＋3y＋5＝0；（2）；（3）15 【解析】【解答】(1)kBC＝－，由点斜式得y－(－1)＝－[x－(－2)]，即x＋3y＋5＝0。 (2)边BC上的高的长度就是点A到直线BC的距离：h＝|1×(1)+3×(3)+(5)|/＝。 (3)4－(－2)＝6，－3－(－1)＝－2，|BC|＝＝2，所以 △ABC的面积S＝×|BC|×h＝15。 29．【答案】（1）x－1＝0或3x－4y＋5＝0；（2） 【解析】【解答】(1)当直线斜率不存在时，方程为x＝1（即x－1＝0），原点到它的距离为1，符合题意； 当斜率存在时，设方程为y－(2)＝k(x－(1))，即kx－y＋(2－k)＝0，由 |2－k|/＝1得 ＝+1，解得k＝，方程为3x－4y＋5＝0。 所以所求直线方程为x－1＝0或3x－4y＋5＝0。 (2)设过点P的直线为l，原点O到l的距离d满足d≤|OP|＝＝，当且仅当l⊥OP时取等号。所以所求最大值为 。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $