斜率与倾斜角的关系、直线与线段的相交求斜率、由直线位置关系求参数问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

斜率与倾斜角的关系、直线与线段的相交求斜率、由直线位置关系求参数问题专项训练 斜率与倾斜角的关系、直线与线段的相交求斜率、由直线位置关系求参数问题专项训练 考点目录 斜率与倾斜角的关系 直线与线段的相交求斜率 由直线位置关系求参数问题 考点一 斜率与倾斜角的关系 例1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线经过求直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【详解】直线PQ的斜率， 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：B 例2．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 例3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【答案】 【详解】已知，， 当时，单调递增； 则； 当时，单调递增； 故； 综上可得，斜率k的取值范围是． 例4．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 变式1．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，可得倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解． 【详解】当时，直线的方程为，此时倾斜角， 当时，由直线方程可得斜率， 因为且， 所以，即， 又，所以， 综上， 故选：D 变式2．（25-26高二上·四川成都·期末）下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各直线的方程求出其斜率，进而求得其倾斜角后比较即得. 【详解】对于A，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于B，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于C，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于D，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为. 因，故倾斜角最大的直线为. 故选：D. 变式3．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，的方向向量是，此时直线倾斜角； 当时，，结合且， 当时，；当时，； 即，则， 综合可得直线的倾斜角的取值范围是. 变式4．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 考点二 直线与线段的相交求斜率 例1．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由顺时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴顺时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.    例2．（25-26高二上·湖北孝感·期中）若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 例3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【详解】因为直线，所以 令，解得，故直线恒过点，直线的斜率为,    则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或，即 故答案为： 例4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知，直线过原点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】画出图形，求出，，数形结合得到直线l的斜率的取值范围. 【详解】如图，当直线l分别经过A，B时为临界情况，又，， 当直线从OB位置逆时针转动到OA位置时，由倾斜角和斜率的关系可知．    故答案为：. 变式1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简直线为，得到直线恒过定点，求得，结合图象，即可求解. 【详解】由直线，可得， 又由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点， 因为，可得， 如图所示，若直线与线段相交（不包含端点），则， 即直线斜率的取值范围为. 故选：B. 变式2．（25-26高二上·浙江·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】结合图象，分析直线从逆时针旋转到的过程中，斜率的变化情况，再分别求出和，即可得解. 【详解】 如图所示，直线绕着点旋转且与线段有交点. 直线从逆时针旋转到与轴平行的过程中，斜率从逐渐增大到正无穷大； 直线从与轴平行逆时针旋转到的过程中，，斜率从负无穷大增大到. 因为，， 所以直线的斜率的取值范围为或. 故选：C 变式3．（26-27高二上·广东深圳·开学考试）已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 变式4．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知点，过点的直线与线段AB相交，则的斜率的取值范围为______． 【答案】或. 【分析】求出，结合图象可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】， 如图， 由图象知，过点的直线与线段AB相交， 则的斜率或. 故答案为：或. 考点三 由直线位置关系求参数问题 例1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若直线与直线平行，则（    ） A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3 【答案】A 【分析】根据两直线平行的条件计算参数即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或. 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不满足题意， 所以. 故选：A. 例2．（25-26高二上·北京东城·期末）已知直线，直线，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式，进而计算即可求解. 【详解】若，则，解得. 故选：C 例3．（25-26高二上·河北唐山·期中）设直线：，直线：．若，则_____． 【答案】 【分析】根据两直线垂直的条件，利用两直线垂直的一般式公式构造方程求解． 【详解】，直线，直线， ，解得． 故答案为：． 例4．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知直线直线，当___________时，；当___________时，． 【答案】 【分析】根据直线垂直、平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】； ，解得或； 当时，直线与的方程均为，两直线重合. 所以 故答案为：； 变式1．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】B 【分析】根据两条直线平行系数关系列式计算求解参数. 【详解】直线，直线， 由，得，即，即，解得或. 当时，两直线重合，舍去. 当时，满足平行且不重合. 故选:B. 变式2．（25-26高二上·吉林长春·期末）若直线平行于直线，且垂直于直线：，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行的性质，结合两条互相垂直直线斜率之间的关系进行求解即可. 【详解】因为直线平行于直线，且垂直于直线：， 所以直线垂直于直线： 因此有. 故选：C 变式3．（25-26高二上·云南·期中）若直线与垂直，则_______． 【答案】0 【分析】根据两直线垂直的结论求. 【详解】直线与垂直， 可得，解得． 故答案为：0 变式4．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则___________． 【答案】 【分析】首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】设为原点，直线与坐标轴分别交于点，当时，记的交点为，直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，该四边形对角互补，有外接圆，因为斜率为，所以斜率为，所以； 当与轴的交点为时直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 若该四边形有外接圆，则，所以， 此时的斜率为，方程为，即，此时，符合题意，． 综上得，． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $斜率与倾斜角的关系、直线与线段的相交求斜率、由直线位置关系求参数问题专项训练 斜率与倾斜角的关系、直线与线段的相交求斜率、由直线位置关系求参数问题专项训练 考点目录 斜率与倾斜角的关系 直线与线段的相交求斜率 由直线位置关系求参数问题 考点一 斜率与倾斜角的关系 例1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 例4．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 变式1．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·四川成都·期末）下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是______． 变式4．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 考点二 直线与线段的相交求斜率 例1．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·湖北孝感·期中）若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 例4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知，直线过原点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________. 变式1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·浙江·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C．或 D． 变式3．（26-27高二上·广东深圳·开学考试）已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 变式4．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知点，过点的直线与线段AB相交，则的斜率的取值范围为______． 考点三 由直线位置关系求参数问题 例1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若直线与直线平行，则（    ） A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3 例2．（25-26高二上·北京东城·期末）已知直线，直线，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 例3．（25-26高二上·河北唐山·期中）设直线：，直线：．若，则_____． 例4．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知直线直线，当___________时，；当___________时，． 变式1．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 变式2．（25-26高二上·吉林长春·期末）若直线平行于直线，且垂直于直线：，则（   ） A． B． C．6 D． 变式3．（25-26高二上·云南·期中）若直线与垂直，则_______． 变式4．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $