精品解析：福建省厦门第一中学集美分校2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

厦门一中集美分校2026—2027学年第一学期10月阶段性检测 高二年级数学学科试卷 （答卷时间：120分钟 卷面总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 过、两点的直线方程是 （  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，且，所以，解得 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，因为两条直线互相垂直，所以 ，得，解得. 4. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B 5. 若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算直线方向向量的单位向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】由，则与向量同向的单位向量为， 由直线过原点，则取，即，， 所以点到直线的距离. 故选：B. 6. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，分别为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出，利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】取中点O,连接如图以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 又分别为母线的中点，所以， 则， 设异面直线和所成角为， 则， 又因为，所以. 故选：C. 7. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【详解】如图： 问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 8. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为4 B. 点在上 C. 的一个方向向量为 D. 的倾斜角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，分别由截距、代入检验、斜率与方向向量及倾斜角的关系判断各选项. 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为. 对于A，直线在轴上的截距为，A正确. 对于B，将点的坐标代入直线方程，得，所以点在直线上，B正确. 对于C，直线的斜率为，而向量对应的斜率为，所以不是直线的方向向量，C错误. 对于D，设直线的倾斜角为，则. 因为，所以，D正确. 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量，不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量点积算出，的夹角为，判断A错；计算点积为0，进而得到 B正确；套用投影向量公式验证C正确；通过设线性组合，解得，满足共面向量定理，D错误． 【详解】选项A、已知向量，，， 则，， 所以， 故向量与向量的夹角为，选项A错误； 选项B、已知向量，，， 则，， 故，选项B正确； 选项C、由选项A知，，， 则向量在向量上的投影向量为，选项C正确； 选项D、已知向量，，， 因为， 所以，满足共面向量定理， 故向量与向量，共面，选项D错误． 11. 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点与点重合时，直线平面 B. 当点移动时，点到平面的距离为定值 C. 当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为 D. 当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据平行线确定一个平面即可判断，对BC建立空间坐标系进行判断，对D作出截面图形，并求出相关长度，利用面积公式即可求出. 【详解】对A，因为，所以点四点共面， 当点与点重合时，直线平面，故A正确； 对B，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为为中点，则设，，，， 则，，， 设平面的方向量为，则，即， 令，则，所以， 则点到平面的距离，显然不是定值，故B错误； 对C，当点与点重合时，由B知此时，，平面的法向量， 设平面与平面夹角为，， 则，故C正确； 对D，连接，并在上底面内将直线沿着的方向平移，直至该直线经过点，交于点，交于点， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，因为点， 所以平面截正方体所得的图形为四边形， 不妨以为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系， 则，因为为线段中点，则， 根据直线，则，设直线的方程为，代入点坐标得 ，解得，则，则点位于线段的四分之一等分点处，且靠近点， 点位于线段的四分之一等分点处，且靠近点， 则，，，结合， 则四边形为等腰梯形，则其高为, 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题BC选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面角的空间向量求法进行计算判断，对D选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰梯形，最后计算面积即可. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________. 【答案】 【解析】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线垂直于轴， 直线上所有点的横坐标都等于点的横坐标，点的横坐标为， 故该直线的方程为． 13. 已知三点三点共线，则实数的值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得. 【详解】解：因为三点共线， 所以，即，解得； 故答案为： 14. 在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间三点，，，设，. （1）求，； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）求出，利用模长公式和数量积公式得到答案； （2）根据向量垂直得到方程，求出答案. 【小问1详解】 由题意，， 故， ； 【小问2详解】 因与互相垂直，则， 其中， 即， 解得或 16. 已知△的三个顶点为，，. （1）求证：△为直角三角形； （2）求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】（1）证明：由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 17. 如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示，并求BM的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行六面体的性质，先找到的位置，再用向量加法表示，最后通过向量模长公式计算长度即可； （2）先确定和的方向向量，再通过向量数量积公式计算两向量夹角的余弦值，即可得到两异面直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 由题意可知，， 因为， 所以， 因为为与的交点，即为的中点， 所以， 所以， 即 ， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 【答案】（1）证明：由题意知、分别是、的中点，则得， 因为平面，平面，所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可； （3）利用向量法求点到平面的距离，再由棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则, 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 三角形的面积为，所以三棱锥体积． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，、分别是线段、的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）连接、，因为在平面内的射影为，所以⊥平面， 因为、平面，所以，， 因为为边长为的等边三角形，是线段的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，，所以四边形为菱形，故， 因为、分别是线段、的中点，所以，故. 因为，、平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质证得平面，得到；再由菱形性质与中位线平行证得，由线面垂直判定定理可证； （2）先根据线面垂直与面面垂直关系建立空间直角坐标系，求出各点坐标与平面的法向量，再利用线面角的向量公式计算所求； （3）先利用向量参数化点并求出，再分别求得平面与平面的法向量，由二面角的向量余弦公式，结合变量代换与函数值域分析，得到取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知在平面内的射影为，所以平面， 由题设知四边形为菱形，所以， 是线段的中点，，所以，则，所以为正三角形， 由、平面，则，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 以为坐标原点，、、的方向分别为为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 、、、， 可得，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为，则. 【小问3详解】 点为线段上的动点（不包括端点），设， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 又平面的一个法向量为，所以， 令， 则， 因为，故，则， 平面与平面夹角的余弦值取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中集美分校2026—2027学年第一学期10月阶段性检测 高二年级数学学科试卷 （答卷时间：120分钟 卷面总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 过、两点的直线方程是 （  ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，分别为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为4 B. 点在上 C. 的一个方向向量为 D. 的倾斜角为 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量，不共面 11. 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点与点重合时，直线平面 B. 当点移动时，点到平面的距离为定值 C. 当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为 D. 当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________. 13. 已知三点三点共线，则实数的值为__________. 14. 在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间三点，，，设，. （1）求，； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 16. 已知△的三个顶点为，，. （1）求证：△为直角三角形； （2）求边上的中线长及中线所在的直线方程. 17. 如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示，并求BM的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，、分别是线段、的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $