福建莆田第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

莆田一中2026-2027学年度上学期10月月考试卷 高二 数学必修二、选性必修二 命题人:卓丽霞 审核人:林清利 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1．若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知函数，则（     ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 3．若一圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则其侧面积为（       ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（       ）     A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 5．一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 6．若曲线与有且仅有一条斜率为1的公切线，则实数（     ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象关于点(1.0)对称，则+2b=（     ） A. -10 B.10 C. 2 D.-2 8．已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（       ） A． B． C．平面 D．直线MN与直线异面 11．已知且，函数，则（       ） A．若，则有个零点 B．若，则在区间上单调递减 C．若有两个零点，则 D．若，则存在，使得当时，有 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．在四边形中，，，则该四边形的面积为__________． 13．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，边上的高为，则______． 14．已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．设函数. (1)若在处取得极值，求的值，并求出函数的单调区间； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 16．如图，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．在非直角三角形  中，角  的对边分别为  ，且满足  . (1)求证:  ; (2)若  ，求  的面积. 18．已知函数，（）． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，若存在极小值点，证明：； (3)若对任意，都有，求的取值范围． 19．已知函数，． (1)若，求在点处的切线方程； (2)若在上存在唯一零点， （i）求的取值范围； （ii）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $莆田一中2026-2027学年度上学期10月月考高二数学（参考答案） 选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 10 11 答案 D A B D B B C D ABD AC ABD 三、填空题12.5 13. V10 1 1 14 10 2e'3e 四、解答题 15.【详解】()f)=x2-2+1,则f(x)=3x2-2m,…1分 因为f(x)在x=3处取得极值， 所以f'(3)=27-6a=0,… 3分 解得a 2 9 …4分 经检验，当a=9时，f')=3x-9r,当xe(03),f()<0 当x∈(3，+o),f'(x)>0,所以f(x)在x=3处取得极值； 6分 (2)因为f(x)在[-2，-1上单调递减， 所以f"(y)=3x2-2ar≤0对x∈[-2，-]恒成立， …8分 则a≤对-以-小恒成立， 9分 令gt0-子，即a≤gn 10分 因为当x-2-刂时，8)=多e …12分 所以a≤-3，即a的取值范围为(-0，-3]…13分 16.【详解】(1)证明：由AC=3,BC=4,AB=5, 可得AC2+BC2=AB2,… …1分 则AC⊥BC,…2分 直三棱柱ABC-AB,C中，CC1⊥平面ABC,…3分 ACC平面ABC,所以CC⊥AC,… …4分 又CC1,BCc平面CCBB1,CC1OBC=C,… .5分 所以ACL平面C1CBB,…6分 (2)连接BC1,与BC相交于点O,连接AO, 7分 由BC=A4=4,则侧面CCBB为正方形，从而有CB上BC,…8分 由(I)AC⊥平面CCBB,BCC平面CCBB1,所以AC⊥BC1,…9分 B A -B 又AC,CB1C平面ACB,AC∩CB1=C,所以BC1⊥平面ACB1,…10分 则直线AB与平面ACB,所成角为∠BAO, 11分 由BC=BB,=4,所以BC=4N2,BO=2√2， 12分 又AB=5,则sin∠BA0=B0-2V2 。。。。。。。。。。。。。。 …14分 AB 5 第1页，共4页 所以直线AB与平面ACB,所成角的正弦值为2 。。。 …l5分 5 17.【详解】(1)由正弦定理a=b C sinA sin B sinC' …l分 a=2cc0sB-bcosC可得sinA=2 sin CcosB-sin BcosC,… 2分 又sinA=sSin(B+C）=sin B cosC+cos BsinC,…4分 所以2SiBc0SC=sin Cco0sB,…5分 由于△ABC为非直角三角形，故C0SB≠0，c0SC≠0，…6分 等式两边同除C0sBc0SC得tanC=2tanB…7分 (2)由tanC=2tanB,tan4A=3可得 tanA-tan(r-B-C)--tan(B+C)=-taB+tanc__3tanB =3 1-tan BtanC 1-2tan2 B ,…9分 解得tanB=1或tan B=-号， 10分 若amB=方则mC=-1此时及C均为纯角，不符合题意， 11分 故an8=1,B-平则tmC-2,且C为能角，故snC-25 osc=v5 …12分 10,cosC=10 又aA=3,A为锐角，放inA=30, 13分 10 由E张定理品4品c得3i025,解得c=2灯 3 …14分 105 ，=1 ac sinB=5×3×2W2×2子=3. …15分 2 18.(17分)【详解】1)当a=1时，f()=+2-e, 则f"(x)=(x+1)-(x+1)e=(x+11-e), …1分 令f'(x)=0,解得x=-1,或x=0,… 。。。。。。。。。。。。。 …2分 当x<-1时，x+1<0,1-e>0,则f()<0,所以f(x)在(-∞，1)上单调递减；当-1<x<0时， x+1>0,1-e>0,则f'(x)>0,所以f(x)在(-1,0)上单调递增；当x>0时，x+1>0,1-e<0, 则f'(x)<0,所以f(x)在(0，+∞）上单调递减，… …4分 综上，f(x)在(-0，)上单调递减：在(-1,0)上单调递增：在(0，+∞)上单调递减.…5分 (2)由f'(x)=a(x+1)-(x+1)e=(x+1)a-e), 令f"(x)=(x+1)(a-e）=0,解得x=1,或x=na,… …6分 ①当ha>-1时，a>。,当x<-1时，x+1<0,a-e>0,则f()<0,所以fy在(o,)上单调 递减；当-1<x<lha时，x+1>0,a-e>0,则f'(x)>0,所以f(x)在(-l,lna)上单调递增；当 x>ha时，x+1>0,a-ex<0,则f'(x)<0,所以f(x)在(ha+o)上单调递减， 此时x=-l是f(x)的极小值点，而x=a是f(x)的极大值点：…7分 则=-1，所以f)=f(1)=e1=>0,得证： …8分 ②当na=-1时.a-f)=(+日e+1-e) 当x<-1时，x+1<0,1-e+1>0,则'(x)<0,所以f(x)在(-o,-1)上单调递减； 当x>-1时，x+1>0,1-e+1<0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-1，+o)上单调递减 第2页，共4页 此时f(x)无极值点，更无极小值点： … 9分 ⑧当ha<-l时，0ca。当r<a时，t1k0,a-e≥0，则f<0,所以f倒在(-ahm上 单调递减；当ha<x<-l时，x+l<0,a-e<0,则f(x)>0,所以f(x)在(na-l)上单调递增：当 x>-1时，x+1>0,a-e<0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-l,+∞)上单调递减，此时x=na是f(x)的 极小值点，而x=-1是∫(x)的极大值点；… …10分 则=ha,所以)fa)-aa+广-aia-alw'a4小0，得证 综上，当a>0时，若f(c)存在极小值点x,必有f()>0,得证. …11分 (3)解法一：对任意xeHl+),有f()分可时+1-e≤号 当=-l时，a0+e分但成立，此时a的取值范围为R, 12分 当1时，a≤c),令s)2e+1 x+1022>-1, 13分 则g 2x2+1e-22[（x+0e- …14分 (x+1)3 (x+1) 令h(x)=(x2+1)e-1,x>-1,则h(x)=(x+1)2e≥0， 所以h(x)在(-1，+∞)上单调递增，且h(0)=(02+1)e-1=0, …15分 所以当-1<x<0时，h(x)<0,即g(x)<0,所以g(x)在(-1,0)上单调递减： 当x>0时，h(x)>0,即g'(x)>0,所以g(x)在(0，+o)上单调递增， …16分 所以g(rmn=g(O)=1,即a≤l,综上，当x=-1时，a∈R;当x>1时，a≤1. 故对任意x∈[-1+o),都有f(x)≤时，a的取值范围为(-o,. .…17分 解法：因为/0=0≤分，所以as1 12分 下证充分性：当a≤1时，x∈[-l,+o),(x+1)≥0 …13分 f)a( 。。。。。。。。。。。。。。。。。 …14分 令)=+-心由(4)可得g)在(10)上单调递增：在0，+网上单调递减，15分 所以x=0时，8y)取到最大值8(0)号 …16分 所以f四a(x+-esg国s8o)月 故对任意r∈-L+o),都有f()≤时，a的取值范围为(- …17分 19.【详解】(1)f(x)=x2+4x-aln(x+1),定义域为(-1，+∞)，…1分 f'"(y=2x+4-a=2x2+6x+4-a …2分 x+1 x+1 a=4时，f(0)=0,f'(0)=0,… …3分 故切线方程为y=0;…4分 f)=2x+4-a2x+6+4-0,x>-1, x+1 x+1 (i)当a≤4时，f'(x)≥0，函数f(x)在(0，+o)上单调递增，f(x)>f(0)=0, 第3页，共4页 所以∫(x)在(0，+o)上不存在零点，… …5分 当a>4时，令m(x)=2x2+6x+4-a,m(x)在(0，+0)上单调递增 m(0)=4-a<0,m(a@=2a2+5a+4>0,3xe(0,a,使得()=0，即f'()=0,…6分 所以x∈(0，)时，f'(x)<0,x∈(，+o)时，f'()>0, 所以f(x)在(0，)上单调递减，(，+∞)上单调递增，… …7分 先证血x≤x-1,令M(x)=x-1-lnx,M(x)=1-1=0,x=1 则xe(0,1)时，M'(x)<0,x∈(1，+o)时，M'(x)>0, 所以M(x)在(0,1)上单调递减，(1，+o)上单调递增，M(x)≥M(1)=0…8分 f(0)=0,f(6)<f(0)=0, f(d)=a2+4a-aln(a+1)=a(a+4-lh(a+1)>0,… …9分 所以当a>4时，函数f(x)在(0，+w）上存在唯一零点b,其中b∈(，a).…10分 (i)解法一：b为f(x)唯一零点，所以f(b)=b2+4b-an(b+1)=0, 则n6+1）=62+4b, …11分 a 要证e4-1>b,即证e-4>b+1,即证a-4>lnb+1)-+ ,…12分 a 即证a2-4a>b2+4b,即证b<a-4,… 13分 因为f(a-4)=a(a-4)-an(a-3)=a(a-4-n(a-3),a>4, …14分 令g(a)=a-4-n(a-3),则g(a=1-1,=a-4>0, a-3a-3 所以g(a)在(4，+0)上单调递增，则g(a)>g(4)=0,…15分 即a-4-h(a-3)>0,又a>4,所以f(a-4)>0=f(b),…16分 由(i)可知f(x)在(，+∞)单调递增，所以b<a-4,得证. 。。。。。。。。。。 …17分 (i)法二：b为f(x)唯一零点，所以f(b)=b2+4b-a血(b+1)=0,a= b2+4b …11分 n(b+1)' 要证ea-4-1>b,即证ea-4>b+1,即证a-4>lh(b+1), 12分 e2+6-4>n(b+1）,即证b2+4b-4h(b+)>nb+1，… 即证nb+ …13分 即证b2-n2(b+1)>4n(b+1)-4b, 即证(b+n(b+1)b-n(b+1)+4b-n6+1)>0,. …14分 即证(b-n(b+1)b+n(b+1)+4)>0, 由b+n(b+1)+4>0可得即证b>n(b+1), 15分 记A-h+,测m(=1中 则x∈(-l,0)时，H(x)<0,x∈(0，+w)时，h(x)>0, 所以h(x)在(-1,0)上单调递减，(0，+o)上单调递增， 所以h(x)≥h(0)=0,，所以原命题得证. …17分 第4页，共4页