3.4函数的应用（一）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

3.4函数的应用（一） 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.能结合一次函数、二次函数、幂函数模型解决简单实际问题，掌握函数建模基本方法，能根据实际问题求解并检验。 2.经历将实际问题转化为函数问题的建模过程，体会数形结合、转化化归思想，提升数学建模与运算求解能力。 3.体会函数知识的实用价值，感受数学与生活的紧密联系，培养学以致用的意识，养成严谨规范的思维习惯。 教学重点 一次、二次、幂函数及分段函数模型在实际问题中的建立与求解；函数建模的基本步骤。 教学难点 从实际情境中抽象变量关系，合理分段并确定定义域，将数学结果还原为实际结论。 教材分析 本节是人教A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》第四节《函数的应用（一）》。核心知识点：利用一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数及分段函数模型解决简单实际问题，掌握函数建模的基本步骤：分析、抽象、建模、求解、检验与作答。 本节是在学生已学习函数概念、表示、性质及一次函数、二次函数、幂函数等基础上，进一步用函数模型解决实际问题。其逻辑是：从出租车计费、个税、行程等真实情境中分析变量关系，抽象出函数模型，利用一次、二次、幂函数或分段函数刻画，再通过运算、图象和检验获得实际结论。知识价值在于发展数学抽象、数学建模和运算求解素养，让学生体会函数是刻画现实世界变化规律的重要工具。教学重点是建立函数模型，尤其是分段函数模型的建立、解析式求解和实际意义解释；难点是合理分段、确定定义域，并用函数结果解释实际问题。 学情分析 高一学生已掌握一元一次方程、一元二次方程、不等式、多项式运算、函数概念、图象和性质，能用待定系数法求简单函数解析式，具备初步数形结合意识。对“模型类型识别”和“由图象、表格归纳函数关系”较易接受，但从复杂实际情境中设元、列函数关系、统一单位、处理分段边界和定义域限制较难，尤其分段函数建模及最值、范围分析容易忽略实际意义。因此教学中应借助出租车计费、个税、行程等熟悉情境，分步引导“找变量—定关系—写解析式—检验”，突破建模难点。教学难点明确为：实际问题的函数抽象与分段建模，以及结果的实际检验。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情境，引入新课】 情境1：我市出租车收费规则为：2公里以内（含2公里）收5元；2公里以上，每增加1公里多收1.2元；小红家离学校3公里，打车需要多少钱？如何将费用 (元)表示成路程 的函数呢？ 【师生活动】 教师提问，学生口答：元。 教师追问：2公里内和2公里以上收费规则是否一致？如何统一表示？ 学生分组讨论，发现需分段表示。 【复习回顾】 （1）一次函数模型：(为常数，)； （2）反比例函数模型：(为常数，)； （3）二次函数模型：(为常数，)； （4）幂函数模型：(为常数，，)； （5）分段函数模型：以上两种或多种模型的综合，应用十分广泛。 以出租车计费这一生活情境激活经验，引出分段函数模型，复习常见函数模型，明确本课学习方向，激发数学建模兴趣。 探究点1：一次函数、二次函数、幂函数模型的应用 【问题引入】 由出租车情境抽象：设路程为 km，费用为 元，则 即，当 时， 元。此即分段函数模型。 进一步回顾一次函数、二次函数、幂函数等模型。 【师生活动】 教师演示列式，提问：“为什么要把收费规则分段？每段对应什么函数？” 学生分组讨论、列式验证，并归纳：现实问题中若变化规律分段不同，应建立分段函数模型。 【详细过程】 现实问题→确定自变量、因变量→寻找等量关系或变化规律→选择函数模型→写出解析式→代值检验→回到实际结论。 通过一次、二次、幂函数模型的实际应用，突破“根据实际关系选择模型”的难点，培养数学建模与运算求解能力。 探究点2：分段函数模型与函数建模步骤 【问题引入】 例1：设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为 （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为 （单位：元）。 （1）求 关于 的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由117600元增加到153600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 【师生活动】 教师引导先求个人应纳税所得额 ，再分段套用税率； 学生独立推导各段解析式，验证端点取值，归纳建模步骤。 【详细过程】 解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得-9600-560=0.8x-70160. 令 ，得 。当 时，。 所以 由题意可得： 当 时，，所以 ； 当 时，，所以 ； 当 时，，所以 ； 当 时，，所以 ； 当 时，，所以 ； 当 时，，所以 ； 当 时，，所以 ； 当 时，，所以 。 所以函数解析式为 （2）当 时， 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为2 752元。 【技巧点拨】 构建函数模型解决实际问题的基本步骤： 第一步：分析、联想、转化、抽象； 第二步：建立函数模型，把实际应用问题转化为数学问题； 第三步：解答数学问题，求得结果； 第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答。 其中最关键的是第二步。 分段函数解题注意事项： 分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏。 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集。 分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论。 以个税计算为真实情境，引导学生经历“现实问题→数学抽象→分段建模→求解检验”的过程，突破分段函数建模与端点处理难点。 探究点3：分段函数图象与里程表模型 【问题引入】 例2：一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 与时间 的关系如下图所示。 （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 与时间 的函数解析式，并画出相应的图象。 【师生活动】 教师演示面积法，提问：“速率—时间图象下面积表示什么？” 学生列式并分段写出里程表读数，画草图，互相检查端点。 【详细过程】 解：（1）阴影部分的面积为 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km。 （2）根据图，有s= 这个函数的图象如图所示（可描关键点：，，，，，）。 通过图象面积与分段函数里程表建模，强化数形结合，发展读图、建模与分段函数求解能力。 探究点4：幂函数与对勾函数模型的应用 【问题引入】 幂函数模型在物理、工程中常见，如流量与半径的四次方成正比；形如 的对勾函数可用于费用最小问题。求解时先设比例系数，再列函数，最后利用基本不等式或单调性求最值。 【师生活动】 学生设比例系数，列函数关系式； 教师引导比较“成正比例”“成反比例”的设法； 学生用基本不等式求最值并检验实际意义。 【例题巩固】 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费 与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费 与仓库到车站的距离成正比。据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用 分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A ) A.5 km处　B.4 km处　C.3 km处　D.2 km处 通过对勾函数与幂函数模型，提升选择模型、求最值和检验结论的能力，体会函数模型在工程与物理问题中的实用价值。 课堂小结 板书设计 3.4 函数的应用（一） 一、常见函数模型 1.一次函数： 2.反比例函数： 3.二次函数： 4.幂函数： 5.分段函数：多种模型综合 二、建模步骤 审题抽象 → 建立模型 → 数学求解 → 还原检验 三、典型例题 例1 个税：应纳税所得额 ； 为分段函数；， 元。 例2 速率—时间图：面积表示路程，5 h 路程 360 km；里程表读数 为分段函数并画图。 四、分段函数注意 分段合理，不重不漏；定义域为各段并集；值域逐段求再比较。 五、即时训练题型 一次、二次函数应用；分段函数应用；幂函数/对勾函数应用。 随堂练习 【题型1 一次函数、二次函数的应用】 1.某地供电公司为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量 与相应电费 （元）之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300 kW·h时，应交电费为( D ) A.130元　B.140元　C.150元　D.160元 2.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 件（单位：件）() 与货价 （单位：元/件）之间的关系为 ，生产 件所需成本 （单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是____。 答案：10。 3.若用模型 描述汽车紧急刹车后滑行的距离 与刹车时的速率 的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m。如果在限速为100 km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m，那么这辆车是否超速行驶？ 解：当 时，，代入 得 ，所以 。 将 代入得 。 答案：没有超速。 【题型2 分段函数的应用】 1.根据统计，一名工人组装第 件产品所用的时间（单位：分）为（为常数）。 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时5分钟，那么 和 的值分别是( C ) A.75，25　B.75，16　C.60，144　D.60，16 2.已知某商品在近30天内每件的销售价格 (元)与时间 (天)的函数关系是 该商品的日销量 (件)与时间 (天)的函数关系是 。 （1）写出该种商品的日销售额 (元)与时间 (天)的函数关系式； （2）求日销售额 的最大值。 解析：（1） （2）当 时，；当 时， 递减， 故 时 。 比较可知第25天时，日销售额最大，是1200元。 【题型3 幂函数和对勾函数的应用】 1.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量 (单位：/s)与管道的半径 的四次方成正比，当气体在半径为5 cm的管道中时，流量为1 250/s，则( AC ) A.当气体在半径为3 cm的管道中时，流量为162 /s B.当气体在半径为3 cm的管道中时，流量为152 /s C.要使得气体流量不小于512 /s，管道的半径的最小值为4 cm D.要使得气体流量不小于512 /s，管道的半径的最小值为32 cm 教学反思 本节课教学目标基本达成：学生能识别一次、二次、幂函数及分段模型，能按“审题—建模—求解—检验”解决简单实际问题；通过个税和里程表例题，对分段函数定义域、解析式及实际意义有较好理解。学习难点仍在建模：部分学生不能从文字或图象中准确提取变量关系，尤其分段点的确定、定义域衔接和结果还原检验易出错。课堂中通过图象面积、税率区间对比进行了引导，但留给学生独立抽象、列式的时间偏少，部分学生仍依赖模仿。改进方向：增加小组合作列函数关系的时间，先画变量关系图再列式；对分段函数设置“找分界—定区间—验端点”专项训练；作业中补充开放情境，强化模型选择与检验意识，促进数学建模素养落实。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $