吉林省长春外国语学校2026-2027学年高二上学期第一学程调研数学试题

长春外国语学校2026-2027学年第一学期第一学程调研数学试题 高二年级 数学学科 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．经过点和的直线与斜率为-4的直线互相垂直，则的值为（ ） A．2 B． C． D．4 2．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A． B． C． D． 3．是四面体的棱的中点，点在线段上，且，用向量，，表示，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．已知，，，为坐标原点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 8．在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．在空间直角坐标系中，、、，则（ ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A．四棱锥的外接球表面积为 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．点到直线的距离为 11．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知两个不同平面的法向量分别是，，则这两个平面的位置关系是________． 13．已知两点，，动点在线段上运动，则的取值范围是________． 14．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，则直线与直线之间的距离为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知坐标平面内两点，． （1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； （2）若直线的方向向量为，求的值． 16．（15分）如图，在正三棱柱中，，是的中点． （1）化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； （2）求． 17．（15分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点． （1）求到直线的距离； （2）求到平面的距离． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，， （1）证明：平面平面． （2）求二面角的余弦值． 19．（17分）将一个边长为2的正六边形（图1）沿对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面是正方形． （1）求五面体（图2）中的余弦值； （2）如图3，点，分别为棱，上的动点． ①求周长的最大值，并说明理由； ②当周长最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2026-2027学年第一学期第一学程调研考试高二年级 数学（参考答案） 一、单项选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D A B C A D 二、多项选择题： 9 10 11 ACD ABD BC 三、填空题： 12．平行；13．；14． 四、解答题： 15．（1）直线的倾斜角为锐角时，为钝角时或；（2） 【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 16．（1），如图所示 （2） 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示 （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以， 所以． 17．（1）2 （2） 【详解】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 所以到直线的距离为． （2）由（1）得，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，得， 所以到平面的距离为． 18．（1）证明：因为底面是平行四边形，，所以，． 又，，所以，， 又，，平面，所以平面． 设，则，由，得， 解得（负值已舍去），则，． 因为，所以，故， 因为，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 由图可知，是平面的一个法向量． 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 19．（1） （2）①，理由为： 等腰梯形中，，，由（1）知，连接， 则，，，所以． 所以． 等腰梯形中，，，由（1）知， 连接，则，，，所以，． 如下图 若，显然当与重合，与重合时，最大， 最大值为； 若与不平行，当时，如图展开平面和平面， 与平面在同一平面，过作的平行线，交于点，连接，并延长，与交于点． 此时，， 又 ， 所以的最大值为． 由上图的对称性，同理可得，当时，所的最大值为． 综上所述，在图3中，当与重合，与重合时， 的周长最大，最大为． ② 【详解】（1）如图1，正六边形中，沿对折后，此平行关系不变， 所以折叠后的图2中，，且． 取的中为，的中点为，连接． 因为底面是正方形，所以，即，且． 连接，，则由知：． 因为，、平面，所以平面， 而底面，因此底面平面，交于． 过在平面作直线，交于， 则由底面平面，得底面． 因为、底面，所以，．故，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系： 则，，，． 中，因为，所以， 在等腰梯形中，，，因此，， 所以，所以，， 所以． 所以五面体（图2）中的余弦值为． （2）①略 ②由①知：与重合，与重合，如（1）建立空间直角坐标系，则，． 设平面的法向量为， 因为，， 所以由得，取得，， 因此是平面的一个法向量． 设平面的法向量为． 因为，， 所以由得，取得，， 因此是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为（）， 因此， 即平面与平面夹角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $