第一章 专题03 空间向量及其运算的坐标表示专项训练（7大题型40题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题03 空间向量及其运算的坐标表示（7大题型40题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　空间直角坐标系与点的坐标 第1—6题 6 题型二　空间向量的坐标运算与数量积 第7—11题 5 题型三　坐标表示的模与两点间距离 第12—16题 5 题型四　坐标判平行与垂直 第17—23题 7 题型五　坐标求夹角余弦 第24—28题 5 题型六　含参范围与最值 第29—33题 5 题型七　坐标法的综合应用 第34—40题 7 题型通关 · 靶向提分 题型一　空间直角坐标系与点的坐标（共6小题） 【知识积累】 空间直角坐标系：过定点 ，作三条两两垂直的数轴 轴、 轴、 轴，就建立了空间直角坐标系 ；三条轴的方向向量（单位向量）记作 、、。 点的坐标：对空间任一点 ，若 ，则把有序实数组 叫做点 的坐标，记作 ；、、 分别是点 在三条坐标轴上的坐标（在坐标平面内的射影）。 对称点的坐标规律：点 关于原点对称的坐标为 ；关于 轴对称的坐标为 ，关于 轴对称的坐标为 ，关于 轴对称的坐标为 。 关于坐标平面对称：点 关于 平面对称的坐标为 ，关于 平面对称的坐标为 ，关于 平面对称的坐标为 。 口诀与易错：关于谁对称，谁的坐标不变，其余坐标变为相反数（关于原点则三个坐标全变相反数）；写对称点时最容易漏改 坐标，关于坐标平面对称只改一个坐标的符号、关于坐标轴对称改两个。 1．（单选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（单选题） （26-27高二上·广东惠州·阶段检测） 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 在空间直角坐标系下，点与点关于轴对称，点与点关于平面对称，则和（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于平面对称 D．关于平面对称 5．（单选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，，则（   ） A．点A与点B关于z轴对称 B．点B与点D关于x轴对称 C．点C与点D关于原点对称 D．点A与点D关于平面Oxz对称 6．（填空题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知点是在平面内的射影，则_________． 题型二　空间向量的坐标运算与数量积（共5小题） 【知识积累】 坐标表示： 表示 （ 是两两垂直的单位向量）。 加减与数乘：；对实数 有 。 数量积：。由坐标公式可求数量积、判断垂直、求夹角。 运算律：；；。 易错：数量积的结果是一个数，不是向量； 与非零向量垂直等价，判断垂直时不能把坐标直接相加。 7．（单选题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 8．（填空题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 已知向量，则________. 9．（单选题） （26-27高二上·广东惠州·阶段检测） 已知向量，则（    ） A． B． C． D． 10．（单选题） （26-27高二上·广东珠海·阶段检测） 已知空间向量，，，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 11．（填空题） （26-27高二上·天津·期中） 已知，若，则 ______. 题型三　坐标表示的模与两点间距离（共5小题） 【知识积累】 向量的模：。 两点间距离：、 时，，。 常用变形：；特别地 。 由模求参：把 （）化成 ，再解方程；开方常常得到两解，须代回原题检验。 易错： 一般不等于 ，只有 、 同向时才相等；算模前先求差向量（和向量）的坐标，再套模的坐标公式。 12．（填空题） （26-27高二上·河南信阳·阶段检测） 已知点和点，则两点之间的距离为______.． 13．（填空题） （26-27高二上·四川南充·阶段检测） 已知点关于坐标平面的对称点为，则______. 14．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 15．（单选题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 16．（解答题） （25-26高二上·陕西渭南·阶段检测） 已知向量.求： (1) (2) 题型四　坐标判平行与垂直（共7小题） 【知识积累】 平行（共线）：非零向量 当且仅当 ；坐标上由 、、 列方程（比直接写比例式更稳妥，可避免分母为零）。 垂直： 当且仅当 ，即 。 三点共线：、、 三点共线当且仅当 ，用坐标列比例式或方程组求解。 由平行（垂直）求参：把条件翻译成坐标方程（组），解出参数；注意平行时要三组坐标都成比例，不能只看一组。 易错：用 判平行时要注意 的正负（同向为正、反向为负）；垂直时先确认两向量均非零。 17．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 设，向量，且，则（     ） A． B．10 C．14 D．24 18．（填空题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知向量，，若，则______． 19．（单选题） （26-27高二上·河北·阶段检测） 已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．3 20．（单选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 21．（单选题） （26-27高二上·山西吕梁·阶段检测） 已知三点，，共线，那么（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（多选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知空间四点， 则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（多选题） （26-27高二上·四川南充·阶段检测） 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 题型五　坐标求夹角余弦（共5小题） 【知识积累】 夹角公式：设非零向量 、 的夹角为 ，则 。 夹角范围：； 时 为锐角， 时 为直角， 时 为钝角。 计算步骤：先算 ，再算 、，最后代入公式；结果一般要分母有理化。 由夹角求参：把 的值代入公式得到含参方程；若只说夹角为锐角或钝角，则用 （锐角）或 （钝角）列不等式。 易错：分母是 而不是 ；由锐角（钝角）求参数范围时，必须排除两向量共线（同向或反向）的退化情形。 24．（单选题） （26-27高二上·天津南开·阶段检测） 已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 25．（单选题） （26-27高二上·全国·期中） 已知 ，，则 （    ） A． B． C． D． 26．（单选题） （26-27高二上·北京·期中） 已知，，则是（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 27．（单选题） （26-27高二上·河南安阳·阶段检测） 设空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 28．（解答题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数k的值． 题型六　含参范围与最值（共5小题） 【知识积累】 锐角与钝角的完整条件： 与 的夹角为钝角当且仅当 且 、 不共线；夹角为锐角当且仅当 且 、 不共线。 含参数量积：把 化成关于参数的表达式（一次或二次），再解不等式；解集要与“不共线”条件求交集。 坐标法求最值：把目标量（数量积、距离等）表示成某个参数的函数（常为二次函数），用配方法或二次函数性质求最值，并注意参数的取值范围。 检验：求出参数后代回原式，核对夹角类型与取值范围端点的开闭，舍去使向量共线或不符合几何位置的解。 易错：只解 而不排除共线，会把反向（夹角为 ）的情形误算进去；二次不等式的解集必须与参数的实际取值范围取交集。 29．（填空题） （26-27高二上·河南平顶山·阶段检测） 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 30．（填空题） （26-27高二上·天津津南·阶段检测） 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 31．（单选题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 32．（单选题） （26-27高二上·河北·阶段检测） 已知空间向量，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 33．（填空题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 题型七　坐标法的综合应用（共7小题） 【知识积累】 建立坐标系：在长方体、正方体、直棱柱等图形中，选三条两两垂直的棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，先写出关键点（顶点、中点）的坐标。 求向量坐标：，即终点坐标减起点坐标；求某点坐标时可用 等向量关系列式。 坐标法解题流程：建系 → 写点（向量）坐标 → 用坐标运算（加减、数乘、数量积、模、夹角）列式 → 求解并回答几何结论。 共线与共面：用 判断三点共线；点 在平面 内时可设 ，再用坐标列方程组。 易错：建系前要确认三条轴两两垂直；求向量坐标时是终点减起点，不要写反；写点坐标时注意各坐标轴的方向与单位长度。 34．（单选题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（解答题） （26-27高二上·浙江·期中） 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 36．（解答题） （26-27高二上·北京·期中） 已知向量，，，计算下列各式的值． (1)； (2)； (3). 37．（解答题） （25-26高二上·广东惠州·期中） 已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 38．（解答题） （26-27高二上·山东枣庄·阶段检测） 已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 39．（解答题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 已知空间三点，，，设，． (1)设，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 40．（解答题） （26-27高二上·新疆喀什·阶段检测） 已知空间向量，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题03 空间向量及其运算的坐标表示（7大题型40题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　空间直角坐标系与点的坐标 第1—6题 6 题型二　空间向量的坐标运算与数量积 第7—11题 5 题型三　坐标表示的模与两点间距离 第12—16题 5 题型四　坐标判平行与垂直 第17—23题 7 题型五　坐标求夹角余弦 第24—28题 5 题型六　含参范围与最值 第29—33题 5 题型七　坐标法的综合应用 第34—40题 7 题型通关 · 靶向提分 题型一　空间直角坐标系与点的坐标（共6小题） 【知识积累】 空间直角坐标系：过定点 ，作三条两两垂直的数轴 轴、 轴、 轴，就建立了空间直角坐标系 ；三条轴的方向向量（单位向量）记作 、、。 点的坐标：对空间任一点 ，若 ，则把有序实数组 叫做点 的坐标，记作 ；、、 分别是点 在三条坐标轴上的坐标（在坐标平面内的射影）。 对称点的坐标规律：点 关于原点对称的坐标为 ；关于 轴对称的坐标为 ，关于 轴对称的坐标为 ，关于 轴对称的坐标为 。 关于坐标平面对称：点 关于 平面对称的坐标为 ，关于 平面对称的坐标为 ，关于 平面对称的坐标为 。 口诀与易错：关于谁对称，谁的坐标不变，其余坐标变为相反数（关于原点则三个坐标全变相反数）；写对称点时最容易漏改 坐标，关于坐标平面对称只改一个坐标的符号、关于坐标轴对称改两个。 1．（单选题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 2．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 3．（单选题） （26-27高二上·广东惠州·阶段检测） 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间直角坐标系中点关于平面对称的坐标变换规律求解 【详解】在空间直角坐标系中，若两点关于平面对称，则两点的坐标、坐标分别相等，坐标互为相反数， 所以，点关于平面对称的点的坐标为. 4．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 在空间直角坐标系下，点与点关于轴对称，点与点关于平面对称，则和（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于平面对称 D．关于平面对称 【答案】C 【分析】设点，再求出点关于坐标轴及坐标平面的对称点坐标，由点的坐标判断点的对称关系可得. 【详解】设点，因为点与点关于轴对称，所以. 又因为点与点关于平面对称，所以， 由，，所以和关于平面对称. 5．（单选题） （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，，则（   ） A．点A与点B关于z轴对称 B．点B与点D关于x轴对称 C．点C与点D关于原点对称 D．点A与点D关于平面Oxz对称 【答案】C 【分析】根据对称的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】点A与点B关于平面对称，点B与点D关于平面对称， 点C与点D关于原点对称，点A与点D关于轴对称. 6．（填空题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知点是在平面内的射影，则_________． 【答案】5 【详解】因为点是在平面内的射影，所以， 所以. 题型二　空间向量的坐标运算与数量积（共5小题） 【知识积累】 坐标表示： 表示 （ 是两两垂直的单位向量）。 加减与数乘：；对实数 有 。 数量积：。由坐标公式可求数量积、判断垂直、求夹角。 运算律：；；。 易错：数量积的结果是一个数，不是向量； 与非零向量垂直等价，判断垂直时不能把坐标直接相加。 7．（单选题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以． 8．（填空题） （26-27高二上·云南昭通·阶段检测） 已知向量，则________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 9．（单选题） （26-27高二上·广东惠州·阶段检测） 已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以. 10．（单选题） （26-27高二上·广东珠海·阶段检测） 已知空间向量，，，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以. 11．（填空题） （26-27高二上·天津·期中） 已知，若，则 ______. 【答案】2 【分析】根据数量积的运算法则，代入求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，则， 所以. 题型三　坐标表示的模与两点间距离（共5小题） 【知识积累】 向量的模：。 两点间距离：、 时，，。 常用变形：；特别地 。 由模求参：把 （）化成 ，再解方程；开方常常得到两解，须代回原题检验。 易错： 一般不等于 ，只有 、 同向时才相等；算模前先求差向量（和向量）的坐标，再套模的坐标公式。 12．（填空题） （26-27高二上·河南信阳·阶段检测） 已知点和点，则两点之间的距离为______.． 【答案】 【详解】因为点和点， 所以， 所以两点之间的距离为. 13．（填空题） （26-27高二上·四川南充·阶段检测） 已知点关于坐标平面的对称点为，则______. 【答案】 【分析】根据点关于平面对称求解即可. 【详解】点关于坐标平面的对称点为， 所以. 14．（单选题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：， 解得，所以或，所以； 解法二：， 所以. 15．（单选题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到点的坐标，再利用两点间距离公式计算即可． 【详解】关于坐标平面对称的点为， 由可得． 16．（解答题） （25-26高二上·陕西渭南·阶段检测） 已知向量.求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过“数乘向量”分别计算、，再通过“向量减法”得到的坐标，最后利用“空间向量模长公式”（）计算模长； （2）先通过“空间向量点积公式”计算，再分别计算、的模长，最后代入“向量夹角公式”（），结合夹角范围确定最终角度. 【详解】（1），， ， 故. （2）， ， ， ， 因为向量夹角范围是，所以 . 题型四　坐标判平行与垂直（共7小题） 【知识积累】 平行（共线）：非零向量 当且仅当 ；坐标上由 、、 列方程（比直接写比例式更稳妥，可避免分母为零）。 垂直： 当且仅当 ，即 。 三点共线：、、 三点共线当且仅当 ，用坐标列比例式或方程组求解。 由平行（垂直）求参：把条件翻译成坐标方程（组），解出参数；注意平行时要三组坐标都成比例，不能只看一组。 易错：用 判平行时要注意 的正负（同向为正、反向为负）；垂直时先确认两向量均非零。 17．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 设，向量，且，则（     ） A． B．10 C．14 D．24 【答案】B 【详解】由题意可得， 则，即，解得， 所以. 18．（填空题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知向量，，若，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 19．（单选题） （26-27高二上·河北·阶段检测） 已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，则，即，解得． 20．（单选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即，解得. 21．（单选题） （26-27高二上·山西吕梁·阶段检测） 已知三点，，共线，那么（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意知，，结合三点共线，则， 所以，可得，故. 22．（多选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知空间四点， 则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意知， ， ， ， . 所以与不共线，所以三点不共线. 所以，， 所以， 所以A正确，B错误. ， 即与夹角的余弦值为， 所以C错误，D正确. 23．（多选题） （26-27高二上·四川南充·阶段检测） 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】利用空间向量的坐标运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知，， 故，正确； 对于B，由，可知，，, 所以，错误； 对于C，若，且，则，即，正确； 对于D，若且，则设，那么， ，正确. 题型五　坐标求夹角余弦（共5小题） 【知识积累】 夹角公式：设非零向量 、 的夹角为 ，则 。 夹角范围：； 时 为锐角， 时 为直角， 时 为钝角。 计算步骤：先算 ，再算 、，最后代入公式；结果一般要分母有理化。 由夹角求参：把 的值代入公式得到含参方程；若只说夹角为锐角或钝角，则用 （锐角）或 （钝角）列不等式。 易错：分母是 而不是 ；由锐角（钝角）求参数范围时，必须排除两向量共线（同向或反向）的退化情形。 24．（单选题） （26-27高二上·天津南开·阶段检测） 已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，， 所以，， 所以. 25．（单选题） （26-27高二上·全国·期中） 已知 ，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】， ，． 所以 ． 26．（单选题） （26-27高二上·北京·期中） 已知，，则是（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】C 【分析】利用空间向量的夹角公式求出，结合向量夹角的取值范围可得出的大小. 【详解】由题意可得， 因为，故. 27．（单选题） （26-27高二上·河南安阳·阶段检测） 设空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，且，， 又，所以 . 所以. 28．（解答题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案； （2）利用空间向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. （2）因为，所以，； 因为， 所以，解得. 题型六　含参范围与最值（共5小题） 【知识积累】 锐角与钝角的完整条件： 与 的夹角为钝角当且仅当 且 、 不共线；夹角为锐角当且仅当 且 、 不共线。 含参数量积：把 化成关于参数的表达式（一次或二次），再解不等式；解集要与“不共线”条件求交集。 坐标法求最值：把目标量（数量积、距离等）表示成某个参数的函数（常为二次函数），用配方法或二次函数性质求最值，并注意参数的取值范围。 检验：求出参数后代回原式，核对夹角类型与取值范围端点的开闭，舍去使向量共线或不符合几何位置的解。 易错：只解 而不排除共线，会把反向（夹角为 ）的情形误算进去；二次不等式的解集必须与参数的实际取值范围取交集。 29．（填空题） （26-27高二上·河南平顶山·阶段检测） 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 【详解】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 30．（填空题） （26-27高二上·天津津南·阶段检测） 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】设与的夹角为，由题意可得，根据空间向量数量积的坐标运算可得，解不等式即可求解. 【详解】设与的夹角为，则为钝角， 所以，即， 又因为，， 所以，解得：， 若与共线，则，此方程组无解，所以与不共线， 所以实数的取值范围为. 31．（单选题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 又因， ， 由可得，解得. 32．（单选题） （26-27高二上·河北·阶段检测） 已知空间向量，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先由向量坐标的线性运算可得的坐标，再由向量的共线的坐标关系可得. 【详解】由空间向量，， 所以，， 因为，所以，解得. 因此，. 33．（填空题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 【答案】 【分析】先根据点M在线段OA上运动设出点M的坐标，再求出与的坐标，进而求得关于参数的表达式，根据二次函数性质求出最小值时参数的值，得到点M的坐标；最后求出线段BC的中点坐标，利用两点间距离公式求出点M到线段BC的中点的距离. 【详解】设点，因为点M在线段OA上运动，所以， 因为点，，， 设，则点， 所以，， 则， 当时， 取得最小值为，此时点M的坐标为． 因为点，， 所以线段BC的中点的坐标为， 所以点M到线段BC的中点的距离为. 题型七　坐标法的综合应用（共7小题） 【知识积累】 建立坐标系：在长方体、正方体、直棱柱等图形中，选三条两两垂直的棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，先写出关键点（顶点、中点）的坐标。 求向量坐标：，即终点坐标减起点坐标；求某点坐标时可用 等向量关系列式。 坐标法解题流程：建系 → 写点（向量）坐标 → 用坐标运算（加减、数乘、数量积、模、夹角）列式 → 求解并回答几何结论。 共线与共面：用 判断三点共线；点 在平面 内时可设 ，再用坐标列方程组。 易错：建系前要确认三条轴两两垂直；求向量坐标时是终点减起点，不要写反；写点坐标时注意各坐标轴的方向与单位长度。 34．（单选题） （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测） 一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】依题意，直线两两垂直，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 设，由，得， 则，，， ，解得，所以. 35．（解答题） （26-27高二上·浙江·期中） 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 【答案】(1)，， (2)， 【详解】（1）由题意可知：，，，， 所以， ， . （2）， . 36．（解答题） （26-27高二上·北京·期中） 已知向量，，，计算下列各式的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的数量积运算即可得到答案； （2）根据空间向量模的运算即可得到答案； （3）根据空间向量的夹角运算即可得到答案. 【详解】（1）因为向量，，所以， 故. （2）因为向量，，所以， 故. （3）因为向量，，所以. 37．（解答题） （25-26高二上·广东惠州·期中） 已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， . （2）， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 38．（解答题） （26-27高二上·山东枣庄·阶段检测） 已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 【答案】(1) 或 (2) ， 【分析】（1）利用向量共线及向量模的坐标表示列式求解. （2）利用模的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示分类求解. 【详解】（1）由，，设， 又，则，解得， 所以或. （2）由，，得，解得， 依题意，，由向量与垂直， 得， 当时，，则，无解； 当时，，则，解得， 所以. 39．（解答题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 已知空间三点，，，设，． (1)设，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1) 或 (2) (3) 或 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及共线向量的定义列式求解. （2）利用空间向量夹角的公式，结合向量的坐标运算求解. （3）利用垂直关系的向量表示，并借助（2）的信息列式求解. 【详解】（1）由点，得， 由，设，由，得，解得， 所以 或 . （2）由（1）得，，， 则，所以与的夹角的余弦值为. （3）由与互相垂直，得，即， 由（2）得，解得或，所以或. 40．（解答题） （26-27高二上·新疆喀什·阶段检测） 已知空间向量，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，∴设与夹角为， 则，又， ∴. （2）∵，， 设与的夹角为， 由题意知为锐角，即， 即，解得， 当与同向时，，此时， 故实数的取值范围为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $