黑龙江哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高三上学期第二次质量检测数学试题

哈六中2026–2027学年度上学期高三学年第二次质量检测 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷58分，第II卷92分，共150分． 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则的值为（ ） A． B．2 C． D．-2 4．设是等差数列的前项和，若，则等于（ ） A．2 B．1 C． D．-1 5．下列命题为真命题的是（ ） A．当时，函数的最小值是5 B．函数的图象恒过定点 C．若幂函数是偶函数，则 D．函数的单调递减区间是 6．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．若函数，有4个零点，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知数列满足对任意正整数，恒有，且，，则的前30项的和为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知函数（，）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A． B．图象的一个对称中心为 C．是偶函数 D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象 10．等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．使成立的最小自然数等于2021 11．已知函数，则（ ） A．在和上是单调递减函数 B．当方程有且只有唯一实根时， C．当不等式的正整数解恰有3个时， D．当过点可作曲线的3条切线时，或或 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12．已知向量，满足：，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________； 13．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则外接圆的面积为__________； 14．若函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是__________；若不等式有解，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5道题，共77分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 已知函数． （1）当时，求的值域； （2）若且，求的值． 16．（15分） 等差数列的前项和为，且，，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列； （3）已知数列满足，求数列的前项和． 17．（15分） 在中，角，，的对边分别是，，，若，且． （1）求角； （2）求边； （3）若点为中点，且，点在上，且为的平分线，求的长． 18．（17分） 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）数列满足，求数列的前99项的和的值． 19．（17分） 已知函数． （1）求的最小值； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $1-8 CABA CBDD 9.ABD 10.AD 11.ACD 5v55 1288 13.28元 1 14.0<a<。 3 8(-o,-11+2ln2) 33-7 15.【答案】(1(-1,2](2)4 【f解】1，f)=sn2x+m2r=2n2x+君】 0<x<π 669 s2君}，的酸为， 2 2,e-22+r+}月 35-√7 4 16. 【答案】)0，=2n-1 a=36-a=36-(2m-.所以-a+l）=36-0）, 又因为 =4，所以4-1=30，故数列么-心是首项为3.公比为3的等比数列， 3”,n为奇数 ()所以6，-n=(么-)3=3”，所以6，=3”+n.可得，-2-n为偶数， im=C+C2+c3++c2m+C2m 所以 =(3+33+3++32m)+[(2×2-)+(2×4-)++(2×2n-1] 3-9）3+4n-)n_322 1-9 2 -8 17. 6 【路案1mC-专a=25月9 【解】a)因为0<C<,所以50引 C 又an91 nc-1 c-IC- tan 23,故 23,26,则3： cosC cos sinBsinC (2)因为c a3sinA」 sinc= 2, 由余弦定理及正弦定理得：a+b2-c2+c2-a2 b 2 2abc 2abc 3a 2b2√3b 所以2abc6a,解得c=2V3: (3)由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b-ab, 即有d2+b2-ab=12①： 设M为AB的中点，即CM=2，,如下图： 又因为CM=Ci+cB), 所CM-C+cE+2Ci.c团，即d+6+ab=16②. 由①，②得：a2+b2=14,ab=2, 所以a+b=d+6+2ab=18,所以a+6=32 因为CD为4CB 的平分线，所以 S.4CD+S.RCD=S.ABC -CD-sin30aCD.sin30 1 absin60° 2 2 CD=3ab _213 6 即 a+b3W23. 18. 【答案】)a,=2”:2)S,=2- 2”:(3-9 【详解】a)由受+是++经=neN)0 阳经+学++受=-1a≥2列g 0-②得：是-1,4，=2"(a≥2) 在①式中令n=1得2 得号=1,4=2合适上式，所以对任意的正整数”都有：0=2 1.2 12 ,n-1n +…+ 20+2m 2411 1 n 2”2 1 2”2 2 整理得：S,=2-n+2 2" 1 (3)b.=2”+20, 1 2” 2" 所以 0-=2w”+20=20+2”-20-20(20+2可】 1 所以b,+60n=2西，为定值，则Tg=h+b,++6+b, .99 99 且n=b+hs++h,+h,两式相加得2亚，=20，因此工n=2 19. 【详解】(1)由题得 f(x)=2(x-1+cosx) 当e(,0)时，x-1+cosr<0,所f代)k0f在←.0)上单调道减； 当xe[0,+)时，令=f(.则)=-2sin+2≥0，则（在D,+w)上单调递增。 f2f0)=0,所在Do)上单调道首.所以=/O=0,所四的 最小值为0. (2)法：由f(2-2e+2a-)x+2 整理得sinx≥-e+ax+l,即e+sinr-ax-1≥0， 当x=0时，e+sinx-ax-l≥0恒成立，符合题意： 今8()=c+smr-a-1,则8（国=c+cosr-a,令()=g6因，则=c-simr 当x>0时e>1r(四》0，所以8（在0，+w)上单调递增，所以8）>80)=2-a, 0当a≤2时，g(>2-a≥0，所以80在0+)上单调选增，所以3(>g0)=0 符合题意： ②当a>2时，8o0)-=2-a<0,ga(2+a月-2+cos(2+刃》>0，所以存在 ∈(0，n(2+a》,使得8)=0.当0<x<时，8<g')=0,所以8在 (0,xo 上单词递减，则当0<x<5时，8)水80)=0，不符合题点.综上，实数的取 值范围是（∞2 法二：变参分离+洛必达 (3)由（山知，当x>0时，mx>x- 取x=点k=l23nneN, 6过京京京8 时时沿，。如京时咖m时… -日】.可