直线与方程：对称问题、将军饮马问题、面积问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与方程：对称问题、将军饮马问题、面积问题专项训练 直线与方程：对称问题、将军饮马问题、面积问题专项训练 考点目录 对称问题 将军饮马问题 面积问题 考点一 对称问题 例1．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则，    直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 例2．（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 例3．（25-26高二上·天津·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设所求点坐标为，进而根据对称性得，再解方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则与的中点在直线，且过与的直线与直线垂直， 因为直线的斜率为， 所以，即，解得， 所以，点关于直线的对称点的坐标为. 故答案为： 例4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则_____________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出图纸的折痕所在直线方程，再利用轴对称的性质确定直线经过的点列式求解. 【详解】依题意，直线的斜率，点的中点， 则图纸的折痕所在直线方程为，即，令，得，即， 由轴与直线正好重合，得点在直线上，即， 又直线与轴的交点在直线上，则，从而， 所以. 故答案为： 变式1．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【详解】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 变式2．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求点关于直线的对称点为的坐标，再求的距离即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即 因为光线从A到的路程即的长，而. 所以光线从A到的路程为. 故选：D. 变式3．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知△的顶点，边AC上的高所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为，则顶点C的坐标为_________；直线BC的方程为___________ 【答案】 【分析】首先设边AC上的高为BH，根据垂直关系得到，利用点斜式得到，再联立方程求解顶点C的坐标.设的角平分线为CM，得到点关于CM的对称点为，再求直线方程即可. 【详解】设边AC上的高为BH，它所在直线方程为， ∴ ，且， ∴， ∵的顶点，∴直线AC方程：，即. 与联立， ，解得： 所以顶点C的坐标为； 设的角平分线为CM，它所在直线方程为， 设点关于CM的对称点为， 设点的坐标为，则， 因为在直线BC上， 所以直线BC的方程为，即. 故答案为：， 考点二 将军饮马问题 例1．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 例2．（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点对称然后连线找最短，求两点间距离即可 【详解】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 例3．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知点，，点在直线上，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，    设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 例4．（25-26高二下·湖北孝感·开学考试）已知点，点P是直线上动点，则的最小值是________． 【答案】13 【分析】先作A点关于直线的对称点，连接即可. 【详解】解：作A点关于直线的对称点，如图所示， 易知， 故，此时与直线的交点为P点， 故的最小值是13． 故答案为：13 变式1．（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    变式2．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，取最小，可求解． 【详解】因为，，所以两点均在轴同侧， 不妨设两点均在轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：B. 变式3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据题意分析可知等于点到点的距离，且点在直线，结合将军饮马问题分析求解即可. 【详解】设为，则， 则， 可知等于点到点的距离， 由题意可知：点在与直线平行的直线上，且两平行线间距离为， 设直线， 则，解得， 即点在直线， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点三 面积问题 例1．（25-26高二上·山东聊城·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，根据高线过点及中线列式求解； （2）先求出交点，再应用两点间距离及点到直线距离计算面积即可. 【详解】（1）设，则的中点， 则解得即. 故点的坐标为. （2）由边上的高线所在的直线方程为， 可设直线的方程为， 将代入可得，即，所以直线的方程为 因为为直线与的交点， 所以联立解得即. 则. 点到直线的距离为. 所以. 故的面积为20. 例2．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 例3．（25-26高二上·江苏徐州·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年证明了定理：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，，. (1)求的“欧拉线”的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得的“欧拉线”即线段的垂直平分线，求解斜率与中点即可得方程； （2）由题意得点在“欧拉线”上，设，由可得的值，利用三角形面积公式求解即可得所求. 【详解】（1）在中，因为，则的“欧拉线”即线段的垂直平分线， 由，得，则“欧拉线”的斜率为， 又的中点坐标为，所以所求直线方程为， 即的“欧拉线”的方程； （2）由（1）可知点在“欧拉线”上， 设，则，整理得， 所以三角形的高为， 又， 则. 变式1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）直线与直线（m为正整数）的交点A在第四象限，求： (1)点A的坐标； (2)这两条直线与x轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组求出交点坐标，再利用第四象限点的特征求出后可得点A的坐标； （2）分别求出两直线与x轴的交点，再由三角形的面积公式可得. 【详解】（1）解方程组得 ∴． ∵交点在第四象限，∴，且，解得． ∵m是正整数，∴，∴． （2）由（1）得两直线的解析式为，， 直线与x轴的交点为，直线与x轴的交点为， ∴这两条直线与x轴围成的三角形面积为． 变式2．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知点，且四边形是平行四边形． (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）求出直线的斜率，根据平行四边形的性质结合直线的方程，即可求出的方程，联立即可求得答案； （2）求出以及点到直线的距离，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得直线的斜率为，则其方程为， 直线的斜率为， 因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为， 因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为1． 联立，解得，即点的坐标为． （2）因为， 又点到直线的距离， 故平行四边形的面积. 变式3．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知直线方程为． (1)证明：直线恒过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) 直线方程为， 可化为， 对任意都成立，所以，解得， 所以直线恒过定点. (2)， (3)4； 【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值． （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）略 （2）如图所示：    点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值， 即,此时， 所以的斜率为：， 可得，解得． （3）如图所示：    若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，， 则，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $直线与方程：对称问题、将军饮马问题、面积问题专项训练 直线与方程：对称问题、将军饮马问题、面积问题专项训练 考点目录 对称问题 将军饮马问题 面积问题 考点一 对称问题 例1．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·天津·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为_____. 例4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则_____________. 变式1．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 变式4．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知△的顶点，边AC上的高所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为，则顶点C的坐标为_________；直线BC的方程为___________ 考点二 将军饮马问题 例1．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 例2．（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知点，，点在直线上，则的最小值为_____. 例4．（25-26高二下·湖北孝感·开学考试）已知点，点P是直线上动点，则的最小值是________． 变式1．（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 变式2．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为___________． 考点三 面积问题 例1．（25-26高二上·山东聊城·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 例2．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 例3．（25-26高二上·江苏徐州·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年证明了定理：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，，. (1)求的“欧拉线”的方程； (2)求的面积. 变式1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）直线与直线（m为正整数）的交点A在第四象限，求： (1)点A的坐标； (2)这两条直线与x轴围成的三角形面积． 变式2．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知点，且四边形是平行四边形． (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 变式3．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知直线方程为． (1)证明：直线恒过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $