第二章 专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系专项训练（7大题型46题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系（7大题型46题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　直线与圆的位置关系判定 第1—4题 4 题型二　由位置关系求参数 第5—11题 7 题型三　弦长与弦的中点 第12—19题 8 题型四　切线方程与切线长 第20—25题 6 题型五　切点弦与公共弦 第26—32题 7 题型六　圆与圆的位置关系与公切线 第33—40题 8 题型七　综合应用 第41—46题 6 题型通关 · 靶向提分 题型一　直线与圆的位置关系判定（共4小题） 【知识积累】 位置关系判据（几何法）：圆心到直线的距离 与半径 比较： 时相交， 时相切， 时相离。 位置关系判据（代数法）：联立直线与圆的方程消元，得到一元二次方程，由判别式 、、 分别得相交、相切、相离。 点与圆定直线位置：已知直线 与圆 ，点 ： 在圆上时 与圆相切， 在圆外时相交， 在圆内时相离。 弦最长的直线：直线截圆所得弦长最大（为直径）时，直线经过圆的圆心。 1．（单选题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 【答案】C 【详解】圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 2．（多选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（     ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离公式和点的位置判断即可得出答案. 【详解】由题可得圆的半径为，圆心坐标为， 对于A，若点在圆上，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相交，故C错误； 对于D，若点在直线上，则，即， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故D正确； 3．（多选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知直线，圆，下列说法正确的是（     ） A．直线过定点 B．，使得直线与圆相离 C．若，则被截得的弦长为 D．若直线与圆相切，则 【答案】ACD 【分析】求出直线所过定点判断A；由定点与圆的位置关系判断B；利用弦长公式计算判断C；求出过定点的半径所在直线斜率判断D. 【详解】对于A，直线，即过定点，A正确； 圆，即的圆心，半径， 对于B，，定点在圆上，对，直线与圆有公共点，不相离，B错误； 对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为1，被截得的弦长，C正确； 对于D，当直线与圆相切时，，则直线的斜率为，解得，D正确. 4．（多选题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 已知直线，圆，下列命题正确的有（     ） A．直线恒过定点； B．若直线被圆截得弦长为，则或； C．若直线与圆相切，则； D．过定点的圆的最短弦所在直线方程为2. 【答案】ACD 【分析】根据直线方程，可判定A正确；根据圆的弦长公式和点到直线的距离公式，可判定B错误；利用直线与圆的位置关系，列出方程，可判定C正确；根据圆的弦的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，令，可得，所以直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可化为， 可得圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得弦长为，可得，可得， 所以，整理得，解得，所以B不正确； 对于C，当直线与圆相切时，可得，即， 整理得，解得，所以C正确； 对于D，由点和，可得， 由圆的性质知，过圆内定点的最短弦与定点和圆心的连线垂直，所以， 所以直线的方程为，即，所以D正确. 题型二　由位置关系求参数（共7小题） 【知识积累】 由公共点个数求参数：把条件转化为圆心到直线的距离 与半径 的比较，或两圆圆心距与半径和、差的关系，列出等式或不等式再求参数范围。 圆上到直线距离为定值的点：到直线 距离为 的点中，与 平行且距离为 的两条直线与圆的交点个数决定了点数；“恰有 3 个”即其中一条与圆相切、另一条与圆相交。 方程根的个数：方程 的实数根个数，就是直线 与上半圆 的交点个数，画图后由临界位置定端点。 端点取舍：相切、过端点等临界情形要代回检验；含参结果注意区间的开闭与半径退化的情形。 5．（单选题） （26-27高二上·广西·期中） 已知圆被直线平分，则m的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据圆被直线平分，即直线一定过圆心即可求出. 【详解】圆的圆心坐标为， 又圆被直线平分， 该直线一定过圆心，即，解得. 6．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交，列式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为1， 说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交， . 7．（单选题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 已知圆 上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将圆上距离已知直线距离为的点有且仅有个，转换为圆与平行于已知直线且距离为的两条直线的交点数总和为. 【详解】与直线平行的直线可表示为， 两平行直线相距为时，，解得或， 所以与已知直线平行且相距为的直线是和. 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 即圆与和的交点数总和为， 圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为， 所以，解得. 8．（单选题） （25-26高二上·北京密云·期中） 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义先求出，与圆相切时的取值，再求出，与圆相离时的取值范围，结合定义即可得到答案. 【详解】由题意可得，圆的标准方程为，可知圆心为，半径， 由两直线平行可得，，解得或， 当时，直线：，直线：，直线和重合，舍去； 当时，直线：，直线：，符合题意； 由与圆相切，得， 由与圆相切，得， 当，与圆都相离时，， 所以当，与圆平行相交时，满足：， 所以实数的取值范围为. 9．（单选题） （26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测） 设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点，得到对称后的直线方程，再利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解即可. 【详解】 如图所示，由对称性可得点关于直线的对称点为， 由于点在对称轴上，因此直线关于对称的直线即为直线， 直线的斜率，则直线方程为，整理为， 已知圆的圆心为，半径，直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 即，展开整理得，解得， 结合题干给出的条件，最终得的取值范围为. 10．（单选题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将方程的根的个数转化为函数图象的交点个数，根据图象计算临界情况，确定实数的取值范围. 【详解】 方程恰有1个实数根，等价于函数与函数的图象只有一个交点， 由，两边平方得， 即函数的图象是圆心在原点，半径为2的上半圆，， 函数是斜率为1的平行线系，纵截距为， 直线过左端点，代入直线方程得， 直线过右端点，代入直线方程得， 直线与上半圆相切，，解得， 根据图象可得方程恰有1个实数根，或. 11．（填空题） （26-27高二上·江苏南京·阶段检测） 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的右半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得或， 由题意可知点，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 题型三　弦长与弦的中点（共8小题） 【知识积累】 弦长公式：直线截圆所得弦长 ，其中 是圆心到直线的距离（弦心距）。 弦的中点：弦的中点 与圆心 的连线垂直于弦，即 ；过圆内定点 的弦中，垂直于 的弦最短， 所在的直径最长。 被坐标轴截得的弦：圆被 轴截得的弦，令 解出交点的纵坐标，两纵坐标之差的绝对值即为弦长。 已知弦长求方程：先由弦长求出弦心距 ，再由点到直线距离公式列方程求斜率或截距，注意斜率不存在的竖直直线。 12．（单选题） （26-27高二上·全国·期中） 直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理的弦长公式计算弦长. 【详解】圆心 到直线 的距离 . 所以 ． 13．（单选题） （26-27高二上·广西南宁·阶段检测） 圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 14．（填空题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 【答案】8 【分析】首先设与直线 平行的直线，再利用数形结合，根据直线与圆的位置关系，即可求最值. 【详解】设与直线平行的直线，， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为， 解得：或， 所以两条切线为和， 如图，两条切线中，直线到直线的距离最远， 此时切点到直线的距离最远，最远距离为， 所以面积的最大值为 15．（单选题） （26-27高二上·河北保定·期中） 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 16．（填空题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 【答案】 【分析】由弦长为，求得圆的圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可求得的值，从而求得所有满足条件的实数b的和. 【详解】由， 得. 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆被直线截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 由，得， 所以， 解得或. 所以所有满足条件的实数b的和为. 17．（单选题） （26-27高二上·江苏南京·阶段检测） 在平面直角坐标系中，已知点、在圆上，且，点，，设的中点的横坐标为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据向量的运算及数量积的坐标表示，结合垂径定理求解即可. 【详解】设中点. 因为，，， 所以， 即，所以①. 圆的半径为，，为的中点， 所以，即②. 将①代入②中，整理得，即，解得或. 18．（单选题） （26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式列方程求解． 【详解】已知：， 整理得，即， 可得圆心的坐标为，半径 已知，， 所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为， 则为圆心到直线的距离，且 在中，． 已知直线：， 点到直线的距离公式为：， 则， 两边同时平方得：， 整理得，即， 解得． 19．（多选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A，根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，验证斜率关系可判定；对B，连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定；对C，由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定；对D，设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定. 【详解】如图： 对于A，由圆，可得圆心，半径， 由直线，可得，所以直线过定点，且点在圆内部， 根据圆的性质，只有当直线时，弦取得最小值，但，直线的斜率为， 所以无法成立，弦长没有最小值，故A错误； 对于B，因为是弦中点，连接，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点），方程为，其中圆心为，半径， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为，要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 由直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，设，且，，可得，， 所以， 因为动点的轨迹方程为，设，可得， 因为直线与圆必有公共点， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D正确. 题型四　切线方程与切线长（共6小题） 【知识积累】 过圆上一点的切线：圆 在点 处的切线方程为 ；圆 在点 处的切线方程为 。 过圆外一点的切线：过圆外一点可作两条切线；设点斜式方程 ，由圆心到直线的距离等于半径求 ；若只解出一个 ，另一条是斜率不存在的竖直切线。 切线长：从圆外一点 引圆的切线，切点为 ，则切线长 （ 为圆心， 为半径）。 与直线相切的圆：圆心在定直线上的圆与已知直线相切，就是圆心到该直线的距离等于半径，据此列方程求参数。 20．（单选题） （26-27高二上·江西·阶段检测） 过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 则， 又 因为的最大值为，所以最大值为. 21．（单选题） （23-24高二上·北京·期末） 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为， ∵、是圆的切线，∴，，即， ∴、、、四点共圆，的外接圆即为四边形的外接圆，该外接圆的直径为线段， ∵，圆心为，∴的中点坐标为，即，半径， ∴外接圆方程为. 22．（填空题） （26-27高二上·河南南阳·阶段检测） 求圆心在x轴上，且与直线，直线都相切的圆的方程________ 【答案】或 【详解】设所求圆的方程为， 由题意可得：， 解得：或， 所以所求圆的方程为或. 23．（解答题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知圆． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)求过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把直线方程化为一般式得，根据垂径定理可知圆心到直线距离，再根据点到直线的距离公式求的值； （2）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，从而得到所求切线方程. 【详解】（1）设圆心到直线即的距离为，那么 弦长，解得，， 根据点到直线的距离公式可知，解得，. （2）当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离，与圆相切； 当直线斜率存在时，设方程为即，那么 圆心到直线距离，解得，, 此时切线方程为; 综上，过点的圆的切线方程为或. 24．（填空题） （26-27高二上·陕西西安·阶段检测） 过圆：外一点作圆的切线，，切点为，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值. 【详解】如图，连接， 圆的标准方程为，则圆的半径为， 设，则， 因为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 25．（解答题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1)和. (2)或 (3)是定值，定值为． 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． 题型五　切点弦与公共弦（共7小题） 【知识积累】 切点弦（极线）方程：过圆 外一点 作两条切线，两切点连线所在直线的方程为 。 切点弦的求法：两切点 满足 ，即以 为直径的圆与已知圆的公共弦，用两圆方程相减得到。 公共弦所在直线：两圆方程 、 相减所得的一次方程，相交时是公共弦所在直线，相切时是公切线所在直线。 过两圆交点的圆系：经过两圆 与 公共点的圆，可设为其线性组合 ，再由圆心或半径条件确定 。 26．（单选题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断两圆相交，将两圆方程作差，可得出两圆相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，所以， 所以两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的相交弦长为. 27．（填空题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】利用切线垂直半径及对称性，结合图形确定切点弦的方向和位置；也可把两个切点看成原圆与以为直径的圆的公共点，通过两圆方程作差求公共弦所在直线． 【详解】方法一：如图，连接，，，设． 因为，分别为圆的切线，所以，． 又，，故，关于直线对称，从而． 在直角三角形中，，所以． 于是即 因为，，所以平行于轴，且． 又，故直线的方程为． 方法二：圆心为．由于，所以，也在以为直径的圆上． 该圆的方程为，圆 两式相减，得，即直线的方程为． 28．（单选题） （25-26高二下·陕西咸阳·期末） 已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 29．（填空题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 【答案】 【分析】根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标. 【详解】因为为直线：上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为，， 所以，， 则点、在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 即  ①，又  ②， ②-①得：， 即公共弦所在的直线方程是， 即， 由，解得， 所以直线AB恒过定点. 30．（填空题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 【答案】 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，得到圆心坐标，代入直线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 31．（多选题） （26-27高二上·江西·阶段检测） 已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 【答案】ACD 【分析】利用圆的切点弦（极线）方程表示直线，再结合切线长和点到直线距离，分别判断各选项． 【详解】对于A，圆的方程化为，故圆心为，半径为． 设，由在直线上，得． 由圆的切点弦方程，直线满足， 即． 当时，由得， 所以的方程为，选项A正确； 对于B，此时． 在直角三角形中，，且． 又平分等腰三角形的顶角， 所以，不等于，选项B错误； 对于C，由于，，且， 四边形的面积为． 又，所以四边形面积最小时，取最小值， 即为圆心到直线的垂足． ， 故，选项C正确； 对于D，圆心到直线的垂足为． 代入切点弦方程，得， 即，选项D正确． 32．（填空题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】先利用相似得到点与点的坐标关系，代入直线方程求出的轨迹圆，定点到圆心距离减去半径即为的最小值. 【详解】设，因为为切点，所以和均为直角三角形， 又因为为公共角，所以，可得，则， 于是，如图，由三点共线，可得， 即点，将其代入，可得， 整理得：，即（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点， 故的最小值为. 题型六　圆与圆的位置关系与公切线（共8小题） 【知识积累】 位置关系判据：设两圆圆心距为 、半径分别为 ： 外离； 外切； 相交； 内切； 内含。 公切线条数：两圆外离时有 4 条，外切时有 3 条，相交时有 2 条，内切时有 1 条，内含时没有公切线。 有公共点的条件：两圆有公共点当且仅当 ；判断充分、必要条件时要注意范围的真包含。 两等半径圆相交：半径相等的两圆相交时，连心线垂直平分公共弦 ，公共弦长 （ 为圆心距）；当圆心距等于半径时，圆心与一个交点构成等边三角形，可据此求公共弦长或三角形面积。 33．（单选题） （26-27高二上·广东深圳·阶段检测） 圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距， 两圆的半径之差为，所以两圆内含. 34．（单选题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 圆与圆的位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为，即， 所以圆与圆的位置关系是相交. 35．（单选题） （26-27高二上·江苏·期中） 圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 36．（填空题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 圆与圆交点为，，则的面积为________. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，则圆与圆相交，且， 因此是正三角形，其面积为. 37．（填空题） （26-27高二上·河北唐山·阶段检测） 已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 【答案】 【分析】先把两圆一般方程配方求出圆心、半径，计算圆心距，对比圆心距与两半径和、差的大小，判断两圆位置为相交，再利用位置关系对应公切线数量的结论，得到公切线有条. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 圆心距， ，， 因为，所以圆和圆相交， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线． 38．（单选题） （26-27高二上·广西南宁·阶段检测） 已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据“与有公共点”可求得，由此可判断和的推理关系，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 39．（单选题） （25-26高二上·福建厦门·阶段检测） 已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 40．（填空题） （26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【答案】 【详解】两圆有3条公切线说明两圆外切，圆，圆心，半径为， 圆，化为标准方程， 圆心，半径为，圆心距为， 由外切性质可知，，即，解得. 题型七　综合应用（共6小题） 【知识积累】 线性目标的最值：求 的最值，令 看成动直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不超过半径求 的范围。 分式目标的最值： 表示圆上的点与定点 连线所在直线的斜率，相切时取到最大值或最小值。 距离型最值：圆上的点 到定点 的距离满足 （ 为圆心）；圆上的点到定直线的距离最值由 给出。 两动点的距离：两圆上的点之间的距离最值由圆心距 与两半径按位置关系加减得到，例如外离时最小为 、最大为 。 41．（填空题） （26-27高二上·广西·期中） 已知实数x，y满足，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】先将圆一般方程化为标准方程确定圆心半径，借助直线与圆有公共点的位置关系列式，求解目标式的最大值. 【详解】方程化为， 表示以点为圆心，为半径的圆， 设，即， 依题意，直线与圆有公共点， 因此，解得， 所以的最大值为. 42．（单选题） （26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测） 已知点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，代入圆方程，整理得含参数的关于的一元二次方程，再结合求出的取值范围，进而得解． 【详解】设，则，代入中，得， 整理得， 又点是圆上的点，即上述方程有实数解， 所以，解得或， 故的取值范围为． 43．（解答题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 44．（多选题） （26-27高二上·江苏·期中） 已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 【答案】AD 【分析】将直线方程变形求解定点判断A；先求出圆心到直线的距离，然后求解范围，利用直线与圆的位置关系求解距离范围判断B；利用圆心到直线的距离判断C；设，由圆的性质得，即 ，根据判别式法求得参数范围即可判断D. 【详解】对于A，直线：，即 ， 由解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，， 所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值小于，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为， 所以圆上恰有个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设， 因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为， 则， 平方化简得， 根据点的存在性可知方程有解， 所以， 整理得，解得， 即，所以D正确. 45．（单选题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知实数，，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B．14 C． D．12 【答案】B 【分析】设，则在定圆上且，将所求绝对值式子转化为两点到直线距离之和的倍，又中点C在半径为的圆上，求出点到直线距离最大值进而求出结果. 【详解】设，由可知点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又，所以，即， 设点到直线的距离分别为，则， 所以， 取的中点，则点到直线的距离， 又，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，设点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为，即， 因为，所以，所以， 所以， 即的最大值为.    46．（多选题） （26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B．已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出中点的轨迹方程为，转化为利用圆外一点到圆上一点距离的最大值即可求解；对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，写出四边形面积的表达式，利用基本不等式即可求解；对于C，利用切点弦公式求出直线的方程即可求解；对于D，设出切线方程，结合韦达定理写出的表达式即可求解． 【详解】对于A，设中点为，则，且， 故，所以点的轨迹为， 又直线到圆心的距离， 故点到直线距离的最大值，A错误； 对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为， 则，，， 故四边形的面积 当时等号成立，故四边形的面积的最大值为5，B正确 对于C，设，则，设切点， 由于直线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线的方程为，即， 又因为在圆上，故，故切线的方程为， 当时，，切线方程为，上式亦成立， 因此切线的方程为， 又由在切线上可得， 同理，， 所以满足，所以直线的方程为， 代入，得，， 由可得，因此直线过定点，C正确； 对于D，设，设过的切线方程为，即， 则由得，即， 设两根为（两条切线斜率），则， 把代入切线方程可得， 故， 因此 ， 当时等号成立，故的最小值为，D正确． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系（7大题型46题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　直线与圆的位置关系判定 第1—4题 4 题型二　由位置关系求参数 第5—11题 7 题型三　弦长与弦的中点 第12—19题 8 题型四　切线方程与切线长 第20—25题 6 题型五　切点弦与公共弦 第26—32题 7 题型六　圆与圆的位置关系与公切线 第33—40题 8 题型七　综合应用 第41—46题 6 题型通关 · 靶向提分 题型一　直线与圆的位置关系判定（共4小题） 【知识积累】 位置关系判据（几何法）：圆心到直线的距离 与半径 比较： 时相交， 时相切， 时相离。 位置关系判据（代数法）：联立直线与圆的方程消元，得到一元二次方程，由判别式 、、 分别得相交、相切、相离。 点与圆定直线位置：已知直线 与圆 ，点 ： 在圆上时 与圆相切， 在圆外时相交， 在圆内时相离。 弦最长的直线：直线截圆所得弦长最大（为直径）时，直线经过圆的圆心。 1．（单选题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 2．（多选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（     ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 3．（多选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知直线，圆，下列说法正确的是（     ） A．直线过定点 B．，使得直线与圆相离 C．若，则被截得的弦长为 D．若直线与圆相切，则 4．（多选题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 已知直线，圆，下列命题正确的有（     ） A．直线恒过定点； B．若直线被圆截得弦长为，则或； C．若直线与圆相切，则； D．过定点的圆的最短弦所在直线方程为2. 题型二　由位置关系求参数（共7小题） 【知识积累】 由公共点个数求参数：把条件转化为圆心到直线的距离 与半径 的比较，或两圆圆心距与半径和、差的关系，列出等式或不等式再求参数范围。 圆上到直线距离为定值的点：到直线 距离为 的点中，与 平行且距离为 的两条直线与圆的交点个数决定了点数；“恰有 3 个”即其中一条与圆相切、另一条与圆相交。 方程根的个数：方程 的实数根个数，就是直线 与上半圆 的交点个数，画图后由临界位置定端点。 端点取舍：相切、过端点等临界情形要代回检验；含参结果注意区间的开闭与半径退化的情形。 5．（单选题） （26-27高二上·广西·期中） 已知圆被直线平分，则m的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．（单选题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 已知圆 上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（单选题） （25-26高二上·北京密云·期中） 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 9．（单选题） （26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测） 设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．（单选题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（填空题） （26-27高二上·江苏南京·阶段检测） 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 题型三　弦长与弦的中点（共8小题） 【知识积累】 弦长公式：直线截圆所得弦长 ，其中 是圆心到直线的距离（弦心距）。 弦的中点：弦的中点 与圆心 的连线垂直于弦，即 ；过圆内定点 的弦中，垂直于 的弦最短， 所在的直径最长。 被坐标轴截得的弦：圆被 轴截得的弦，令 解出交点的纵坐标，两纵坐标之差的绝对值即为弦长。 已知弦长求方程：先由弦长求出弦心距 ，再由点到直线距离公式列方程求斜率或截距，注意斜率不存在的竖直直线。 12．（单选题） （26-27高二上·全国·期中） 直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （    ） A． B． C． D． 13．（单选题） （26-27高二上·广西南宁·阶段检测） 圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．（填空题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 15．（单选题） （26-27高二上·河北保定·期中） 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（填空题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 17．（单选题） （26-27高二上·江苏南京·阶段检测） 在平面直角坐标系中，已知点、在圆上，且，点，，设的中点的横坐标为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 18．（单选题） （26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 19．（多选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 题型四　切线方程与切线长（共6小题） 【知识积累】 过圆上一点的切线：圆 在点 处的切线方程为 ；圆 在点 处的切线方程为 。 过圆外一点的切线：过圆外一点可作两条切线；设点斜式方程 ，由圆心到直线的距离等于半径求 ；若只解出一个 ，另一条是斜率不存在的竖直切线。 切线长：从圆外一点 引圆的切线，切点为 ，则切线长 （ 为圆心， 为半径）。 与直线相切的圆：圆心在定直线上的圆与已知直线相切，就是圆心到该直线的距离等于半径，据此列方程求参数。 20．（单选题） （26-27高二上·江西·阶段检测） 过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则最大值为（    ） A． B． C． D． 21．（单选题） （23-24高二上·北京·期末） 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 22．（填空题） （26-27高二上·河南南阳·阶段检测） 求圆心在x轴上，且与直线，直线都相切的圆的方程________ 23．（解答题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 已知圆． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)求过点的圆的切线方程． 24．（填空题） （26-27高二上·陕西西安·阶段检测） 过圆：外一点作圆的切线，，切点为，，则的最小值为_______． 25．（解答题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 题型五　切点弦与公共弦（共7小题） 【知识积累】 切点弦（极线）方程：过圆 外一点 作两条切线，两切点连线所在直线的方程为 。 切点弦的求法：两切点 满足 ，即以 为直径的圆与已知圆的公共弦，用两圆方程相减得到。 公共弦所在直线：两圆方程 、 相减所得的一次方程，相交时是公共弦所在直线，相切时是公切线所在直线。 过两圆交点的圆系：经过两圆 与 公共点的圆，可设为其线性组合 ，再由圆心或半径条件确定 。 26．（单选题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（     ） A． B． C． D． 27．（填空题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 28．（单选题） （25-26高二下·陕西咸阳·期末） 已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 29．（填空题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 30．（填空题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 31．（多选题） （26-27高二上·江西·阶段检测） 已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 32．（填空题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为______． 题型六　圆与圆的位置关系与公切线（共8小题） 【知识积累】 位置关系判据：设两圆圆心距为 、半径分别为 ： 外离； 外切； 相交； 内切； 内含。 公切线条数：两圆外离时有 4 条，外切时有 3 条，相交时有 2 条，内切时有 1 条，内含时没有公切线。 有公共点的条件：两圆有公共点当且仅当 ；判断充分、必要条件时要注意范围的真包含。 两等半径圆相交：半径相等的两圆相交时，连心线垂直平分公共弦 ，公共弦长 （ 为圆心距）；当圆心距等于半径时，圆心与一个交点构成等边三角形，可据此求公共弦长或三角形面积。 33．（单选题） （26-27高二上·广东深圳·阶段检测） 圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 34．（单选题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 圆与圆的位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 35．（单选题） （26-27高二上·江苏·期中） 圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（填空题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 圆与圆交点为，，则的面积为________. 37．（填空题） （26-27高二上·河北唐山·阶段检测） 已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 38．（单选题） （26-27高二上·广西南宁·阶段检测） 已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（单选题） （25-26高二上·福建厦门·阶段检测） 已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 40．（填空题） （26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知圆：和圆：有条公切线，则______. 题型七　综合应用（共6小题） 【知识积累】 线性目标的最值：求 的最值，令 看成动直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不超过半径求 的范围。 分式目标的最值： 表示圆上的点与定点 连线所在直线的斜率，相切时取到最大值或最小值。 距离型最值：圆上的点 到定点 的距离满足 （ 为圆心）；圆上的点到定直线的距离最值由 给出。 两动点的距离：两圆上的点之间的距离最值由圆心距 与两半径按位置关系加减得到，例如外离时最小为 、最大为 。 41．（填空题） （26-27高二上·广西·期中） 已知实数x，y满足，则的最大值为__________. 42．（单选题） （26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测） 已知点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（解答题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 44．（多选题） （26-27高二上·江苏·期中） 已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 45．（单选题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知实数，，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B．14 C． D．12 46．（多选题） （26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B．已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $