精品解析：吉林省吉林市第一中学2026-2027学年高二年级上学期第一次月考数学试题（平行班）

吉林一中2026-2027学年度高二年级上学期第一次月考数学试题（平行班） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 3. 已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 4. 已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据椭圆的定义，结合勾股定理以及等面积法，可得答案. 【详解】 由题意作图，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， ∴， 设点P到x轴的距离为d，则|PF1|·|PF2|=|F1F2|·d，故2b2=2cd，故， 故选：D． 5. 已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】运用作差法解决即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以， 所以， 所以， 所以椭圆的短轴长为8. 故选：C 6. 已知圆与圆外切，直线与圆C相交于A，B两点，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两圆外切列方程求，再求圆心到直线的距离，结合弦长公式求弦长. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为圆O与圆C外切，所以 所以. 设圆心到直线l的距离为d，则， 从而. 故选：D. 7. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论. 【详解】由图①知，， 由图②知，点在椭圆上， ，则， 整理得，解得， 由图③知，在椭圆上， ，则， 整理得，，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 8. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 10. 如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算，空间向量数量积的运算性质，空间向量模的求解公式以及投影向量的定义逐项分析即可. 【详解】选项A，由点在线段上，且，所以， 所以，即，所以， 由点，分别是边和的中点，连接，如图所示： 所以， 所以，故A正确； 选项B，由题意知，且向量两两夹角为， 所以， 由， 所以 ， 所以，故B错误； 选项C，由，故C正确， 选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误. 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线和下部分曲线.）构成，曲线的一个焦点为是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接由椭圆的几何性质计算可得. 【详解】因为椭圆的焦距为，得且， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 因此实数的值为或. 13. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是_________，其倾斜角的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出，根据直线与线段相交可得出直线斜率范围，再由正切函数的性质得出倾斜角的范围. 【详解】因为， 又过点的直线l与线段AB有公共点，如图， 所以，即； 因为，所以， 由正切函数的性质可知或. 故答案为：； 14. 已知是平面内一定点，是平面外一定点，，点到平面的距离为．设平面内的动点到点、点的距离之比为，则点的轨迹的长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作平面，以为原点，分别以为轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用坐标运算即可得点的轨迹是一个圆. 【详解】如图，过点作平面，交平面于点，连接. 在中，，，则. 以为原点，分别以为轴，轴建立空间直角坐标系.则平面即为平面. 则. 因为点是平面内的动点，所以设. 所以. 因为动点到点、点的距离之比为， 所以，化简得. 所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆. 所以点的轨迹的长度为. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线经过圆心，即可根据直径为6求解， （2）根据圆心到直线的距离与半径相等，即可求解. 【小问1详解】 的标准方程为，故圆心为， 由于直线恒过定点，故直线经过圆心， 因此为圆的直径，故，，则，故 【小问2详解】 ， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得，故方程为， 综上所述切线方程为：或 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）证明：平面； （2）若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 【答案】（1）证明：底面，且底面，， 为正方形，，又，且平面，平面. 平面，. 由为线段的中点，可知， ，且平面，平面． （2）（i）EF和平面夹角的正弦值为； （ⅱ）点P到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直及正方形的性质得、，再由线面垂直的判定定理、性质定理证明结论； （2）（i）取的中点，连接，根据线面角的定义确定和平面夹角的平面角，最后结合已知求其正弦值； （ⅱ）利用等体积法，设点到平面的距离为，求出和， 从而计算出，再求出，根据，可算出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取的中点，连接． 为中点，是的中位线，故，且． 又底面，底面，因此是在底面内的投影， 即为直线与平面所成的角．由题意可知是的四等分点，， 故．又是中点，，故． 在中，． 在中，．因此． （ⅱ）利用等体积法， 设点到平面的距离为． 由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此． 由（1）知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由得：． 17. 在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率． （1）求椭圆C的焦距； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为1，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据已知条件列出方程组求解即可； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到关于x的方程，设，利用韦达定理和弦长公式求出弦长，利用点到直线距离公式求出O到直线的距离d，利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：设椭圆方程为， ∵离心率，则，． 椭圆过，代入方程得，即，解得，则． ∴椭圆方程为； 【小问2详解】 联立，得， 得． 设，则，， ， O到直线距离， ， 解得，即． 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）①由面面垂直的性质得到平面，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值；②求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标； （3）过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 【答案】（1） （2） 如图，设点，， ，，即，① 当直线的斜率存在时，设方程为， 代入椭圆方程消去并整理得： 由韦达定理得，，② 根据，，代入①整理可得： 将②代入， 整理化简得， 不在直线上，，， 于是的方程为，所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 代入 得，结合，解得或（舍去）， 此时直线过点. （3） 点在定圆上，.理由如下： 因为于点，且定点在直线上，所以. 又点为两个定点，线段长度为定值. 故点在以线段为直径的圆上. 由中点坐标公式得圆心坐标为，由两点间距离公式得半径为， 故圆的方程为. 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程组求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）对的斜率是否存在进行分类讨论，再结合直线与椭圆相交的相关性质得到方程，进而求解定点即可. （3）结合题意先确定在定圆上，再求出圆心和半径，进而得到圆的方程即可. 【小问1详解】 由题意可得， 又，解得，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2026-2027学年度高二年级上学期第一次月考数学试题（平行班） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 已知圆与圆外切，直线与圆C相交于A，B两点，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 10. 如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线和下部分曲线.）构成，曲线的一个焦点为是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________. 13. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是_________，其倾斜角的取值范围是_________． 14. 已知是平面内一定点，是平面外一定点，，点到平面的距离为．设平面内的动点到点、点的距离之比为，则点的轨迹的长度为________． 四、解答题（共77分） 15. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）证明：平面； （2）若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 17. 在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率． （1）求椭圆C的焦距； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为1，求m的值． 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标； （3）过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $