专题01 空间向量与立体几何专项训练（12大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量与立体几何十二大题型突破 【题型 1 空间向量的线性运算、数量积、坐标运算】 【题型 2 空间共点、共线、共面问题（向量证明）】 【题型 3 空间直角坐标系、投影、对称点坐标】 【题型 4 求直线方向向量、平面法向量（基础 + 含参数）】 【题型 5 向量法证明空间线面平行、垂直关系】 【题型 6 异面直线所成角】 【题型 7 直线与平面所成角】 【题型 8 二面角（锐角 / 钝角、无棱二面角、二面角最值）】 【题型 9 空间距离：点点、点线、点面、线面、平行平面距离】 【题型 10 向量与几何体体积、表面积综合】 【题型 11 立体几何综合：动点探索性、存在性问题】 【题型 12 翻折问题、动点轨迹、角度距离最值综合】 1. 空间向量坐标基本运算（必考基础） 设空间向量 ① 加减运算： ② 数乘运算： ③ 数量积（点乘）： 2. 向量模长与夹角公式（立几计算核心） ① 模长公式： ② 夹角余弦公式： 3. 平行、垂直坐标判定 ① 向量平行（共线）： 即： ② 向量垂直： 即： 4. 平面法向量速求模板（立体大题核心工具） 已知平面内两个不共线向量 ，平面法向量为 满足方程组： 速算技巧：解方程赋值法，令其中一个未知数为1，快速求出最简法向量 5. 立体几何标准建系规则（大题满分第一步） 预习仅限规则几何体：长方体、直棱柱、正棱柱、直棱锥（垂直底面型） 建系核心原则：寻找三条两两垂直且交于一点的棱，分别作为x、y、z轴 书写模板：以底面某顶点为原点，某棱为x轴，底面垂直棱为y轴，竖直高为z轴，建立空间直角坐标系。 6. 空间向量证明平行、垂直（必考证明题型） 设直线方向向量为 ，平面法向量为 （1）线面平行证明：证明 （），且直线不在平面内 （2）线面垂直证明：证明 （方向向量与法向量共线） （3）面面垂直证明：找两个平面法向量 ，证明 7 三大空间角计算公式 （1）异面直线所成角 （2）线面角 （3）二面角 正负判断：看图判断二面角为锐角/钝角（预习直观判断法） 8. 点到平面距离公式（基础送分） 点 ，平面内任意一点 ，平面法向量 【题型 1 空间向量的线性运算、数量积、坐标运算】 【例1】．已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； （2） . 【变式1-1】已知向量的夹角的余弦值为，则________ 【答案】 【分析】先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】由题意可得， 所以． 故答案为：. 【变式1-2】已知向量，则__________． 【答案】21 【分析】根据空间向量坐标运算求解即可. 【详解】因为，则. 故答案为：21 【题型 2 空间共点、共线、共面问题（向量证明）】 【例2】如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】 取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】略 【变式2-1】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明:连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． (3)证明:连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 【分析】（1）根据向量加法计算表示即可； （2）应用得出四点共面； （3）计算得出且得出三点共线. 【详解】（1）依题意可得，    （2）略； （3）略. 【变式2-2】如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【答案】共线 【分析】根据空间向量的线性运算法则，化简得到，即可得到结论. 【详解】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 【题型 3 空间直角坐标系、投影、对称点坐标】 【例3】已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 【变式3-1】已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量在向量上的投影向量为. 【变式3-2】已知，，则在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在上的投影向量坐标，再求其关于xOz平面对称的向量，即得答案. 【详解】由题意知，，则， 则在上的投影向量为， 故在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为， 故选：C 【变式3-3】在空间直角坐标系中，点关于xOz平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点关于xOz平面的对称点坐标为求解. 【详解】点关于xOz平面的对称点坐标为. 故选：B. 【题型 4 求直线方向向量、平面法向量（基础 + 含参数）】 【例4】在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用平面法向量的定义求解即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，平面一般式为(不同时为)， 其一个法向量为， 因为平面方程为，所以其一个法向量为， 与平行的非零向量都是该平面的法向量. 故答案为：（答案不唯一） 【变式4-1】已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，写出平面的一个法向量______（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用直线与平面平行时直线的方向向量与平面的法向量垂直这一性质来求解. 【详解】已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为， 因为直线平面，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直. 根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为，则. 可得，即，移项得到. 为了得到平面的一个法向量，我们可以给赋值. 不妨令，将代入，可得. 所以平面的一个法向量可以是. 故答案为：（答案不唯一） 【变式4-2】已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】问题转化为求的值. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：A 【题型 5 向量法证明空间线面平行、垂直关系】 【例5】在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； 【答案】(1) 设正方体的边长为2， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， ， 所以，又，平面 所以平面. (2) 由（1）可得，所以， 又由（1）可得平面的一个法向量为， 可得，所以， 又因为平面，所以平面． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法可证平面； （2）由（1）可求得平面的一个法向量，利用向量法可证平面. 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，证，即得平面； （2）由勾股定理证得，即可推得平面； 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明如下： 如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． (2)证明如下： 由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）略 （2）略 【题型 6 异面直线所成角】 【例6】在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点O，中点，连接，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可． 【详解】取中点O，中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则 【变式6-1】如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形的边长为1，则侧棱,利用余弦定理及勾股定理可得，，由向量的线性运算可得,,求出两向量的数量积，再由向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方形的边长为1，则侧棱， 在中，由余弦定理可得: ， 所以， 在中，， 又因为，, 所以 ， 设异面直线与所成角为， 则. 【变式6-2】如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 【题型 7 直线与平面所成角】 【例7】．把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，求得向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由四边形为正方形，且为正方形的中心，所以， 正方形纸片沿对角线折成直二面角，可得平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 因为，分别为和的中点，可得，， 所以，且， 可得，且 设异面直线与的夹角为，则， 所以异面直线与夹角的余弦值为. （2）因为平面，即轴与平面垂直， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知：向量， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式7-1】如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． (2) 【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 【变式7-2】如图，四棱锥中，底面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)在中，， 由余弦定理得， 所以，故， 所以为直角三角形，且， 又因为面，平面，所以 又因为，且，平面， 所以面，平面， 所以， 又因为、、平面，所以 又因为平面平面，所以平面 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，进而得到，然后利用线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）略 （2）因为平面，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则 设为面的一个法向量， ，故， 令，解得， 记与面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【题型 8 二面角（锐角 / 钝角、无棱二面角、二面角最值）】 【例8】如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． (1)求证：平面⊥平面． (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为四边形为矩形，所以． 因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面． 又平面，所以， 又，所以，且平面， 所以⊥平面． 因为平面，所以平面⊥平面． (2) 【分析】（1）由条件得到平面，进而得到，再结合，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为四边形为矩形，四边形为梯形，，所以． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴， 又平面．过点作的平行线为轴，如图： 因为，，，所以， 在梯形中，取的中点，连接， 因为，，为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因为，所以四边形为矩形，则， 所以， 所以点， 则， 设平面的一个法向量为， 则 令，得，所以． 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，所以． 所以， 由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为 【变式8-1】如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面是SD的中点.    (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1) 连接BD，设AC与BD交于点，连接PO． ∵底面ABCD是正方形， 为BD的中点，又为SD的中点，，   平面平面平面PAC． (2) 底面， 又，，且两直线在平面内， 平面SAC， 又平面． (3)． 【分析】（1）构造中位线证明线线平行，进而证线面平行； （2）先证平面SAC，即可证得线线垂直； （3） 分别求平面与平面的法向量，利用法向量夹角公式求二面角余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以为原点，以AB为轴，AD为轴，AS为轴，建立空间直角坐标系， 设，则． ，    设是平面PAC的一个法向量， 则由，得，令， ． 又是平面PAD的一个法向量．   设二面角的平面角为，由图可知为锐角，   . 即二面角的余弦值为． 【变式8-2】如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，，．    (1)证明：平面； (2)设，当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1) 因为，与无公共点，故， 因为平面，平面，所以平面. 因为四边形 是正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面. (2) 【分析】（1）先根据题设条件分别证明和，再由面面平行的判定定理证得平面平面，最后利用面面平行的性质即得； （2）由题意建系，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取. 则， 由图知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.      【题型 9 空间距离：点点、点线、点面、线面、平行平面距离】 【例9】已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 【变式9-1】如图，在长方体中，，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间坐标系，求出异面直线与的点的坐标，利用异面直线之间夹角公式求解两条异面直线所成角的余弦值. (2)先求出与两条直线之间的夹角，再利用向量法求解点到直线的距离. 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由题意得，，，，. ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，又， 所以，， 设点到直线的距离为，则 . 【变式9-2】如图，四棱锥中，平面，底面为菱形，点为棱的中点，，连接． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明: 连接交于点，再连接，因为底面为菱形， 所以，又因为点为棱的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面； (2)证明: 因为平面平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 又因为平面， 所以平面； (3) 【分析】（1）连接底面菱形的对角线交点与点，利用菱形对角线互相平分得到为中点，结合为中点，在三角形中构造中位线，证明，再根据线面平行的判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线）即可得证； （2）由底面得；由菱形性质得对角线；利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （3）利用第（1）问已证的平面，将直线到平面的距离转化为直线上任一点（常取）到该平面的距离；通过几何关系或余弦定理求三角形各边长度，利用海伦公式或底高法求出其面积；再以三棱锥为桥梁，分别用两种方式（以为底、一半为高；以为底、到面距离为高）表达体积，建立等式解出距离. 【详解】（1）略； （2）略； （3）因为平面 所以直线到平面的距离为到面距离 由题可求出，，， 设点到平面距离为， ， 又因为所以 【变式9-3】如图，在正三棱柱中，是棱的中点． (1)证明：； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明⊥平面，再利用线面垂直的性质定理可得证； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离. 【题型 10 向量与几何体体积、表面积综合】 【例10】在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 【变式10-1】如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点． (1)求三棱锥的体积． (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，利用等体积法计算即可得出结果； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，所以. 所以. （2）以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 【点睛】 【变式10-2】如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点. (1)证明，并求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离和三棱锥的体积. 【答案】(1) 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. 由上可知，，，故，故. 点到直线的距离为 (2)， 【分析】（1）建系，通过，可得，再由点到直线的距离公式求解点到直线的距离； （2）由点到面的距离公式求解，再由等体积法求体积. 【详解】（1）证明略. ，设点到直线的距离为， 又，，， ， 则点到直线的距离为. （2）设平面的法向量为，由（1）可知，，， 则即, 令，则，所以. 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为. 又， 即三棱锥的体积为 【变式10-3】如图，在三棱锥中，平面与平面互相垂直，且，．求：    (1)所在直线和平面所成角的大小； (2)二面角的正弦值； (3)三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)． (2)． (3) 【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得平面，确定为所求的角，解三角形即可； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可； （3）法一：如图，确定为外接球的半径，根据正弦定理求出、外接圆的半径，利用勾股定理和球的表面积公式计算即可求解；法二：设外接球的球心，外接球半径为，根据和计算即可求解. 【详解】（1）如图，在平面内过点作垂直于的延长线于点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面，    所以平面，故为直线与平面所成角． 因为，， 则，， 所以与全等，则， 故在中，， 所以直线与平面所成角大小为． （2）由（1）可知平面，以点为原点， ，，的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 显然为平面的一个法向量， 设平面的法向量， 因为，， 则，即， 令，则，，． 所以，设二面角为， 则． 二面角的正弦值为． （3）方法一：设，分别是和的外接圆圆心． 过作面的垂线，过作面的垂线，两条垂线的交点即为外接球球心． 设外接圆的半径为，则，得， 同理外接圆的半径．过作于， 则为的中点，， 则球的半径， 所以三棱锥外接球表面积．    方法二：由（1）可知平面，以点为原点， ，，的方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 设三棱锥的外接球球心为，设，外接球半径为， 则，得， 解得，， 所以外接球表面积 【题型 11 立体几何综合：动点探索性、存在性问题】 【例11】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点. (1)证明：平面； (2)已知线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，求到直线的距离. 【答案】(1) 记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质定理可得，即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值确定点的位置，再由空间中点到直线距离的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直. 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和， 则，令，得. ，令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此，， 所以到直线的距离为. 【变式11-1】已知三棱柱中，. (1)求证: 平面平面. (2)若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 在三棱柱中，四边形是平行四边形， 而，则是菱形，连接，如图， 则有，因，，平面， 于是得平面， 而平面，则， 由得，，平面， 从而得平面，又平面， 所以平面平面. (2)在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点. 【分析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答. (2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答. 【详解】（1）略 （2）在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面， 则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图， 因，， 则， 假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为， 则有， 设平面的一个法向量， 则有， 令得，而平面的一个法向量， 依题意， ，化简整理得： 而，解得， 所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为. 【变式11-2】图1是直角梯形 ，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：在图1中取中点，连接， 四边形为矩形，， .又为等边三角形. 又为等边三角形. 在图2中，取中点，连接， AI 为等边三角形，， .又， . 又平面平面ABED. 平面， 所以平面平面. (2)存在， 【分析】（1）根据直角梯形性质以及各边长由勾股定理以及折叠规则，利用面面垂直判定定理即可证明得出结论； （2）建立空间坐标系并设，求得点到平面的距离关于的表达式，解方程可得，此时二面角的大小为. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    则， ， 设棱上存在点且满足题意， 即解得即， 则. 设平面的法向量， 则 令，则，可得； 即到平面的距离为 ，解得， ，又平面的一个法向量， 又二面角为锐二面角，二面角的大小为. 【题型 12 翻折问题、动点轨迹、角度距离最值综合】 【例12】如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：取中点为，连接交于点， 由于，，，所以四边形是菱形， 则，又因为四边形是平行四边形，则，故， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）利用菱形的对角线垂直，再结合平行关系和已知的面面垂直，即可证明线面垂直； （2）利用空间向量法，假设三个坐标参数，再利用三个相等关系求解参数，然后求两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2） 由可得：， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，再由平面，平面，故， 如图建系，可设， 由，可得①， 由，因，则②， 再由异面直线与所成角的余弦值为及， 可得：，解得， 将其代入①，②式可得：， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由图可得平面的法向量为， ， 则平面与平面所成角的余弦值是. 【变式12-1】如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 【变式12-2】如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．    (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 证明：连接，因为四边形为等腰梯形， 所以，, 又为中点，，， 所以四边形为平行四边形，则，，即， 因为，所以为等边三角形，即为等边三角形， 又为的中点，所以，则， 又，所以，即， 因为，且平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接，结合题意可得，进而得到为等边三角形，进而得到，，从而求证； （2）结合题设可得，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，为等边三角形，， 所以，则， 在中，，则， 又，所以，则， 因为平面，， 所以平面， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为． 【变式12-3】如图，在四边形中，于交点 ，.沿将翻折到的位置，使得二面角的大小为. (1)证明：平面平面； (2)在线段上（不含端点）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为，所以，平面,平面, 又因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2)存在，为上靠近点的三等分点. 【分析】（1）先由题设条件证线面垂直，进而可证面面垂直. （2）由已知条件建立空间直角坐标系，通过三点共线设出点的坐标，然后求出二面角对应的两个平面的法向量，再通过二面角的余弦值的绝对值等于其法向量所成角的余弦值的绝对值求解. 【详解】（1）略 （2）过作，因为平面，所以， 因为，平面,平面 所以平面， 如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴， 与过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为，所以二面角的平面角为，即 则，，. 设， 则. 设是平面的一个法向量， 则，取 因为是平面的一个法向量. 所以，解得或（舍）. 所以为上靠近点的三等分点，即. 故：存在点为上靠近点的三等分点满足条件. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01空间向量与立体几何十二大题型突破 题型归纳 【题型1空间向量的线性运算、数量积、坐标运算】 【题型2空间共点、共线、共面问题（向量证明)】 【题型3空间直角坐标系、投影、对称点坐标】 【题型4求直线方向向量、平面法向量（基础+含参数）】 【题型5向量法证明空间线面平行、垂直关系】 【题型6异面直线所成角】 【题型7直线与平面所成角】 【题型8二面角（锐角/钝角、无棱二面角、二面角最值）】 【题型9空间距离：点·点、点-线、点-面、线-面、平行平面距离】 【题型10向量与几何体体积、表面积综合】 【题型11立体几何综合：动点探索性、存在性问题】 【题型12翻折问题、动点轨迹、角度距离最值综合】 第1页共20页 知识梳理 1.空间向量坐标基本运算（必考基础） 设空间向量a=(X1,y1,z1),b=(X2,y2,22) ①加减运算：a±b=(X1±X2,y1±y2,Z1±Z2 ②数乘运算：入a=（入X1,入y1,入Z1 ③数量积（点乘）：a·b=x1X2+y1y2+Z1Z2 2.向量模长与夹角公式（立几计算核心】 ①模长公式：1al=VX+y听+Z ②夹角余弦公式： aab8的 3.平行、垂直坐标判定 ①向量平行（共线）：a‖b台a=入b 即：X1=1X2,y1=1y2,Z1=1z2 ②向量垂直：a⊥b%a·b=0 即：X1X2+y1y2+z1Z2=0 4.平面法向量速求模板（立体大题核心工具） 已知平面内两个不共线向量a,b,平面法向量为n=(x,y,z) 满足方程组： n·a=0 n·b=0 速算技巧：解方程赋值法，令其中一个未知数为1，快速求出最简法向量 5.立体几何标准建系规则（大题满分第一步） 第2页共20页 预习仅限规则几何体：长方体、直棱柱、正棱柱、直棱锥（垂直底面型） 建系核心原则：寻找三条两两垂直且交于一点的棱，分别作为x、y、z轴 书写模板：以底面某顶点为原点，某棱为×轴，底面垂直棱为y轴，竖直高为z轴，建立空间直角坐标 系。 6.空间向量证明平行、垂直（必考证明题型） 设直线方向向量为s,平面法向量为n (1)线面平行证明：证明s⊥n(s·n=0),且直线不在平面内 (2)线面垂直证明：证明sn(方向向量与法向量共线) (3)面面垂直证明：找两个平面法向量n1,n2,证明n1'n2=0 7三大空间角计算公式 (1)异面直线所成角9∈(0,90'] c0s0=|cos(s1,S2川= s1's2l slsl (2)线面角0∈[0,90°] sin 0=lcos (s,n)s:nl Isnl (3)二面角0∈[0,180] Icos 01=In'n2l Inil'Inl 正负判断：看图判断二面角为锐角钝角（预习直观判断法） 8.点到平面距离公式（基础送分）】 点P,平面内任意一点A,平面法向量n 第3页共20页 d=AP.nl n 【题型1空间向量的线性运算、数量积、坐标运算】 昌目例1】.已知a16&卓后6的夹角都60并里a=16=21心=3计 3a-2-(6-3c la+26- 【变式11】已知向量ā，6的夹角的余弦值为}，=2,6=4，则a-6-a动= 【变式1-2】已知向量à=2，-3,1,6=2,03}则a-ā+ 【题型2空间共点、共线、共面问题（向量证明)】 【例2】如图，已知平行六面体ABCD-ABCD,E,F,G,H分别是棱AD,CD,CC和 AB的中点，求证：E,F,G,H四点共面 G D 【变式2-1】如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F,M分别为棱BB,DD1,BC1的中点， 第4页共20页 AN=2NC, D M B C N. E -------D A B ()试用范，AD,AA表示A正，A正 (2)证明：A,E,F,C1四点共面. (3)证明：M,N,D三点共线. 【变式2-2】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是C1D1,AB的中点，E在AA1上 且AE=2EA,F在CC1上且CF=FC1,判断ME与NT是否共线？ D B D C 【题型3空间直角坐标系、投影、对称点坐标】 第5页共20页 昌目【例3】己知响=-1，-221,6=30，-1则向量：在向量。+6上的投影向量的坐标为 a+b () A学台号 8(-25号 c99 D.(8-84、 g’-9'9 【变式3-1】已知空间向量 =2,-1,2b=1,1,1' 则向量，在向量上的投影向量为() A. 2-12 2-12 99’9 B. 333 c.2,-1,2 D.1,1,1 【变式3-2】已知ā=22,1'方=1,10：则a在方上的投影向量的坐标关于x0:平面对称的向量坐标为 () A.-1,1,0 B.-2,-2,0 c.2,-2,0 D.-2,-2,1 【变式33】在空间直角坐标系中，点(1,2,3)关于xOz平面的对称点坐标为() A.（-1,-2,-3）B.(1,-2,3 C.(1,-2,-3) D.（1,2,-3 【题型4求直线方向向量、平面法向量（基础+含参数）】 例4】在空间直角坐标系Ox2中，平面x+y-1=0的一个法向量为 【变式4-1】已知直线l的一个方向向量为-1,1,2，平面a的法向量为x,1,y,若直线1/平面Q,写出平 面a的一个法向量 (答案不唯一) 【变式4-2】已知直线l的一个方向向量为7=-1,2，-2，平面a的一个法向量为n=x,-1,1,且l⊥(， 则x的值为() A C.4 D.-4 明 第6页共20页 【题型5向量法证明空间线面平行、垂直关系】 【例5】在正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别是底面ABCD和侧面BCCB的中心. 求证： ACL平面A A BD (2)EF∥平面ABD: 【变式5-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 PD=a,PA=PC=2a,E是PC的中点， P D (1)求证：PA/平面BDE:, (2)求证：PD⊥平面ABCD: 【变式5-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB‖DC,DA⊥AB,AB=AP=2, DA=DC=1,E为PC上一点，且PE=PC.(请用空间向量法予以证明) 3 第7页共20页 (1)求证：AE⊥平面PBC: (2)求证：PA/平面BDE. 【题型6异面直线所成角】 【例6】在正三棱柱ABC-A1B,C1中，己知AB=3BB1,则异面直线AC1与B,C所成角的余 弦值为( 2 B. 8 c D.4 【变式6-1】如图，在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD为正方形， ∠A,AB=∠A,AD-骨枝AA1=2AB,B,E=吉B,C则异面直线BA,与D,E所成角的余弦值 为() D B D C B 2V39 V39 c.-239 V39 B. D. 39 39 39 13 第8页共20页 【变式6-2】如图，在平行六面体ABCD-ABCD中， AB=AD=4,AA=6,∠BAD=90,∠BAA=∠DAA=60,则AC与A范的夹角的余弦 值为() D' B C B A. 7V13 7只19 7V23 B. C. 7V29 D. 26 38 46 58 直线与平面所成角】 【例7】.把边长为2的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E,F分别为AD,BC的 中点，O是原正方形ABCD的中心. D E (1)求EF与CD的夹角的余弦值： (2)求EF与平面ABC所成角的正弦值. 【变式7-1】如图，在△PAO中，PO⊥OA,PO=2OA将△PAO绕边PO旋转到△PBO的位置，使 ∠AOB=120°，点C为AB中点. 第9页共20页 二二B 7< (1)证明：PC⊥AB: (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【变式7-2】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,AD=BC=1, ∠ACB=60°，AD⊥PB. D B (1)证明：BC∥平面PAD: (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值。 8二面角（锐角/钝角、无棱二面角、二面角最值）】 【例8】如图，平面ABCD⊥平面ADEF,其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形， AF=2DE'AF.EF=0'AF=AD=4 第10页共20页 (1)求证：平面ADEF⊥平面ABF. (2)若AB=2V3,求二面角C-BD-F的余弦值. 【变式8-1】如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD,SA=2AB,P是SD 的中点 D B (1)证明：BS//平面PAC: (2)证明：CS⊥BD; (3)求二面角D-AP-C的余弦值. 【变式8-2】如图所示，已知多面体ABCDEP中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,DE=λAP, 入>0. 第11页共20页 D (1)证明：CE/平面PAB: 2设AB=AP=2,当入=时，求=面角B-PC-E的余弦伯， 【题型9空间距离：点·点、点·线、点·面、线·面、平行平面距离】 目【例9】己知正方体ABCD-A1B,C,D,的棱长为2，E,F分别为正方体的楼BC,CD,的中 点. D B B (1)求证：EF/平面ACD1: (2)求线段EF到平面ACD1的距离. 【变式9-1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,BC=2,AA1=2. 第12页共20页 A B 8----------. (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值： (2)求点B到直线A1C的距离. 【变式9-2】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，点E为棱PD的中点， PA=AB=2,∠ABC=60°，连接EA、EC、AC D B (1)求证：PB/平面EAC: (2)求证：BD⊥平面PAC (3)求直线PB到平面EAC的距离. 【变式9-3】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AC的中点. 第13页共20页 B A (1)证明：BD⊥DC1: (2)若AB=2,AA1=4,求点A到平面BC1D的距离. 【题型10向量与几何体体积、表面积综合】 【例10】在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=2,AA=3,AD=4,A1E=3ED1, 2C F=FC. D B (1)求证：BD⊥面CEF: (2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值： (3)求三棱锥A-CEF的体积. 第14页共20页 【变式101】如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面 角B-AD-C为60°，如图2，M为CD的中点， M B D B 图1 图2 (1)求三棱锥D-ABC的体积. (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值， 【变式10-2】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2,E为棱DD1的中点，F为 棱BB1的中点. B (1)证明FC1∥AE,并求点F到直线AE的距离： (2)求点A1到平面AB1E的距离和三棱锥A1-AB1E的体积. 第15页共20页 【变式10-3】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC与平面DBC互相垂直，且AB=BC=BD=2, ∠CBA=∠CBD=120°.求： B D (1)AD所在直线和平面ABC所成角的大小： (2)二面角D-AB-C的正弦值； (3)三棱锥A-BCD外接球的表面积. 【题型11立体几何综合：动点探索性、存在性问题】 里【例11】知图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形 ∠ABC=∠BCD=∠ADP=90,且AB=PB=2'PA=2V2'BC=CD=L,E为PA中点. 第16页共20页 B D (1)证明：PB⊥平面ABCD: 2)已知线段PD上存在点M,使得平面MAB与平面MBC夹角的余弦值为行，求M到直线DE的距离。 【变式11-1】已知三棱柱ABC-A,B,C1中，AC=AA,=4,BC=2,∠ACB=90,A1B1AC1 A C B. 1-- (1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABC. (2)若∠A,AC=60,在线段AC上是否存在一点p使平面BA,P和平面A,ACC,所成角的余弦值为 ?若存在，确定点P的位置：若不存在，说明理由. 4 第17页共20页 【变式11-2】图1是直角梯形ABCD,AB‖CD,∠D=90°，AB=2,DC=3,AD=V3,CE=2ED,以 B距为折痕将△BCE折起，使点C到达C,的位置，且AC,=6如图2. E B 图1 图2 (1)求证：平面BC1E⊥平面ABED: (2)在棱DC1上是否存在点P,使得C1到平面PBE的距离为 6?若存在，求出二面角P-BE-A的大 小；若不存在，说明理由. 【题型12翻折问题、动点轨迹、角度距高最值综合】 昌目例12】如图，在梯形ABCD中，AB/1CD,AD=DC=2,AB=4,现将△ADC所在平面沿 对角线AC翻折，使点D翻折至点P,且成直二面角P-AC-B. (1)证明：BC⊥平面PAC; (2若异面直线PC与AB所成角的余弦值为子，求平面BPA与平面PAC所成角的余弦值。 第18页共20页 【变式12-1】如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， AD⊥AE,AE=V2.将△ADE沿AD翻折至△ADP,如图2.点M在线段PD上运动. P(E) B -- D (1)若PM=MD,证明：PB/∥平面MAC: (2)若AM⊥CD,且VM-ABP=2VM-ACD,证明：平面PAD⊥平面PCD; (3)求二面角P-CD-A的余弦值的最小值. 【交式12,2】如图，已知四边形ABCD为等腰榜形，且AB∥CD,∠C-行AB=2,DC=4.E为DC 中点，将△BEC沿BE进行翻折，使点C与点P重合.取BE中点O,连接PO、AO. B (1)证明：AD⊥平面POA: (2)当PA=V6时，求PB与平面PAD所成角的正弦值. 第19页共20页 【变式12-3】如图，在四边形PDCB中，PD∥BC,BA⊥PD于交PD点A,PA=AB=BC=2,AD=1. 光Y明d-8平-S耳钞到'易9明aSV医4戳8V球阳恐 S B r=-- P A D (1)证明：平面SBA⊥平面SAD: (2)在线段SC上（不含端点）是否存在点Q,使得二面角Q-BD-C的余弦值为431 31 若存在，确 定点Q的位置，若不存在，请说明理由 第20页共20页