江西省南昌中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

南昌中学2026-2027学年度上学期十月测试 高二数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 3．过点且与圆，相切的直线有几条（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．不确定 4．已知直线，平行，则实数m的值为（ ） A． B． C．或 D． 5．两圆和的位置关系是（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 6．已知直线：在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（ ） A．1 B． C．2或1 D．或1 7．若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．直线：与曲线：有两个公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知圆，圆，．则下列选项正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆和圆共有2条公切线，则 C．当圆和圆有三条公切线时，若，分别是圆，上的动点，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 11．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A． B．，，则 C．为坐标原点，动点满足，则动点在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D．已知点，直线，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 13．平行线和的距离是_______． 14．已知点、，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） （1）求过点且与两坐标轴上的截距之和为1的直线方程； （2）求过点且与原点距离为3的直线方程． 16．（本小题15分） 已知的顶点，直角顶点为，顶点在轴上； （1）求顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 17．（本小题15分） 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若是直线上的动点，是圆上的动点，定点，求的最大值． 18．（本小题17分） 某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东方向米的点A处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： （1）在西辅道上与建筑物底面中心距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ （2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度． 19．（本小题17分） 在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：． （1）若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； （2）求过点且与圆相切的直线的方程； （3）当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考参考答案 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A B C A D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 解：(1)由题意可设直线方程为： 代入点，即 解得： 所以直线方程为： （2）当直线的斜率为不存在时： ，满足题意； 当直线的斜率为存在时，设直线方程为：， 即： ，所以 解得：，所以直线方程为： 综上，直线方程为：或 16.解：(1)设点，由题意： ，所以 解得，所以点 (2)因为的斜边的中点为圆心边， 所以圆心的坐标为， ， 所以圆心的方程为 17.解：（1）依题可设圆心C的坐标为， 因为，所以， 解得， 则圆心C的坐标为，圆C的半径， 故圆C的标准方程为． （2）因为，所以． 设点关于直线对称的点为， 则， 解得，即． 因为，所以， 当且仅当P，C，三点共线时，等号成立． 又，所以的最大值为15． 18.解：（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，， 因为，，则，依题意得，游客所在位置为， 则直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内． （2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， ①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以或， 即或， 观景直道所在直线方程为， 设两条直线与的交点为D，E， 由，解得， 由，解得， 所以， 答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米．    19.解：（1）因为圆：，故，半径为； 又因为：，故，半径为2， 所以两圆圆心距为：， 因为圆与圆有交点， 所以，得，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， 因为直线与圆相切，则，即， 此时直线的方程为，即， 综上：直线的方程为或. （3）设点坐标为，因为有无数条直线符合要求，不妨设直线与的方程分别为： ，，即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等， 由垂径定理可知圆心到直线与圆心直线的距离相等， 故有，即或， 由于关于的方程有无穷多解，故，或， 解得或，即点坐标为或 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $