第二章 专题01 直线的倾斜角与斜率专项训练（8大题型42题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题01 直线的倾斜角与斜率（8大题型42题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　直线的倾斜角与斜率的定义 第1—5题 5 题型二　由两点求斜率与倾斜角 第6—10题 5 题型三　由方向向量或法向量求倾斜角与斜率 第11—14题 4 题型四　倾斜角与斜率的变化关系及取值范围 第15—20题 6 题型五　直线与线段的相交关系求斜率范围 第21—26题 6 题型六　两条直线平行的判定与求参数 第27—32题 6 题型七　两条直线垂直的判定与求参数 第33—37题 5 题型八　平行与垂直的条件关系及综合应用 第38—42题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　直线的倾斜角与斜率的定义（共5小题） 【知识积累】 倾斜角：当直线 与 轴相交时，取 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；当直线 与 轴平行或重合时，规定 。 倾斜角的范围：（即 ）。 斜率：当 时， 的正切值叫做直线的斜率，；当 时，直线垂直于 轴，斜率不存在。 由方程看斜率：化为 后 的系数就是斜率； 形式的直线斜率不存在； 形式的直线斜率为 、倾斜角为 。 1．（单选题） （25-26高二上·陕西汉中·期中） 直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（单选题） （25-26高二下·浙江·期中） 对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 3．（填空题） （25-26高二下·上海·期中） 直线的倾斜角为______． 4．（单选题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（单选题） （25-26高二上·四川宜宾·期末） 直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 题型二　由两点求斜率与倾斜角（共5小题） 【知识积累】 过两点的斜率公式：经过 、 的直线，若 ，则 ；若 ，则斜率不存在。公式中两点上下、前后顺序可以互换。 由斜率判断倾斜角： 时 为锐角， 时 为钝角， 时 。 三点共线： 三点共线当且仅当 （或它们所在直线斜率都不存在）；含参时要检验斜率不存在的情形。 6．（解答题） （23-24高二上·河南南阳·阶段检测） 已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 7．（填空题） （25-26高二上·福建莆田·阶段检测） 已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 8．（单选题） （26-27高二上·宁夏·阶段检测） 直线经过点、，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 9．（单选题） （26-27高二上·河南南阳·开学考试） 已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 10．（填空题） （26-27高二上·福建三明·阶段检测） 若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 题型三　由方向向量或法向量求倾斜角与斜率（共4小题） 【知识积累】 方向向量：与直线平行（或重合）的非零向量都叫这条直线的方向向量；若方向向量为 ，则由 （）求斜率， 时斜率不存在。 法向量：与直线垂直的非零向量 叫直线的法向量；由法向量可取方向向量再求斜率；一般式 的系数 恰是一个法向量。 注意：方向向量不唯一，与它共线的向量都是方向向量，但对应的斜率相同；"一个方向向量"通常用于定斜率，不能直接当倾斜角。 11．（单选题） （25-26高二上·重庆·阶段检测） 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 12．（填空题） （25-26高二下·上海·期中） 若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 13．（单选题） （25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测） 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 14．（填空题） （26-27高二上·山东日照·阶段检测） 已知直线的一方向向量为，则直线的倾斜角为__________________． 题型四　倾斜角与斜率的变化关系及取值范围（共6小题） 【知识积累】 与 的对应：，。在 上 取遍 且随 增大而增大；在 上 取遍 且随 增大而增大； 时 不存在。 由 的范围求 的范围：必须以 为界分两段讨论，再把两段并起来；端点是否取到，看 的端点是否取到、以及对应的倾斜角是否等于特殊角。 含参数时：先由斜率定义（如 、）求出 的取值范围，再回到上面的分段结论；注意三角函数的取值与斜率不存在的情形要单独讨论。 15．（单选题） （25-26高二上·北京海淀·阶段检测） 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（单选题） （25-26高二上·辽宁大连·期中） 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（单选题） （25-26高二上·湖北孝感·期末） 直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（填空题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 19．（单选题） （25-26高二上·安徽淮北·期末） 直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（填空题） （25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测） 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 题型五　直线与线段的相交关系求斜率范围（共6小题） 【知识积累】 定点法：先找直线 恒过的定点 （把含参直线整理为过定点的形式），再算 与线段两端点 连线的斜率 、。 与线段有公共点的斜率范围：画出图形判断，结论是"两外侧区间"（ 或 ）还是"中间区间"（），取决于定点与线段所在直线的相对位置，不能只凭代数式猜。 回到倾斜角：得到 的范围后按题型四分段求 的范围；斜率不存在的竖直直线是否也满足要单独检验（它对应 ）。 21．（单选题） （25-26高二上·湖北孝感·期中） 若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（多选题） （25-26高二上·贵州安顺·阶段检测） 直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 23．（填空题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 24．（解答题） （25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中） 已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 25．（解答题） （24-25高二上·陕西安康·阶段检测） 已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 26．（单选题） （26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测） 已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六　两条直线平行的判定与求参数（共6小题） 【知识积累】 斜率都存在时： 且两直线不重合。 一般式判定： 与 ， 且 （若后式也为 则两直线重合）。 含参题必须代回检验：先由平行条件解出参数，再把参数代回看两直线是否重合（常见失分点）；本题型也常与"充分条件、必要条件"结合（详见题型八）。 27．（单选题） （25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测） 已知直线与平行，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D．1 28．（多选题） （25-26高二上·河北秦皇岛·期末） 已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 29．（单选题） （25-26高二上·广东深圳·期末） 已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 30．（解答题） （25-26高二上·北京·阶段检测） 当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 31．（单选题） （25-26高二上·江苏南通·期末） 已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 32．（单选题） （25-26高二上·安徽六安·期末） 已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 题型七　两条直线垂直的判定与求参数（共5小题） 【知识积累】 斜率都存在时：。 一般式判定：；它对斜率不存在的情形同样成立，做题时可直接用，避免漏讨论。 特殊情况：一条直线斜率不存在（垂直于 轴）、另一条斜率为 （平行于 轴）时，两直线也垂直；用一般式条件可以一次覆盖，用斜率乘积则必须先讨论。 33．（解答题） （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测） 已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 34．（单选题） （25-26高二上·山东济宁·阶段检测） 若直线和互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（单选题） （25-26高二上·四川巴中·期末） 若直线与垂直，则（   ） A．4 B．1 C．4 D．1 36．（单选题） （25-26高二上·山东济南·期末） 已知直线与垂直，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 37．（填空题） （25-26高二上·福建泉州·期末） 若直线与直线互相垂直，则实数的值_____. 题型八　平行与垂直的条件关系及综合应用（共5小题） 【知识积累】 判断" 是 的什么条件"：由 解出参数的所有取值构成集合，再看 对应的取值与它的关系——真子集是充分不必要，相等是充要，反之必要不充分，其余既不充分也不必要。 含参平行、垂直：解出参数后一定代回检验（平行要排除重合，垂直要覆盖斜率不存在）。 综合题：把倾斜角、斜率范围（题型四、五）与平行、垂直的条件放在一起时，先分区讨论，再取交集；选项型多选要逐项判断，错项多为"漏了斜率不存在"或"端点开闭错"。 38．（多选题） （25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中） 下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 39．（单选题） （25-26高二下·浙江·开学考试） 已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 40．（多选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知直线经过，，另有两点，，则（    ） A．倾斜角为0时， B．斜率不存在时， C．存在满足 D．时， 41．（单选题） （25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测） 已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 42．（解答题） （25-26高二上·安徽阜阳·期末） 已知两条直线. (1)若，求； (2)若，求的值. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题01 直线的倾斜角与斜率（8大题型42题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　直线的倾斜角与斜率的定义 第1—5题 5 题型二　由两点求斜率与倾斜角 第6—10题 5 题型三　由方向向量或法向量求倾斜角与斜率 第11—14题 4 题型四　倾斜角与斜率的变化关系及取值范围 第15—20题 6 题型五　直线与线段的相交关系求斜率范围 第21—26题 6 题型六　两条直线平行的判定与求参数 第27—32题 6 题型七　两条直线垂直的判定与求参数 第33—37题 5 题型八　平行与垂直的条件关系及综合应用 第38—42题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　直线的倾斜角与斜率的定义（共5小题） 【知识积累】 倾斜角：当直线 与 轴相交时，取 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；当直线 与 轴平行或重合时，规定 。 倾斜角的范围：（即 ）。 斜率：当 时， 的正切值叫做直线的斜率，；当 时，直线垂直于 轴，斜率不存在。 由方程看斜率：化为 后 的系数就是斜率； 形式的直线斜率不存在； 形式的直线斜率为 、倾斜角为 。 1．（单选题） （25-26高二上·陕西汉中·期中） 直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2．（单选题） （25-26高二下·浙江·期中） 对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【答案】B 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角，即可逐项判断. 【详解】直线，即为，所以斜率是，故A错误，B正确； 设直线的倾斜角为， 则，可得，所以倾斜角是，故CD错误. 3．（填空题） （25-26高二下·上海·期中） 直线的倾斜角为______． 【答案】 【详解】由可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因，故. 4．（单选题） （26-27高二上·天津·阶段检测） 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线倾斜角为， 直线的斜率，则． 5．（单选题） （25-26高二上·四川宜宾·期末） 直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【答案】B 【详解】的倾斜角为，斜率,故 题型二　由两点求斜率与倾斜角（共5小题） 【知识积累】 过两点的斜率公式：经过 、 的直线，若 ，则 ；若 ，则斜率不存在。公式中两点上下、前后顺序可以互换。 由斜率判断倾斜角： 时 为锐角， 时 为钝角， 时 。 三点共线： 三点共线当且仅当 （或它们所在直线斜率都不存在）；含参时要检验斜率不存在的情形。 6．（解答题） （23-24高二上·河南南阳·阶段检测） 已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【详解】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 7．（填空题） （25-26高二上·福建莆田·阶段检测） 已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为，所以， 即，所以. 8．（单选题） （26-27高二上·宁夏·阶段检测） 直线经过点、，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，则，由斜率公式可得，故. 9．（单选题） （26-27高二上·河南南阳·开学考试） 已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 10．（填空题） （26-27高二上·福建三明·阶段检测） 若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 【答案】 【详解】因为直线l经过，两点，所以直线l的斜率. 题型三　由方向向量或法向量求倾斜角与斜率（共4小题） 【知识积累】 方向向量：与直线平行（或重合）的非零向量都叫这条直线的方向向量；若方向向量为 ，则由 （）求斜率， 时斜率不存在。 法向量：与直线垂直的非零向量 叫直线的法向量；由法向量可取方向向量再求斜率；一般式 的系数 恰是一个法向量。 注意：方向向量不唯一，与它共线的向量都是方向向量，但对应的斜率相同；"一个方向向量"通常用于定斜率，不能直接当倾斜角。 11．（单选题） （25-26高二上·重庆·阶段检测） 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 12．（填空题） （25-26高二下·上海·期中） 若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 【答案】 【分析】利用直线的法向量与方向向量的关系，进而得直线的斜率，最后求得倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为， 可得直线的其中一个方向向量为， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，， 可得，所以． 13．（单选题） （25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测） 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线的一个方向向量为可得，又因为，所以. 14．（填空题） （26-27高二上·山东日照·阶段检测） 已知直线的一方向向量为，则直线的倾斜角为__________________． 【答案】 【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 已知直线的一方向向量为，所以直线的斜率， 所以，即. 题型四　倾斜角与斜率的变化关系及取值范围（共6小题） 【知识积累】 与 的对应：，。在 上 取遍 且随 增大而增大；在 上 取遍 且随 增大而增大； 时 不存在。 由 的范围求 的范围：必须以 为界分两段讨论，再把两段并起来；端点是否取到，看 的端点是否取到、以及对应的倾斜角是否等于特殊角。 含参数时：先由斜率定义（如 、）求出 的取值范围，再回到上面的分段结论；注意三角函数的取值与斜率不存在的情形要单独讨论。 15．（单选题） （25-26高二上·北京海淀·阶段检测） 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先充分性验证：通过举反例直接否定充分性; 必要性验证：设()，由推出，进而得. 【详解】直线的斜率(，且). 充分性，已知，设，，则，，，，则充分性不成立. 必要性，由可知，异号，设： ，则； ，令()，则. 已知，代入得， 即. 因为正切函数在上单调递增， 所以，所以， 又因为，所以，代入得 化简得，所以， 必要性成立. 故选：B 16．（单选题） （25-26高二上·辽宁大连·期中） 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的法向量得到直线的方向向量，进而求得直线的斜率，利用斜率与 倾斜角的关系求范围. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 17．（单选题） （25-26高二上·湖北孝感·期末） 直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 18．（填空题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【答案】 【详解】已知，， 当时，单调递增； 则； 当时，单调递增； 故； 综上可得，斜率k的取值范围是． 19．（单选题） （25-26高二上·安徽淮北·期末） 直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 20．（填空题） （25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测） 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 题型五　直线与线段的相交关系求斜率范围（共6小题） 【知识积累】 定点法：先找直线 恒过的定点 （把含参直线整理为过定点的形式），再算 与线段两端点 连线的斜率 、。 与线段有公共点的斜率范围：画出图形判断，结论是"两外侧区间"（ 或 ）还是"中间区间"（），取决于定点与线段所在直线的相对位置，不能只凭代数式猜。 回到倾斜角：得到 的范围后按题型四分段求 的范围；斜率不存在的竖直直线是否也满足要单独检验（它对应 ）。 21．（单选题） （25-26高二上·湖北孝感·期中） 若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 22．（多选题） （25-26高二上·贵州安顺·阶段检测） 直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】ACD 【分析】分别求得的斜率，然后结合图形及斜率变化关系求解斜率范围，结合选项即可判断. 【详解】如图    当直线l过点B时，设直线的斜率为，则； 当直线l过点A时，设直线的斜率为，则. 故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，. 故选：ACD 23．（填空题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 【答案】 【分析】直线 过 且与线段 总有公共点，等价于 夹在射线 与 之间（经过指向线段的方向），先求两条边界直线的斜率，再结合 的变化关系得两空的范围. 【详解】，. 直线 与线段 有公共点时， 夹在直线 与 之间，所以 ，即 的取值范围是 . 因为 （），当 时，； 当 时，； 当 时，直线 与线段 无公共点， 所以 的取值范围是 . 24．（解答题） （25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中） 已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 25．（解答题） （24-25高二上·陕西安康·阶段检测） 已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 26．（单选题） （26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测） 已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先计算直线AB、AC的斜率，结合图形得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合斜率不存在的特殊情况得到倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由, 当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件; 综上，倾斜角的取值范围为. 题型六　两条直线平行的判定与求参数（共6小题） 【知识积累】 斜率都存在时： 且两直线不重合。 一般式判定： 与 ， 且 （若后式也为 则两直线重合）。 含参题必须代回检验：先由平行条件解出参数，再把参数代回看两直线是否重合（常见失分点）；本题型也常与"充分条件、必要条件"结合（详见题型八）。 27．（单选题） （25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测） 已知直线与平行，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据平行得到，且，消元得到，求出最小值，检验后得到答案. 【详解】因为两条直线平行，两直线平行的充要条件是，即且. 所以， 即当，，时取得最小值，为， 此时直线与平行，满足要求. 故选：A 28．（多选题） （25-26高二上·河北秦皇岛·期末） 已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 29．（单选题） （25-26高二上·广东深圳·期末） 已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】由两直线平行的条件计算． 【详解】由题意，， 时，方程是，的方程是，平行； 时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去， 故选：A. 30．（解答题） （25-26高二上·北京·阶段检测） 当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【详解】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 31．（单选题） （25-26高二上·江苏南通·期末） 已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【详解】因为已知直线，且 ， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足 . 故选：B 32．（单选题） （25-26高二上·安徽六安·期末） 已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用两直线平行时，斜率间的关系可求答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：B 题型七　两条直线垂直的判定与求参数（共5小题） 【知识积累】 斜率都存在时：。 一般式判定：；它对斜率不存在的情形同样成立，做题时可直接用，避免漏讨论。 特殊情况：一条直线斜率不存在（垂直于 轴）、另一条斜率为 （平行于 轴）时，两直线也垂直；用一般式条件可以一次覆盖，用斜率乘积则必须先讨论。 33．（解答题） （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测） 已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【详解】（1），， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. （2）当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 34．（单选题） （25-26高二上·山东济宁·阶段检测） 若直线和互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用两直线垂直，它们的斜率乘积为，即可求解. 【详解】由直线和互相垂直，可得：， 解得：， 故选：D. 35．（单选题） （25-26高二上·四川巴中·期末） 若直线与垂直，则（   ） A．4 B．1 C．4 D．1 【答案】B 【分析】利用两直线垂直斜率之积为，列方程求解即可. 【详解】时，不合题意，则时， 直线与直线的斜率分别为， 因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B. 36．（单选题） （25-26高二上·山东济南·期末） 已知直线与垂直，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用两条直线垂直的公式求解. 【详解】将直线化为， 直线与垂直， ，. 故选：C. 37．（填空题） （25-26高二上·福建泉州·期末） 若直线与直线互相垂直，则实数的值_____. 【答案】0或 【分析】直接由两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】由直线与直线互相垂直， 所以，，解得或. 故答案为：0或 题型八　平行与垂直的条件关系及综合应用（共5小题） 【知识积累】 判断" 是 的什么条件"：由 解出参数的所有取值构成集合，再看 对应的取值与它的关系——真子集是充分不必要，相等是充要，反之必要不充分，其余既不充分也不必要。 含参平行、垂直：解出参数后一定代回检验（平行要排除重合，垂直要覆盖斜率不存在）。 综合题：把倾斜角、斜率范围（题型四、五）与平行、垂直的条件放在一起时，先分区讨论，再取交集；选项型多选要逐项判断，错项多为"漏了斜率不存在"或"端点开闭错"。 38．（多选题） （25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中） 下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于C：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于B：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C错误； 对于选项D：如图所示：    可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BD. 39．（单选题） （25-26高二下·浙江·开学考试） 已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或. 当时，，满足平行条件. 当时，，满足平行条件. 所以，两直线平行时或. 因此是的充分不必要条件. 40．（多选题） （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 已知直线经过，，另有两点，，则（    ） A．倾斜角为0时， B．斜率不存在时， C．存在满足 D．时， 【答案】BD 【详解】选项 A：直线经过，，倾斜角为时，得直线的斜率，，，得，A 错误； 选项 B：直线经过，，斜率不存在时，则两点的横坐标相等，即， B 正确； 选项 C：由，得，若，则，所以，得，方程无解，故不存在这样的，C 错误； 选项 D：时，得，所以，得，此时，符合题意，D 正确. 41．（单选题） （25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测） 已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 42．（解答题） （25-26高二上·安徽阜阳·期末） 已知两条直线. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直可得； （2）利用两直线平行可求得，再排除重合的情况即可. 【详解】（1）若，得，解得. （2）由，得，解得， 因为，所以或，此时直线与的纵截距分别为和. 因为当时，，此时两直线重合， 因为当时，，此时， 故. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $