第二章 专题06 直线和圆的方程综合专项训练（7大题型36题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题06 直线和圆的方程综合（7大题型36题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　直线与直线的位置关系与距离 第1—5题 5 题型二　直线方程与对称综合 第6—10题 5 题型三　圆的方程与点、圆的关系 第11—15题 5 题型四　直线与圆的位置关系与弦长切线 第16—20题 5 题型五　圆与圆的位置关系、公共弦与公切线 第21—26题 6 题型六　对称与最值 第27—31题 5 题型七　综合应用与新定义 第32—36题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　直线与直线的位置关系与距离（共5小题） 【知识积累】 两直线平行与垂直的判定：设直线 ，（斜率都存在时用斜率）。 的代数条件是 且不重合； 的代数条件是 。 平行线间的距离：两条平行直线必须化成相同的一次项系数，再用 （不能直接用原方程的两个常数差）。 点到直线的距离：点 到直线 的距离 。 过两直线交点的直线：先联立求出交点坐标，再把“平行/垂直/截距”等条件转化为待定直线，代入交点求解；注意“倾斜角为定值”与“斜率不存在”的分类。 截距相等的分类：“直线在 轴上截距相等（互为相反数）”要分截距均为 （直线过原点）与截距均不为 两类，不能只写不为 的一支。 1．（多选题） （26-27高二上·河北沧州·阶段检测） 已知直线，则（    ） A．直线l的斜率为 B．点到直线l的距离为 C．直线l与直线平行 D．经过直线l与直线的交点，且与直线垂直的直线方程为 【答案】AB 【详解】选项A：将直线整理为斜截式得，可得斜率为，故A正确； 选项B：点到直线的距离，故B正确； 选项C：直线的斜率为，与直线的斜率不相等，两直线不平行，故C错误； 选项D：联立，解得交点为；直线的斜率为1， 与其垂直的直线斜率为，故所求直线方程为，即，不是，故D错误. 2．（多选题） （25-26高二上·江苏·期末） 已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】BCD 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故错误； 对于，若，所以可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故正确； 对于，可化为， 所以直线恒过，故正确； 对于，当直线与轴无截距，不满足条件， 当，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为和轴截距，即 解之可得或，故正确. 故选： 3．（单选题） （25-26高二上·广东惠州·期中） 对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，进而得倾斜角即可判断A，令，求出即可判断B，利用点到直线的距离公式即可判断C，由斜率得直线的一个方向向量即可判断D. 【详解】由有：，所以，设倾斜角为， 所以，所以，故A错误； 令，解得，所以在轴上的截距为，故B错误； 由原点到直线的距离为：，故C正确； 因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故D错误. 故选：C. 4．（解答题） （25-26高二上·河南驻马店·期末） 已知直线，，. (1)若，为直线上的点，且，，求直线，的方程； (2)若，求实数的值及，间的距离. 【答案】(1) 当时，，； 当时，，. (2)； 【分析】（1）由题意可求，根据两点间的距离公式求解，再由，，求解即可. （2）由直线平行求解，再由两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】（1）由条件，， 因为，，则，即有 当时，，； 当时，，. （2）当时，必有，且与不重合. 若时，与重合，不符合题意，舍去， 时， 此时，与间的距离为. 5．（解答题） （25-26高二上·江苏常州·阶段检测） 直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出交点坐标，再根据两直线平行关系设直线方程，代点即可计算即可. （2）分两种情况：横纵截距均为0时以及横纵截距均不为零时，分别求出直线的方程即可. （3）根据两直线垂直关系求出直线的方程，进而求出三角形的周长即可. 【详解】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 设与直线平行的直线的方程为且， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为； （2）由（1）直线过点， ①横纵截距均为0时，设直线方程为， 即，解得，即； ②横纵截距均不为零时，设横截距为，则纵截距为，则直线方程为， 将代入得，则， 则直线方程为，即； 综上，直线的方程为或. （3）由（1）直线过点， 由直线和题意可设直线的方程为， 将点代入可得，可得，即直线的方程为， 令，可得；令，可得， 即直线在，轴上的交点分别为，， 所以，又，， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为.    题型二　直线方程与对称综合（共5小题） 【知识积累】 两点间的距离与中点：，线段 的中点为 ；已知 与一个坐标差可由距离公式反求另一个坐标差。 点关于直线的对称点：若 、 关于直线 对称，则线段 的中点落在 上，且 ；联立“中点在轴上”与“斜率乘积为 ”两个方程求解（注意 竖直时的退化）。 角平分线的对称性：角的两边关于角平分线所在的直线对称，故其中一边上的点关于角平分线的对称点在另一边（所在直线）上，这是求角平分线或另一边方程的关键。 光线反射：反射光线与入射光线关于反射轴（界面）对称，入射点即在反射轴上，入射光线上一点与反射光线上对应点关于轴对称。 三角形中的特殊线：中线过顶点与对边中点；高线与对边垂直；边的垂直平分线过该边中点且与边垂直。求其中一条常需先由另两条求出某个顶点坐标。 6．（单选题） （25-26高二上·安徽合肥·期中） 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高所在直线的交点）依次位于同一直线上；这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（   ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程. 【详解】设的重心为，外心为， 因为，，，，， 所以重心坐标为，又直线的垂直平分线方程为， 故可设的坐标为， 解得，即 欧拉线方程为：，即： 故选：A. 7．（解答题） （26-27高二上·河南南阳·阶段检测） 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求中角平分线所在直线的一般方程； (3)求点关于直线：对称的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）判断是以B为直角的等腰直角三角形，角平分线过B和AC中点，点斜式化简得方程； （3）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【详解】（1）由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； （2）直线AB的斜率，得，则， 又，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形，故角的平分线为边上的中线， 因中点为，又因，则角平分线的斜率， 由点斜式得方程， 即角平分线所在直线的一般方程为； （3）设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 8．（填空题） （25-26高二上·四川自贡·期中） 在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 9．（解答题） （25-26高二上·山东淄博·期中） 在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）设，根据垂直于BC得到斜率为 7，而且中点在直线上，再列方程求解即可； （3）联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知D为AB的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解. 【详解】（1）由已知得直线AB的方程为：，即 . （2）设， 因为直线的方程为，斜率为 ， 故斜率为 7，即， 因为中点在直线上， 所以，解得 所以. （3）解方程组，解得，所以， 又因为，所以中点， 又因为高线CD的斜率为， 所以CD所在直线的方程为，即. 10．（解答题） （25-26高二上·福建厦门·阶段检测） 已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【详解】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 题型三　圆的方程与点、圆的关系（共5小题） 【知识积累】 圆的标准方程与一般方程： 的圆心为 、半径为 ；一般方程 表示圆的充要条件是 ，此时圆心为 、半径 。 求圆的方程：已知圆心（或圆心在某定直线上）与圆上一点，用两点间距离求半径；已知圆上两（三）点，可用待定系数设一般方程，或由“圆心在弦的垂直平分线上”求圆心。 以线段为直径的圆：圆心是线段中点，半径等于线段长的一半。 点与圆的位置关系：点 到圆心 的距离 与半径 比较： 在圆外， 在圆上， 在圆内。 弦的垂直平分线：弦的垂直平分线必过圆心，据此可把“圆心在定直线”“圆关于某直线对称”等条件转化为圆心落在某条直线上。 11．（解答题） （25-26高二上·浙江杭州·期中） 如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可； （2）利用正方形的性质得出其外接圆半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知到的距离为； （2）由上可知该正方形的边长为，所以, 由正方形的性质可知其外接圆圆心为其中心G，半径为， 所以其外接圆标准方程为：. 12．（解答题） （25-26高二上·天津和平·期中） 已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点在直线上和垂直直线的斜率关系，由点斜式可得； （2）待定系数法求解圆的方程； （3）相关点法求动点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （2）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （3）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 13．（多选题） （25-26高二下·宁夏银川·开学考试） 设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【答案】AC 【分析】分析可知圆心在线段的中垂线上，将线段的中垂线方程与直线方程联立，可求出圆心的坐标，可判断A选项；利用两点间的距离公式求出圆的半径为，可判断B选项；写出圆的标准方程，并化为一般方程，可判断C选项；求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 14．（单选题） （25-26高二上·广东深圳·期末） 以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出圆心坐标和半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】因为为直径的两个端点， 所以圆心坐标为，即， 半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的方程为， 故选：D 15．（解答题） （25-26高二上·广东广州·期末） 已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的一般方程将条件代入可得到方程组，解方程组即可；（2）根据点关于直线的对称关系求出对称圆的圆心，结合圆的标准方程即可求得. 【详解】（1）依题意，因为圆心在轴上，所以设圆的方程为， 因为圆经过两点，所以，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为； 设关于直线对称的点为， 则的中点为，直线的斜率为； 因为点关于直线对称，所以， 即，解得，所以， 所以与圆关于直线对称的圆的方程为. 题型四　直线与圆的位置关系与弦长切线（共5小题） 【知识积累】 直线与圆的位置关系：几何法比较圆心到直线的距离 与半径 ： 相交， 相切， 相离；代数法由联立后一元二次方程的判别式 判定。 弦长公式：直线截圆所得弦长 （ 为弦心距）；反之由弦长先求 ，再由点到直线距离公式列方程求斜率或截距。 已知弦长求直线：过定点的直线要分“斜率存在”与“斜率不存在（竖直直线）”两种情形分别求，避免遗漏竖直切线/割线。 切线方程与切线长：圆 在点 处的切线为 ；过圆外一点作切线，设点斜式由 求斜率，若只解出一个斜率则另一条是竖直切线。 圆上点到直线的距离：圆上的点到定直线的距离范围为 （ 为圆心到直线的距离），最大值与最小值在过圆心且垂直于该直线的直径端点处取得。 16．（解答题） （26-27高二上·河南南阳·阶段检测） 已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)；或 (3)存在，或 【分析】（1）把圆化为标准方程，得到圆心坐标，点斜式求出直线的方程； （2）圆心到直线的距离为，利用面积公式结合配方法求出面积的最大值，由此时的值求出直线的方程； （3）设点，，则有，直线与圆联立方程组，结合韦达定理求解. 【详解】（1）圆的标准方程为：，所以圆心，半径为3； 又直线斜率为1，经过圆的圆心，所以直线的方程为，即． （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则， ， 当且仅当，时取等号，由，得或， 所以直线的方程为或. （3）假设存在直线：满足题设要求，点，， 以为直径的圆过原点，所以，有，即   ① 联立，得， 由于，得，，  ② 则 ③ 将②，③ 代入①，得，解得或，均符合， 故存在直线，使以线段为直径的圆过原点，其方程为或． 17．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的弦长公式，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】圆C的圆心坐标为，设半径为， 圆C与轴相切，则有， 又因为圆心C在直线上， 所以，则 设圆心C到直线的距离为，， 因为圆C被直线截得弦长为， 所以有， 于是有，即， 所以， 即该圆的半径为3. 18．（填空题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 已知过点的直线L被圆所截得的弦长为，则直线L的一般式方程为___________. 【答案】或 【详解】将圆变形得， 则圆心坐标为，半径，又弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为3， 则弦长为，不符合题意，舍去. 当直线斜率存在时，设过点的直线斜率为， 则直线的点斜式方程为， 整理为一般式:. 根据点到直线的距离公式，可得， 化简整理得， 解得或. 当时，直线方程为. 当时，直线方程为，整理得. 综上，直线L的一般式方程为或. 19．（解答题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 在平面直角坐标系中，，，圆为的外接圆. (1)求圆的方程： (2)过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 【答案】(1)圆的方程为. (2)直线的方程为或. 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解. （2）利用弦长公式求出圆心到直线距离，再按直线斜率是否存在分类，借助点到直线距离公式求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 依题意，，解得， 所以圆的方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 由直线被圆截得的弦长为4，得圆心到直线的距离， 而直线过点，点到轴距离为1，则直线的方程可以为； 当直线斜率存在时，设其方程为，则，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 20．（单选题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用垂径定理求出圆的半径，再由条件推出圆心到直线的距离即可. 【详解】圆心到轴的距离为2， 又圆截轴所得弦长为， 由垂径定理得， 即圆的半径，又∵圆上 恰好有4个不同的点到直线的距离为2， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 题型五　圆与圆的位置关系、公共弦与公切线（共6小题） 【知识积累】 圆与圆的位置关系：设圆心距为 、半径分别为 ： 外离， 外切， 相交， 内切， 内含。 公切线：两圆外离时有 4 条，外切时有 3 条，相交时有 2 条，内切时有 1 条，内含时没有公切线；“存在三条公切线”等价于两圆外切。 公共弦所在直线：两圆方程 与 作差，所得一次方程即为公共弦所在直线；再用弦长公式求公共弦长。 圆系与最小圆：过两圆公共点的圆可设为 ；面积最小的过两交点的圆是以公共弦为直径的圆，其圆心是两已知圆圆心连线与公共弦的交点。 公共弦的垂直平分：两圆相交时连心线垂直平分公共弦；两圆相切时切点在连心线上。 21．（多选题） （26-27高二上·山东菏泽·阶段检测） 圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】BD 【分析】A选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程；B选项，由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程，从而得到中垂线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，根据垂径定理可得的长；D选项，到直线的距离加上半径即为所求. 【详解】A选项，与相减， 化简得，故公共弦所在直线方程为，A错误； B选项，的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程， 即，化简得，B正确； C选项，圆心到直线的距离为， 故公共弦的长为，C错误； D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为到直线的距离加上半径， 即，D正确. 22．（单选题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 则，，得， 所以两个圆的位置关系是外离. 23．（解答题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)（ⅰ）（ⅱ）存在定点 【分析】 (1)    根据垂径定理，可求圆心M到直线l的距离，根据圆心到直线的距离为，可求直线方程； (2)    （ⅰ）当圆H面积最小时，就是以圆M与圆N交点弦为直径的圆； （ⅱ）在y轴上存在一定点E，使得y轴平分，即，设，，，代入，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1） 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． （2）（ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 24．（解答题） （26-27高二上·江苏·期中） 已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 25．（填空题） （26-27高二上·江西·阶段检测） 设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 26．（解答题） （25-26高二上·山西·阶段检测） 已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程为，将点的坐标代入方程求解方程组，再化为标准方程即可； （2）两圆相减得直线的方程，然后利用垂径定理求解弦长即可. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 由题意得，，解得， 所以圆的一般方程为， 故圆的标准方程为. （2）由圆与圆， 两式相减得， 即直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 又圆的半径为5，故. 题型六　对称与最值（共5小题） 【知识积累】 线性目标最值：求 的最值，令 看成动直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离 求 的范围。 分式目标最值： 表示点 与定点 连线的斜率，转化为过定点的直线与圆有公共点，由 求斜率范围，相切时取到最大值或最小值。 距离型最值：圆上的点 到定点 的距离满足 （ 为圆心）；圆上的点到定直线的距离范围为 。 对称与最短路径：求折线（如 ）长度的最小值，常把其中一点关于某直线对称，化为两点间线段最短；点关于坐标轴或定直线对称后距离不变。 两圆上的两动点：两圆上的点之间的距离最值由圆心距 与两半径按位置关系加减得到，例如外离时最小为 、最大为 。 27．（解答题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点关于直线对称点坐标，将对称点坐标代入圆方程中即可求解. （2）利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解. （3）根据直线斜率是否存在分成两种情况讨论，若直线斜率不存在，可得直线的方程，与圆的方程联立，可解出点与点坐标，即可求的值，若直线斜率存在，设出点与点坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，整理成一元二次方程，列出韦达定理，将转化为有关的式子，即可求其范围. 【详解】（1）设点关于直线对称点为， 则直线与直线垂直， 斜率，即，即， 线段的中点在直线上， 即，即， 联立方程组，解得， 即点代入圆中， ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，， 的几何意义是圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程：， 即， 圆心，半径， 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， ， 两边平方得：，解得， 所以， 的范围是. （3）， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程， 得，解得， 得，， ，，此时. 当直线斜率存在时，设直线的方程， 联立方程组， 得：， 展开整理得：， 设，， 则，， ，， ， ，， 所以 ， 因为， 所以点在圆内，过点得直线一定和圆相交于两点，则， 所以， 所以， 即， 综上所述的取值范围. 28．（解答题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知圆过与两点，且关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点 （i）若的面积为2，求的斜率 （ii）若为线段的中点，求的方程． 【答案】(1)； (2)（i）或1；（ii）或； 【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，圆心在直线上，联立两直线得到圆心和半径，得到圆的方程； （2）（i）分直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式和三角形面积得到方程，求出直线斜率； （ii）设，所以，均在圆上，代入圆的方程，得到方程组，求出或，进而得到或，求出直线方程. 【详解】（1）圆过与两点，故圆心在线段的垂直平分线上， 其中，故，线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即， 又圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 联立与得， 所以圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为； （2）（i）当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 中，令得，无解，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，即， 圆心到直线的距离为，， 因为的面积为2，所以，解得，负值舍去， 所以，解得或1， 所以直线的斜率为或1； （ii）设，因为为线段的中点，所以， 由题意可知，均在圆上，所以， 即，两式相减得， 代入得， 解得或， 故或， 故或， 所以直线的方程为或， 即或； 29．（解答题） （25-26高二上·浙江湖州·期末） 已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 30．（填空题） （25-26高二下·云南曲靖·开学考试） 已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为________ 【答案】 【详解】将圆的方程配方得, 因此圆心为，半径， 根据点到直线的距离公式，圆心C到直线l：的距离：， 则P到直线l：距离的最小值为. 31．（填空题） （26-27高二上·全国·期中） 已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点，再计算圆心到定点的距离，分析直线绕定点转动，圆上点到直线距离的最大值、最小值即可. 【详解】直线：可化为 ， 令，解得：，所以直线恒过定点. 圆方程：，配方可得. 故圆心为，半径， 所以圆心到定点距离：， 又因为，且，所以直线与不垂直， 所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：. 当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为. 因此点P到直线的距离的取值范围为. 题型七　综合应用与新定义（共5小题） 【知识积累】 方程表示圆的条件：二元二次方程 经配方后要求半径平方 ；含参时先给出参数范围，再谈其他问题。 曲线（圆）过定点：把曲线方程整理成“关于参数的恒等式”，令含参数的系数为 与不含参数的项为 联立，解得的点即为定点。 新定义问题：把新定义（如“曲线到直线的距离”“关联点”“阿氏圆”）翻译成已学的点、线、距、圆与位置关系，即两点间距离、点到直线距离、圆上点到直线/定点的最值或圆与圆的关系。 实际应用（圆拱桥等）：先建立坐标系，用垂径关系或待定系数求出圆的方程，再把船（或物体）的边缘坐标代入求净空，注意“水位变化”对应纵坐标平移。 条件的代数转化：“弦被某点平分”等价于该点与圆心连线垂直于弦；“以 为直径的圆过原点”等价于 ，即 ，联立后由韦达定理求解。 32．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（     ）（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴，建立平面直角坐标系，根据题意可以得到拱与水面交点为，拱顶坐标，设圆心为，圆的半径为，列出关于的方程组，解出，从而得到圆的方程，根据船顶部宽为，即船顶边缘在处，将其代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）水位暴涨后，新水面在位置，求出此时处的拱下净空，船原来高出正常水面，当前净空仅约，从而求出船身需要降低. 【详解】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴， 建立平面直角坐标系， 正常水位下水面宽，即拱与水面交点为，拱顶坐标， 设圆心为，圆的半径为， 则有， 解得， ， 则圆的方程为， 船顶部宽为，即船顶边缘在处， 将代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）： 即， 水位暴涨后，新水面在位置， 此时处的拱下净空为， 船原来高出正常水面，当前净空仅约， 因此船身需要降低. 33．（多选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 设、分别为曲线和直线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称曲线到直线的距离为.已知，下面正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A选项利用平行线间距离公式；B选项先求圆心到直线距离，再减去半径；C选项用参数方程求最大值，再代入点到直线距离公式；D选项换元后利用基本不等式求的最小值，最后代入距离公式. 【详解】直线，点到的距离为 曲线到直线的距离，就是上所有点到距离的最小值， A选项：，即，所以，A选项正确； B选项：，令， 则， 所以，因此，不是，B选项错误； C选项：，即上半圆， 令，，则， 当时，即点，取得最大值， 所以，距离，C选项正确； D项：，令，则， 于是， 所以， 由基本不等式，当即时取等号， 所以最小值为，距离，D选项正确. 34．（多选题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于选项A，由图可知曲线围成的图形有条对称轴， 对称轴方程分别为，故A正确； 对于选项B，曲线由4个半圆组成，圆的半径为，其周长为，故B错误； 对于选项C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于选项D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 35．（解答题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 已知圆 (1)求的范围及圆所过定点的坐标； (2)是否存在定直线与圆始终相切，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由； (3)两平行直线与圆分别交于点和，直线过圆心，分别与线段，交于点，且夹角为，求的值及 的最大值（用表示）. 【答案】(1)的范围为；圆所过定点为 (2)存在定直线与圆始终相切，定直线方程为 (3)；的最大值为 【分析】（1）配方，利用方程表示圆可得，可求的范围；利用曲线系方程对均成立可得，可求定点坐标； （2）由，求得过定点且垂直于直线的直线，求得圆心到该直线的距离可知此直线与圆始终相切，可得结论； （3）过作于，利用计算即可求解；利用可求最大值. 【详解】（1）由， 得， 要使方程表示圆，则，所以， 所以的范围为； 由，得， 因为方程对都成立，所以，解得， 所以圆所过定点为； （2）由（1）可得圆心，圆的半径为 又圆所过定点为， 所以，过与垂直的直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切； 所以存在定直线与圆始终相切，定直线方程为； （3）过作于，由夹角为，所以， 所以 ， 同理可得， 所以 ， 当且仅当时取等号. 所以的最大值. 36．（解答题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 求下列圆的方程： (1)在平面直角坐标系中，求经过三点、、的圆的方程； (2)圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，将点的坐标代入即可求解； （2）由题意设圆心坐标为，根据题意可知且，根据弦长列方程即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为（其中）， 由题意得，解得， 所以圆的方程为. （2）由题意设圆心坐标为， 因为圆与轴的正半轴相切，则且圆的半径， 又圆截轴所得弦的长为， 则，解得， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题06 直线和圆的方程综合（7大题型36题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　直线与直线的位置关系与距离 第1—5题 5 题型二　直线方程与对称综合 第6—10题 5 题型三　圆的方程与点、圆的关系 第11—15题 5 题型四　直线与圆的位置关系与弦长切线 第16—20题 5 题型五　圆与圆的位置关系、公共弦与公切线 第21—26题 6 题型六　对称与最值 第27—31题 5 题型七　综合应用与新定义 第32—36题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　直线与直线的位置关系与距离（共5小题） 【知识积累】 两直线平行与垂直的判定：设直线 ，（斜率都存在时用斜率）。 的代数条件是 且不重合； 的代数条件是 。 平行线间的距离：两条平行直线必须化成相同的一次项系数，再用 （不能直接用原方程的两个常数差）。 点到直线的距离：点 到直线 的距离 。 过两直线交点的直线：先联立求出交点坐标，再把“平行/垂直/截距”等条件转化为待定直线，代入交点求解；注意“倾斜角为定值”与“斜率不存在”的分类。 截距相等的分类：“直线在 轴上截距相等（互为相反数）”要分截距均为 （直线过原点）与截距均不为 两类，不能只写不为 的一支。 1．（多选题） （26-27高二上·河北沧州·阶段检测） 已知直线，则（    ） A．直线l的斜率为 B．点到直线l的距离为 C．直线l与直线平行 D．经过直线l与直线的交点，且与直线垂直的直线方程为 2．（多选题） （25-26高二上·江苏·期末） 已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 3．（单选题） （25-26高二上·广东惠州·期中） 对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 4．（解答题） （25-26高二上·河南驻马店·期末） 已知直线，，. (1)若，为直线上的点，且，，求直线，的方程； (2)若，求实数的值及，间的距离. 5．（解答题） （25-26高二上·江苏常州·阶段检测） 直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 题型二　直线方程与对称综合（共5小题） 【知识积累】 两点间的距离与中点：，线段 的中点为 ；已知 与一个坐标差可由距离公式反求另一个坐标差。 点关于直线的对称点：若 、 关于直线 对称，则线段 的中点落在 上，且 ；联立“中点在轴上”与“斜率乘积为 ”两个方程求解（注意 竖直时的退化）。 角平分线的对称性：角的两边关于角平分线所在的直线对称，故其中一边上的点关于角平分线的对称点在另一边（所在直线）上，这是求角平分线或另一边方程的关键。 光线反射：反射光线与入射光线关于反射轴（界面）对称，入射点即在反射轴上，入射光线上一点与反射光线上对应点关于轴对称。 三角形中的特殊线：中线过顶点与对边中点；高线与对边垂直；边的垂直平分线过该边中点且与边垂直。求其中一条常需先由另两条求出某个顶点坐标。 6．（单选题） （25-26高二上·安徽合肥·期中） 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高所在直线的交点）依次位于同一直线上；这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（   ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为 A． B． C． D． 7．（解答题） （26-27高二上·河南南阳·阶段检测） 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求中角平分线所在直线的一般方程； (3)求点关于直线：对称的点的坐标. 8．（填空题） （25-26高二上·四川自贡·期中） 在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 9．（解答题） （25-26高二上·山东淄博·期中） 在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 10．（解答题） （25-26高二上·福建厦门·阶段检测） 已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 题型三　圆的方程与点、圆的关系（共5小题） 【知识积累】 圆的标准方程与一般方程： 的圆心为 、半径为 ；一般方程 表示圆的充要条件是 ，此时圆心为 、半径 。 求圆的方程：已知圆心（或圆心在某定直线上）与圆上一点，用两点间距离求半径；已知圆上两（三）点，可用待定系数设一般方程，或由“圆心在弦的垂直平分线上”求圆心。 以线段为直径的圆：圆心是线段中点，半径等于线段长的一半。 点与圆的位置关系：点 到圆心 的距离 与半径 比较： 在圆外， 在圆上， 在圆内。 弦的垂直平分线：弦的垂直平分线必过圆心，据此可把“圆心在定直线”“圆关于某直线对称”等条件转化为圆心落在某条直线上。 11．（解答题） （25-26高二上·浙江杭州·期中） 如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 12．（解答题） （25-26高二上·天津和平·期中） 已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 13．（多选题） （25-26高二下·宁夏银川·开学考试） 设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 14．（单选题） （25-26高二上·广东深圳·期末） 以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（解答题） （25-26高二上·广东广州·期末） 已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 题型四　直线与圆的位置关系与弦长切线（共5小题） 【知识积累】 直线与圆的位置关系：几何法比较圆心到直线的距离 与半径 ： 相交， 相切， 相离；代数法由联立后一元二次方程的判别式 判定。 弦长公式：直线截圆所得弦长 （ 为弦心距）；反之由弦长先求 ，再由点到直线距离公式列方程求斜率或截距。 已知弦长求直线：过定点的直线要分“斜率存在”与“斜率不存在（竖直直线）”两种情形分别求，避免遗漏竖直切线/割线。 切线方程与切线长：圆 在点 处的切线为 ；过圆外一点作切线，设点斜式由 求斜率，若只解出一个斜率则另一条是竖直切线。 圆上点到直线的距离：圆上的点到定直线的距离范围为 （ 为圆心到直线的距离），最大值与最小值在过圆心且垂直于该直线的直径端点处取得。 16．（解答题） （26-27高二上·河南南阳·阶段检测） 已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 17．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 18．（填空题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 已知过点的直线L被圆所截得的弦长为，则直线L的一般式方程为___________. 19．（解答题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 在平面直角坐标系中，，，圆为的外接圆. (1)求圆的方程： (2)过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 20．（单选题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型五　圆与圆的位置关系、公共弦与公切线（共6小题） 【知识积累】 圆与圆的位置关系：设圆心距为 、半径分别为 ： 外离， 外切， 相交， 内切， 内含。 公切线：两圆外离时有 4 条，外切时有 3 条，相交时有 2 条，内切时有 1 条，内含时没有公切线；“存在三条公切线”等价于两圆外切。 公共弦所在直线：两圆方程 与 作差，所得一次方程即为公共弦所在直线；再用弦长公式求公共弦长。 圆系与最小圆：过两圆公共点的圆可设为 ；面积最小的过两交点的圆是以公共弦为直径的圆，其圆心是两已知圆圆心连线与公共弦的交点。 公共弦的垂直平分：两圆相交时连心线垂直平分公共弦；两圆相切时切点在连心线上。 21．（多选题） （26-27高二上·山东菏泽·阶段检测） 圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 22．（单选题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 23．（解答题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（解答题） （26-27高二上·江苏·期中） 已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 25．（填空题） （26-27高二上·江西·阶段检测） 设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 26．（解答题） （25-26高二上·山西·阶段检测） 已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 题型六　对称与最值（共5小题） 【知识积累】 线性目标最值：求 的最值，令 看成动直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离 求 的范围。 分式目标最值： 表示点 与定点 连线的斜率，转化为过定点的直线与圆有公共点，由 求斜率范围，相切时取到最大值或最小值。 距离型最值：圆上的点 到定点 的距离满足 （ 为圆心）；圆上的点到定直线的距离范围为 。 对称与最短路径：求折线（如 ）长度的最小值，常把其中一点关于某直线对称，化为两点间线段最短；点关于坐标轴或定直线对称后距离不变。 两圆上的两动点：两圆上的点之间的距离最值由圆心距 与两半径按位置关系加减得到，例如外离时最小为 、最大为 。 27．（解答题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 28．（解答题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知圆过与两点，且关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点 （i）若的面积为2，求的斜率 （ii）若为线段的中点，求的方程． 29．（解答题） （25-26高二上·浙江湖州·期末） 已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 30．（填空题） （25-26高二下·云南曲靖·开学考试） 已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为________ 31．（填空题） （26-27高二上·全国·期中） 已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 题型七　综合应用与新定义（共5小题） 【知识积累】 方程表示圆的条件：二元二次方程 经配方后要求半径平方 ；含参时先给出参数范围，再谈其他问题。 曲线（圆）过定点：把曲线方程整理成“关于参数的恒等式”，令含参数的系数为 与不含参数的项为 联立，解得的点即为定点。 新定义问题：把新定义（如“曲线到直线的距离”“关联点”“阿氏圆”）翻译成已学的点、线、距、圆与位置关系，即两点间距离、点到直线距离、圆上点到直线/定点的最值或圆与圆的关系。 实际应用（圆拱桥等）：先建立坐标系，用垂径关系或待定系数求出圆的方程，再把船（或物体）的边缘坐标代入求净空，注意“水位变化”对应纵坐标平移。 条件的代数转化：“弦被某点平分”等价于该点与圆心连线垂直于弦；“以 为直径的圆过原点”等价于 ，即 ，联立后由韦达定理求解。 32．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（     ）（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 33．（多选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 设、分别为曲线和直线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称曲线到直线的距离为.已知，下面正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 34．（多选题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 35．（解答题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 已知圆 (1)求的范围及圆所过定点的坐标； (2)是否存在定直线与圆始终相切，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由； (3)两平行直线与圆分别交于点和，直线过圆心，分别与线段，交于点，且夹角为，求的值及 的最大值（用表示）. 36．（解答题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 求下列圆的方程： (1)在平面直角坐标系中，求经过三点、、的圆的方程； (2)圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，求圆的标准方程. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $