上海市华东师范大学第二附属中学2026-2027学年高一上学期10月数学练习

华东师范大学第二附属中学高一数学练习 2026.10 班级：________ 姓名：________ 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．若，则实数__________． 2．已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为__________． 3．“”是“”的__________条件（选择其中之一填空：充分非必要、必要非充分、充要、既非充分又非必要） 4．已知是全集，集合，集合，则__________． 5．已知a为常数，集合，集合，且，则a的所有取值构成的集合为__________． 6．设，若关于x的不等式的解集是区间的真子集，则a的取值范围是__________． 7．设，则方程的解集为__________． 8．已知关于x的一元二次方程．若方程的两实根为，，且满足，则实数__________． 9．已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是__________． 10．设x，，且，则的最小值为________． 11．设非空集合，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合，则其偶子集Q的个数为__________． 12．已知集合，，且中恰有3个整数元素，则实数a的取值范围为__________． 二、选择题（满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13．集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 14．设a，b为实数，则“”是“”的（ ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 15．设Q表示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与X相同的集合有（ ）． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 16．集合，，其中a、b、c为实数，若、分别表示集合S、T的元素个数，则的所有可能取值集合为（ ）． A． B． C． D． 三、解答题（满分78分） 17．（满分14分，第1小问6分，第2小问8分） 已知， （1）若A是B的子集，求实数a的值； （2）若B是A的子集，求实数a的取值范围． 18．（满分14分，第1小问6分，第2小问8分） 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2）． 19．（满分14分，第1小问6分，第2小问8分） 某小区计划建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽，东西两侧人行道宽，如图所示．设矩形绿地的南北侧边长为x米． （1）当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； （2）求绿地的长、宽分别为多少米时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到）． 20．（满分18分，第1小问4分，第2小问14分，其中①6分，②8分） 已知，符号表示不大于x的最大整数，例如：，，，令． （1）写出为偶数（包括正、负偶数和0）的充要条件，并证明； （2）设方程的解集为A． ①集合，若，求实数a的取值范围； ②集合，若，求实数k的取值范围． 21．（满分18分，第1小问4分，第2小问6分，第3小问8分） 对于非空实数集，若满足以下两个条件，则称M为“极闭集”； ①M中至少含有2个元素，且； ②对于M中任意两个不相等的元素x，y，定义，且． （1）判断集合与区间是否为“极闭集”，并说明理由； （2）若M是“极闭集”，证明：集合M中不可能所有元素都小于1； （3）证明：不存在任何有限的“极闭集”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学第二附属中学高一数学练习参考答案 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．-1 2． 3．充分非必要 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10．9 11．63 12． 二、选择题（满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13．C 14．B 15．D 16．C 三、解答题（满分78分） 17．解析：（1）， 若A是B的子集，则0和-4是方程的两根， 由韦达定理得：，解得， 当时，满足条件，故． （2）若B是A的子集， ①当时，，解得； ②时；； ③时，； ④时，， 综上，实数a的取值范围是． 18．解析：（1），，，， 等价于，解得．故不等式解集为． （2）①当时，原不等式化为，解得，解集为． ②当时，方程的两根为，： 若，则，，解集为； 若，则，，解集为； 若，原不等式化为，解集为； 若，则，，解集为． 19．解析：（1）设矩形绿地的南北侧边长为x米，则东西侧边长为米． 由题意可知，包含人行道的大矩形南北侧边长为米，东西侧边长为米． 设人行道的占地面积为S，则：， ，， 由题意得，即：，， ，，， 所以不等式的解集为． （2）由（1）知， 因为，由基本不等式得：， 所以， 当且仅当，即，时等号成立． 因为，所以． 答：当x约为时，才能使人行道的占地面积最小． 20．解析：（1）为偶数的充要条件是x为整数，证明如下： 充分性：若x为整数，则，，， 为偶数，充分性成立． 必要性：假设x不是整数，则存在整数k，使得， 根据取整函数定义得，， ， 为奇数，与为偶数矛盾，故假设不成立，即x为整数，必要性成立． 综上，为偶数的充要条件是x为整数． （2），，，或-2且， 所以； ①， 设，其中，是方程的两实根， 设， ，， 所以； ②． 当时，恒成立，，显然成立； 当时，，，故； 当时，，，故； 综上，． 21．解析：（1）集合，首先满足条件①：是的子集，含2个元素，． 取A中两个不等元素，，所以，所以A不是极闭集． 区间，首先满足条件①：是的子集，含无数个元素，． 任取B中两个不等元素x，y，则，， 因此， 所以，属于B，满足条件②，所以B是极闭集． （2）假设集合M中所有元素都小于1； 所以，，则，， 所以， 所以与假设矛盾，因此假设不成立．所以集合M中不可能所有元素都小于1． （3）由第（2）问的结论可知，M中至少存在一个大于1的元素， 因为M是有限集且至少含有2个元素，我们可以从M中取一个元素，记作， 不妨设，令． 所以， 证明，当时，， 假设，则， 因为，，故，即． 因此，对所有，恒成立． ， 所以，即， 所以，所以它的各项互不相等． 这意味着集合M中含有无穷多个互不相等的元素，，，…． 但这与假设“M是有限集”矛盾． 因此，假设不成立，不存在任何有限的“极闭集”． 学科网（北京）股份有限公司 $