专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 考点预览 考点一 空间直角坐标系与点的坐标 考点二 空间向量的坐标运算 考点三 利用坐标判断平行与垂直 考点四 利用坐标求模、距离与夹角 考点五 坐标法的综合应用 一、知识填空 1．空间直角坐标系 （1）在空间直角坐标系 中，以 为单位正交基底，若 ，则称有序实数组 为点 的坐标，记作 。 （2） 轴、 轴、 轴上的点坐标分别具有形式 、 、 。 （3）坐标平面 、、 上的点坐标分别具有形式 、 、 。 2．空间向量的坐标运算 （1）设 ，，则 ， ， 。 （2） 。 （3） ；若 ，则 ，即 两点间的距离公式。 （4） 。 3．平行与垂直的坐标判定 （1）（） 。 （2） 。 4．中点坐标与对称点 （1） 的中点 的坐标为 。 （2）点 关于原点的对称点为 ；关于 平面的对称点为 ；关于 轴的对称点为 。 5．坐标法的基本步骤 建立空间直角坐标系后，把几何问题转化为 问题：用坐标表示点与向量，通过向量的坐标运算（加减、数乘、数量积）判断 关系、求 与角度。 二、考点专练 考点一 空间直角坐标系与点的坐标 方法与技巧： 1. 识别信号：给出正方体、长方体等几何体，要求建系写点坐标；或判断点所在的位置（坐标轴、坐标平面）。 1. 操作流程：先找三条两两垂直的棱作为坐标轴，确定原点与单位长度；把点向三条坐标轴作投影读坐标，按 顺序书写。 1. 技巧·口诀：“三棱互相垂，原点定好位；投影读坐标，顺序 xyz”。 1. 易错点：建系要保证是右手系；某坐标为 表示点在对应坐标平面内，如 在 平面内。 【例题精讲】 1．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点是（　　） A． B． C． D． 2．在棱长为 1 的正方体 中，以 为原点， 分别为 轴正方向建系，写出点 的坐标。 【变式训练】 1．点 关于原点的对称点为（　　） A． B． C． D． 2．已知点 ，则点 在（　　） A． 轴上 B． 轴上 C． 平面内 D． 轴上 3．在空间直角坐标系中，点 位于（　　） A． 轴上 B． 平面内 C． 平面内 D． 轴上 【巩固练习】 1．点 关于 轴的对称点是（　　） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点为（　　） A． B． C． D． 3．在棱长为 2 的正方体 中，以 为原点， 为 轴正方向，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．点 关于 轴的对称点为（　　） A． B． C． D． 5．若点 在 平面内，则 （　　） A．0 B．2 C．-1 D．任意实数 6．已知 ，，则线段 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，点 位于（　　） A． 轴正半轴 B． 轴负半轴 C． 轴正半轴 D．原点 8．点 关于 轴的对称点为（　　） A． B． C． D． 考点二 空间向量的坐标运算 方法与技巧： 1. 识别信号：给出两个向量的坐标，求加减、数乘、数量积或其组合。 1. 操作流程：逐分量对应运算——加减（对应分量相加减）、数乘（每个分量乘 ）、数量积（对应分量乘积之和）。 1. 技巧·口诀：“加减数乘逐分量，点积对应相乘再求和”。 1. 易错点：数量积的结果是一个数，不是向量； 与 别混淆。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，求 与 。 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A．2 B．-2 C．1 D．3 3．已知 ，，则 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 （　　） A．0 B．4 C．-4 D．2 4．已知 ，则 （　　） A． B．2 C．1 D．0 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 （　　） A．8 B．-8 C．6 D．14 8．已知 ，，则 （　　） A． B． C．6 D． 考点三 利用坐标判断平行与垂直 方法与技巧： 1. 识别信号：给出两向量的坐标，判断共线（平行）或垂直，或含参数求值。 1. 操作流程：平行按分量成比例（，注意某分量为 时对应分量也须为 ）；垂直直接算数量积等于 。 1. 技巧·口诀：“平行看比例，垂直看点积；分量有零要单独查”。 1. 易错点：判断平行时不能只比前两个分量，必须三个分量都成比例； 且 非零才垂直。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．既不平行也不垂直 D．相等 2．已知 ，，判断 与 是否垂直。 【变式训练】 1．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，且 ，则 （　　） A．-1 B．1 C．5 D．-5 3．已知 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．夹角为 D．不确定 【巩固练习】 1．已知 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．相等 D．无法判断 2．已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C．-2 D．2 3．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相等 D．无法判断 4．已知 ，，且 ，则 （　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．已知 ，，且 ，则 （　　） A．4 B．-4 C．1 D．-1 6．已知 ，，若 ，则 （　　） A．2 B．-2 C． D．4 7．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．以上都不对 D．无法判断 8．已知 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．既不平行也不垂直 D．无法判断 考点四 利用坐标求模、距离与夹角 方法与技巧： 1. 识别信号：求向量的模、两点间距离、两向量夹角（或余弦值）。 1. 操作流程：模用 ；距离用 ；夹角用 。 1. 技巧·口诀：“求模开平方，距离两点差；夹角先点积，再除模之积”。 1. 易错点： 是差的平方和，别把坐标直接相加；夹角的余弦值可能为负，夹角范围为 。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，求 与线段 的中点坐标。 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D．5 2．已知 ，，则 （　　） A． B．6 C． D． 3．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A．3 B．9 C． D．5 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 （　　） A．0 B．4 C．-4 D．2 5．已知两点 ，，则线段 的长为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A．0 B． C． D．1 7．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则线段 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 考点五 坐标法的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：需要先建系写坐标、再综合运用平行垂直、模与数量积解决求值或判断图形形状的问题。 1. 操作流程：建系—写坐标—算向量—用结论。判断图形形状比较边长（模）与角度（数量积）；求参数用“垂直数量积为零”“平行分量成比例”。 1. 技巧·口诀：“建系写坐标，向量来搭桥；要问形状如何，先比边长再比角”。 1. 易错点：建系后坐标系选取会影响坐标值但不影响结论；含参数的垂直条件不要漏掉“非零”前提。 【例题精讲】 1．已知 ，，若 与 垂直，求 。 2．已知 ，，，判断 的形状。 【变式训练】 1．已知 ，，则 （　　） A． B．10 C． D． 2．已知 ，，若 与 垂直，则 （　　） A．2 B．-2 C．1 D．4 3．在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，若 与 垂直，则 （　　） A．0 B．1 C．-1 D．3 2．已知 ，，则 的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 与 分别为（　　） A．0，3 B．0，9 C．2，3 D．4，3 4．已知点 ，，则线段 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，且 ，，则 （　　） A．-1 B．1 C．-3 D．3 6．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点为（　　） A． B． C． D． 7．已知 的顶点 ，，，则 （　　） A．1 B．-1 C．0 D．6 8．已知 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．相等 D．以上都不对 三、达标检测 1．点 关于原点的对称点为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D． 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 （　　） A．-4 B．4 C．0 D．-2 5．已知 ，，则 （　　） A．2 B．-2 C．1 D．3 6．已知 ，，且 ，则 （　　） A．4 B．-4 C．2 D．-2 7．已知 ，，则 （　　） A．2 B．4 C． D． 8．已知 ，，则 （　　） A． B． C．4 D． 9．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 10．已知 ，，且 ，求 。 11．已知 ，，求 的坐标与 。 12．已知 ，，若 与 垂直，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 考点预览 考点一 空间直角坐标系与点的坐标 考点二 空间向量的坐标运算 考点三 利用坐标判断平行与垂直 考点四 利用坐标求模、距离与夹角 考点五 坐标法的综合应用 一、知识填空 1．空间直角坐标系 （1）在空间直角坐标系 中，以 为单位正交基底，若 ，则称有序实数组 为点 的坐标，记作 。 （2） 轴、 轴、 轴上的点坐标分别具有形式 、 、 。 （3）坐标平面 、、 上的点坐标分别具有形式 、 、 。 2．空间向量的坐标运算 （1）设 ，，则 ， ， 。 （2） 。 （3） ；若 ，则 ，即 两点间的距离公式。 （4） 。 3．平行与垂直的坐标判定 （1）（） 。 （2） 。 4．中点坐标与对称点 （1） 的中点 的坐标为 。 （2）点 关于原点的对称点为 ；关于 平面的对称点为 ；关于 轴的对称点为 。 5．坐标法的基本步骤 建立空间直角坐标系后，把几何问题转化为 问题：用坐标表示点与向量，通过向量的坐标运算（加减、数乘、数量积）判断 关系、求 与角度。 自检自纠： 1．（1） （2）；； （3）；； 2．（1）；； （2） （3）； （4） 3．（1） （2） 4．（1） （2）；； 5．代数（向量）；位置；距离 二、考点专练 考点一 空间直角坐标系与点的坐标 方法与技巧： 1. 识别信号：给出正方体、长方体等几何体，要求建系写点坐标；或判断点所在的位置（坐标轴、坐标平面）。 1. 操作流程：先找三条两两垂直的棱作为坐标轴，确定原点与单位长度；把点向三条坐标轴作投影读坐标，按 顺序书写。 1. 技巧·口诀：“三棱互相垂，原点定好位；投影读坐标，顺序 xyz”。 1. 易错点：建系要保证是右手系；某坐标为 表示点在对应坐标平面内，如 在 平面内。 【例题精讲】 1．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 平面对称时， 坐标不变、 坐标变为相反数，故对称点为 。故选 A。 2．在棱长为 1 的正方体 中，以 为原点， 分别为 轴正方向建系，写出点 的坐标。 【答案】 【详解】，故 。 【变式训练】 1．点 关于原点的对称点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于原点对称时三个坐标都变为相反数，故对称点为 。故选 A。 2．已知点 ，则点 在（　　） A． 轴上 B． 轴上 C． 平面内 D． 轴上 【答案】C 【详解】 的点位于 平面内，故 在 平面内。故选 C。 3．在空间直角坐标系中，点 位于（　　） A． 轴上 B． 平面内 C． 平面内 D． 轴上 【答案】B 【详解】 的点位于 平面内，故 在 平面内。故选 B。 【巩固练习】 1．点 关于 轴的对称点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称时 不变， 变为相反数，故对称点为 。故选 A。 2．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 平面对称时 不变、 变号，故对称点为 。故选 A。 3．在棱长为 2 的正方体 中，以 为原点， 为 轴正方向，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 4．点 关于 轴的对称点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称时 不变， 变号，故对称点为 。故选 A。 5．若点 在 平面内，则 （　　） A．0 B．2 C．-1 D．任意实数 【答案】A 【详解】 平面内点的横坐标为 ，故 。故选 A。 6．已知 ，，则线段 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点坐标为 。故选 A。 7．在空间直角坐标系中，点 位于（　　） A． 轴正半轴 B． 轴负半轴 C． 轴正半轴 D．原点 【答案】B 【详解】只有 ，故该点在 轴负半轴上。故选 B。 8．点 关于 轴的对称点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称时 不变， 变号，故对称点为 。故选 A。 考点二 空间向量的坐标运算 方法与技巧： 1. 识别信号：给出两个向量的坐标，求加减、数乘、数量积或其组合。 1. 操作流程：逐分量对应运算——加减（对应分量相加减）、数乘（每个分量乘 ）、数量积（对应分量乘积之和）。 1. 技巧·口诀：“加减数乘逐分量，点积对应相乘再求和”。 1. 易错点：数量积的结果是一个数，不是向量； 与 别混淆。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，，求 与 。 【答案】， 【详解】，故 ；。 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A．2 B．-2 C．1 D．3 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，，则 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，，则 （　　） A．0 B．4 C．-4 D．2 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．已知 ，则 （　　） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 7．已知 ，，则 （　　） A．8 B．-8 C．6 D．14 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．已知 ，，则 （　　） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点三 利用坐标判断平行与垂直 方法与技巧： 1. 识别信号：给出两向量的坐标，判断共线（平行）或垂直，或含参数求值。 1. 操作流程：平行按分量成比例（，注意某分量为 时对应分量也须为 ）；垂直直接算数量积等于 。 1. 技巧·口诀：“平行看比例，垂直看点积；分量有零要单独查”。 1. 易错点：判断平行时不能只比前两个分量，必须三个分量都成比例； 且 非零才垂直。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．既不平行也不垂直 D．相等 【答案】A 【详解】，三个分量都满足比例关系，故 。故选 A。 2．已知 ，，判断 与 是否垂直。 【答案】 【详解】，且 均为非零向量，故 。 【变式训练】 1．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ；，不垂直； 不相等。故选 A。 2．已知 ，，且 ，则 （　　） A．-1 B．1 C．5 D．-5 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 3．已知 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．夹角为 D．不确定 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．相等 D．无法判断 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【详解】由 得 ，。故选 A。 3．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相等 D．无法判断 【答案】A 【详解】，且均非零，故 。故选 A。 4．已知 ，，且 ，则 （　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】由 得 ，。故选 A。 5．已知 ，，且 ，则 （　　） A．4 B．-4 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】，比较第二分量得 。故选 A。 6．已知 ，，若 ，则 （　　） A．2 B．-2 C． D．4 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 7．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．以上都不对 D．无法判断 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 8．已知 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．既不平行也不垂直 D．无法判断 【答案】A 【详解】，且均非零，故 。故选 A。 考点四 利用坐标求模、距离与夹角 方法与技巧： 1. 识别信号：求向量的模、两点间距离、两向量夹角（或余弦值）。 1. 操作流程：模用 ；距离用 ；夹角用 。 1. 技巧·口诀：“求模开平方，距离两点差；夹角先点积，再除模之积”。 1. 易错点： 是差的平方和，别把坐标直接相加；夹角的余弦值可能为负，夹角范围为 。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故夹角为 。故选 A。 2．已知 ，，求 与线段 的中点坐标。 【答案】，中点 【详解】，；中点坐标为 。 【变式训练】 1．已知 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D．5 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且均非零，故夹角为 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A．3 B．9 C． D．5 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故夹角为 。故选 A。 4．已知 ，，则 （　　） A．0 B．4 C．-4 D．2 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．已知两点 ，，则线段 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 6．已知 ，，则 （　　） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 7．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，故夹角为 。故选 A。 8．已知 ，，则线段 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点坐标为 。故选 A。 考点五 坐标法的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：需要先建系写坐标、再综合运用平行垂直、模与数量积解决求值或判断图形形状的问题。 1. 操作流程：建系—写坐标—算向量—用结论。判断图形形状比较边长（模）与角度（数量积）；求参数用“垂直数量积为零”“平行分量成比例”。 1. 技巧·口诀：“建系写坐标，向量来搭桥；要问形状如何，先比边长再比角”。 1. 易错点：建系后坐标系选取会影响坐标值但不影响结论；含参数的垂直条件不要漏掉“非零”前提。 【例题精讲】 1．已知 ，，若 与 垂直，求 。 【答案】 【详解】，由 得 。 2．已知 ，，，判断 的形状。 【答案】等腰三角形 【详解】，，，且 ，故 是等腰三角形。 【变式训练】 1．已知 ，，则 （　　） A． B．10 C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．已知 ，，若 与 垂直，则 （　　） A．2 B．-2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】，，由 得 。故选 A。 3．在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称时 不变， 变号，故对称点为 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，若 与 垂直，则 （　　） A．0 B．1 C．-1 D．3 【答案】A 【详解】，，由 得 。故选 A。 2．已知 ，，则 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，，则 与 分别为（　　） A．0，3 B．0，9 C．2，3 D．4，3 【答案】A 【详解】，。故选 A。 4．已知点 ，，则线段 的中点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点坐标为 。故选 A。 5．已知 ，，且 ，，则 （　　） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 6．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 平面对称时 不变、 变号，故对称点为 。故选 A。 7．已知 的顶点 ，，，则 （　　） A．1 B．-1 C．0 D．6 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 8．已知 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．相等 D．以上都不对 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 三、达标检测 1．点 关于原点的对称点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于原点对称时三个坐标都变号，故对称点为 。故选 A。 2．已知 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．已知 ，，则 （　　） A．-4 B．4 C．0 D．-2 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．已知 ，，则 （　　） A．2 B．-2 C．1 D．3 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．已知 ，，且 ，则 （　　） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 7．已知 ，，则 （　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 8．已知 ，，则 （　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 9．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故夹角为 。故选 A。 10．已知 ，，且 ，求 。 【答案】 【详解】由 设 ，由 得 ，故 （此时 也成立）。 11．已知 ，，求 的坐标与 。 【答案】， 【详解】，。 12．已知 ，，若 与 垂直，求 。 【答案】 【详解】，，由 得 。 学科网（北京）股份有限公司 $