精品解析：上海市华东师范大学第一附属中学2026-2027学年高一上学期10月适应性调研数学试题

华东师大一附中 2026学年第一学期 高一年级 适应性调研 数学试题 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，，且，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可. 【详解】解：因为，，， 所以，解得， 故答案为：0 【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题. 2. 设集合，，则_______________． 【答案】 【解析】 【详解】令，即，解得，所以； 令，即，解得，所以， 因此 3. 设全集，，则_______________． 【答案】. 【解析】 【详解】由，移项得，通分：， 等价于 解得或， ， 已知， 则. 4. 已知集合,，则_______________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 对于二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 所以当时，取最小值为， 所以， 因为， 对于二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 所以当时，取最小值为， 所以， 所以. 5. 已知，，且，则实数的值_______________． 【答案】或或 【解析】 【详解】令，即，解得或，所以； 当时，集合，满足； 当时，令，解得，因为，所以或，解得或. 综上：实数的值为或或. 6. 已知“存在正实数，使得关于的不等式成立”为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】命题 “存在正实数，使得成立” 为真命题， 即， 当时，不等式可化为， 取，满足，符合题意； 当时，不等式化为，不成立， 当时，，则，不等式恒不成立， 综上，实数的取值范围是. 7. 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】因为是的充分条件，所以， 故，解得， 因此实数的取值范围为. 8. 对于实数，，，已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】结合一元二次方程与一元二次不等式的关系可得的关系及范围，然后结合一元二次不等式的求法即可求解. 【详解】关于的不等式的解集是，是方程的两个根，且， 由韦达定理可得，，解得， 不等式可转化为， 又，不等式化为，解得或， 故关于的不等式的解集为. 9. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，不成立，所以不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 则，得， 综上可知，的取值范围是. 10. 对班级若干名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成多3人，其余的不赞成．已知对、都赞成的学生有18人，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人，则班级总人数是_______________人． 【答案】 【解析】 【详解】设班级总人数是，则赞成的有，赞成的有，对、都不赞成的有， 如图可得， 解得，即班级总人数为. 11. 设全集，若集合满足：①；②若，必有；③若，必有，则这样的集合有_______________个． 【答案】64 【解析】 【分析】设集合，．任取，将除以2，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，从而，是否属于由是否属于确定．设是中所有奇数的集合，则等于的子集个数．由此能求出结果． 【详解】设集合，．任取，将除以2，若商仍为偶数， 再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为， 于是，其中为奇数，．由条件知， 若，则等价于为偶数； 若，则等价于为奇数． 于是是否属于由是否属于确定． 设是中所有奇数的集合，设为集合中满足题干条件的集合的个数，因此等于的子集个数． 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或， 所以， 所以， 即同时满足三个条件的集合的个数为． 故答案为：64. 12. 设集合，对于中的任意两个元素，，记，设，，若，则的最大值和最小值之和为_______________． 【答案】3030 【解析】 【分析】由，可得，分析得中有2020个1，2020个0，进而由可得最小值. 【详解】设， 因为，所以， 所以， ， 由，得， 所以中有2020个1，,2020个0， . 注意到只有时，，否则， 而中有2020个1，2020个0，所以满足的最多有1010个， 所以， 满足的最多有2020个， 所以， 则的最大值和最小值之和为. 故答案为：3030. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑． 13. 实数与，“”的（ ）条件是“或”． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用反证法证明必要性，举反例说明不是充分条件. 【详解】当时，假设，则，与前提矛盾，因此或， 所以“或”是“”的必要条件. 当或时，可举反例，，此时， 所以“或”不是“”的充分条件. 14. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. 【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 显然， ，所以最大， 由可得，， 所以，即 可得. 故选：D 15. 用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（ ） A. 假设有两个内角超过 B. 假设四个内角均超过 C. 假设至多有两个内角超过 D. 假设有三个内角超过 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的定义. 【详解】平面四边形中至少有一个内角不超过的反面含义为 4个内角没有一个不超过，即四个内角均超过， 故选:B. 16. 设为非空实数集，集合，则对于以下两个结论说法正确的是（ ）． 结论①：若是五元集，则中的元素最多10个； 结论②：存在四元集，使得． A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用定义分析中元素的大小关系可判断①，分类讨论并利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断②. 【详解】对于①，想让元素个数达到最大值 10，则须避免产生符号不同的乘积， 否则正负分开计数容易导致总数受限，且容易产生相等值，也最好避免 0 的出现， 故设， ， 因为， 所以中元素个数小于等于10个， 如设，则， 所以集合中元素个数的最大值为10个，故①正确； 对于②，由于集合B中没有0，所以集合A中没有0；设集合，且， 当时，，故集合B至少有3个负数， 与矛盾； 当时，， ， 故集合B至少有4个负数，与矛盾； 当时，， ，故集合B至少有3个负数，与矛盾； 当时，则集合， 则必有，其4个正实数的乘积， 又或，其4个正实数的乘积，矛盾； 当时，与时的证明方法相同，可得集合A也不存在； 综上不存在四元集，使其生成集，故②错误. 三．解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤． 17. 解下列不等式（组） （1）解不等式：． （2）解不等式组：. 【答案】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （2） 【解析】 【分析】（1）按照的取值进行分类讨论，时，为一元一次不等式，即可求解；时，可先求对应方程的根，根据根的大小关系和对应二次函数的开口方向进行分类，分为，，，，对每种情况分别求解即可，最后将所有情况的解集合并. （2）先解分式不等式，将分式不等式转化为整式不等式，结合分母不为0，即可求解，再将不等式进行分类去掉绝对值，对分类后的两个不等式分别求解，结果取并集可得不等式的解集，最后将不等式和的解集取交集即可. 【小问1详解】 当时，原不等式为，即， 所以此时不等式的解集为：； 当时， 令，解得，， 当时，，此时不等式的解集为：； 当时，原不等式为，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【小问2详解】 不等式可化为：， 即， 等价于，解得或， 不等式等价于， 解不等式得， 解不等式得， 所以的解集为， 综上所述，不等式组的解集为. 18. 已知为实数，设． （1）已知对于任意实数，均有意义，求实数的取值范围； （2）设，，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）依题意将问题转化为一元二次不等式在上的恒成立问题，结合函数图象列不等式求解即得； （2）由条件知，将集合分为空集，单元素集，双元素集三种情形分别计算、检验即得. 【小问1详解】 依题意，对于任意实数，均有意义， 即不等式在上恒成立，故，解得， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 ，， 由可得. ①当是空集时，满足，则有，解得； ②当是单元素集时，由可得，此时，符合题意； ③当是双元素集时，依题意，方程有两根为和； 由韦达定理，，解得，此时，符合题意. 综上，实数的取值范围为或. 19. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给居民使用，据市场分析，这批单车的运营累计利润（单位：元）与运营天数（单位：天，为正整数）满足关系：． （1）要使这批单车的运营累计利润高于800元，求运营天数的取值范围； （2）判断这批单车的日平均运营利润能否超过20元，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由如下： 这批单车的日平均运营利润为， 因，则，当且仅当，即时取等. 此时， 故这批单车的日平均运营利润不能超过20元. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式，求解即得； （2）先求出这批单车的日平均运营利润的表达式，利用基本不等式推出即可判断. 【小问1详解】 由题意，得， 即，解得， 即运营天数的取值范围为 【小问2详解】 不能，理由略. 20. 设（，，） （1）若，设，，用列举法表示； （2）若，，，若方程有两个大于的根，求实数的取值范围； （3）若，，，且，均为奇数，求证：方程无整数解． 【答案】（1） （2） （3）证明：若为奇数，则为奇数. 若为奇数，则为奇数，即同奇或同偶. 假设存在整数使得方程，即，则， 故为奇数. 若为偶数，则为偶数，所以，均为偶数，故为偶数，矛盾. 若为奇数，则为奇数， 当同奇时，，均为奇数，故为偶数，矛盾. 当同偶时，，均为偶数，故为偶数，矛盾. 综上，不存在整数使得. 故方程无整数解． 【解析】 【分析】（1）根据集合的表示方法、交集的定义及一元二次方程求解即可. （2）根据一元二次方程根的个数、对应函数的对称轴，结合已知条件列不等式组求解即可. （3）根据零点的定义及反证法，分情况证明即可. 【小问1详解】 若，则. 令，即，解得或. 所以. 【小问2详解】 若，，，则. 令，则. 若方程有两个大于的根，则，对称轴，且. 即，整理得，解得. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 21. 已知为非空有限集，且任取，均有，称为非空有限整数集．定义：， ． （1）若，分别写出和（用列举法表示）； （2）若，，，求集合中所有的元素； （3）对于非空有限整数集、，若，，中的元素均为非负整数，为整数，求证：①、中元素的个数相同；②若集合中的元素个数为奇数，则为偶数． 【答案】（1） （2） （3）①因为，因为函数在全体整数集上严格单调递增，故，， 所以，因为，所以， 设，中元素均为非负整数，，，故函数在上单射， 所以，又因为，所以， 所以. ②由①可知，且，且， 所以，， 所以， 所以， 所以映射是集合到自身的一个双射. 假设是奇数， 当为偶数时，为奇数，为奇数， 当为奇数时，为偶数，为偶数， 所以此时映射将集合中的奇数映射为偶数，将集合中的偶数映射为奇数， 即集合中的奇数元素和偶数元素必须配对，此时集合的元素个数则为偶数， 与题设中“集合中的元素个数为奇数”矛盾. 故假设不成立，所以是偶数. 【解析】 【分析】（1）由定义可直接写出答案； （2）通过定义求得，得到中必含有元素；由求得最多含有的元素，从而求得答案； （3）①通过函数的单调性证明和，从而即可得证； ②由①得到集合，的关系，然后写出集合，通过反证法得到集合的元素个数与题设矛盾，即可得证. 【小问1详解】 由题意可知. 【小问2详解】 由题意可知，即， ，， 所以或，解得或或，即， 即， 所以. 【小问3详解】 ①略； ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大一附中 2026学年第一学期 高一年级 适应性调研 数学试题 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，，且，则的值为________. 2. 设集合，，则_______________． 3. 设全集，，则_______________． 4. 已知集合,，则_______________． 5. 已知，，且，则实数的值_______________． 6. 已知“存在正实数，使得关于的不等式成立”为真命题，则实数的取值范围是________． 7. 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______________． 8. 对于实数，，，已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______________． 9. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_______________． 10. 对班级若干名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成多3人，其余的不赞成．已知对、都赞成的学生有18人，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人，则班级总人数是_______________人． 11. 设全集，若集合满足：①；②若，必有；③若，必有，则这样的集合有_______________个． 12. 设集合，对于中的任意两个元素，，记，设，，若，则的最大值和最小值之和为_______________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑． 13. 实数与，“”的（ ）条件是“或”． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（ ） A. 假设有两个内角超过 B. 假设四个内角均超过 C. 假设至多有两个内角超过 D. 假设有三个内角超过 16. 设为非空实数集，集合，则对于以下两个结论说法正确的是（ ）． 结论①：若是五元集，则中的元素最多10个； 结论②：存在四元集，使得． A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 三．解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤． 17. 解下列不等式（组） （1）解不等式：． （2）解不等式组：. 18. 已知为实数，设． （1）已知对于任意实数，均有意义，求实数的取值范围； （2）设，，，求实数的取值范围． 19. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给居民使用，据市场分析，这批单车的运营累计利润（单位：元）与运营天数（单位：天，为正整数）满足关系：． （1）要使这批单车的运营累计利润高于800元，求运营天数的取值范围； （2）判断这批单车的日平均运营利润能否超过20元，并说明理由． 20. 设（，，） （1）若，设，，用列举法表示； （2）若，，，若方程有两个大于的根，求实数的取值范围； （3）若，，，且，均为奇数，求证：方程无整数解． 21. 已知为非空有限集，且任取，均有，称为非空有限整数集．定义：， ． （1）若，分别写出和（用列举法表示）； （2）若，，，求集合中所有的元素； （3）对于非空有限整数集、，若，，中的元素均为非负整数，为整数，求证：①、中元素的个数相同；②若集合中的元素个数为奇数，则为偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $