第3章 培优点4 二次函数的最值问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

该高中数学讲义通过分类表格系统梳理二次函数最值问题的知识体系，将定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间三种类型按“问题情境-解题步骤-方法总结”的逻辑组织，结合例题解析呈现对称轴与区间关系的核心重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层例题设计与方法指导，如动轴定区间问题通过分类讨论对称轴位置培养逻辑推理能力，练习题涵盖基础（如R上最值）、中档（如区间[0,3]最值）、拔高（如含参数区间最值），帮助不同层次学生掌握解题策略，支持学生自主复习，为教师实施精准分层教学提供实用工具。

　二次函数的最值问题 类型一 定轴定区间 　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数f(x)的最大值和最小值： (1)R；　(2)[0，3]；　(3)[－1，1]. 【解】　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7. (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7恒成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以f(x)在x＝2处取得最小值，最小值为f(2) ＝－7.又f(0)＝5，f(3)＝－4，所以函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5. (3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)在x＝－1处取得最大值，最大值为f(－1)＝20；在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝－4. 【方法点拨】　(1)画出函数图象，根据给定的区间截取符合要求的部分． (2)根据图象或单调性写出最大值和最小值． 类型二 动轴定区间 　已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值． 【解】　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]. 当a≥1时，函数f(x)的大致图象如图1中实线所示，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数f(x)的大致图象如图2中实线所示，函数f(x)在[－1，a)上单调递减，在(a，1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数f(x)的大致图象如图3中实线所示，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a. 综上所述，f(x)min＝ 【方法点拨】　“动轴定区间”问题的解题思路 以二次函数图象开口向上、对称轴为直线x＝m、区间为[a，b]为例，则有 (1)最小值：f(x)min＝ (2)最大值：f(x)max＝ 当图象开口向下时，可用类似方法进行讨论． 类型三 定轴动区间 　已知二次函数y＝f(x)，f(0)＝f(8)＝0，f(x)的最大值为16. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)求函数y＝f(x)在区间[t，t＋2]的最大值h(t). 【解】　(1)因为函数y＝f(x)是二次函数，且f(0)＝f(8)＝0，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝4.又f(x)的最大值为16，设f(x)＝a(x－4)2＋16，a<0，由f(0)＝0， 可得a＝－1.所以f(x)＝－(x－4)2＋16＝－x2＋8x. (2)由(1)知，y＝f(x)的图象开口向下，且对称轴为直线x＝4， 若t≥4，则y＝f(x)在[t，t＋2]上单调递减，最大值h(t)＝f(t)＝－t2＋8t； 若t＋2≤4，即t≤2，则y＝f(x)在[t，t＋2]上单调递增，最大值h(t)＝f(t＋2)＝－t2＋4t＋12； 若t<4<t＋2，即2<t<4，则最大值h(t)＝f(4)＝16. 综上所述，h(t)＝ 【方法点拨】　“定轴动区间”问题的解题思路 分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． 1．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为(　　) A．[－6，－2] B．[－11，－2] C．[－11，－6] D．[－11，－1] 解析：选B．函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，所以当x＝2时，f(x)取得最大值，为－(2－2)2－2＝－2，当x＝5时，f(x)取得最小值，为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f(x)的值域是[－11，－2]. 2．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为，则实数a＝(　　) A． B． C．－ D．或－ 解析：选C．函数f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，其图象的对称轴方程为x＝－1.由题可知a<2.若a≤－1，则当x＝－1时，函数f(x)取得最大值，为f(－1)＝4，不满足题意；若－1<a<2，则函数f(x)在区间[a，2]上单调递减，所以当x＝a时，函数f(x)取得最大值，为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去). 3．已知函数f(x)＝－x2＋2ax－3. (1)若函数y＝f(x)在(－∞，1)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)求函数f(x)在[1，2]上的最大值． 解：(1)由已知得f(x)＝－x2＋2ax－3＝－(x－a)2＋a2－3. 所以函数f(x)的图象是开口向下，且对称轴为直线x＝a的抛物线． 因为函数y＝f(x)在(－∞，1)上单调递增，所以a≥1. 故实数a的取值范围是[1，＋∞). (2)当a≤1时，函数y＝f(x)在[1，2]上单调递减，于是f(x)max＝f(1)＝2a－4； 当1<a<2时，函数y＝f(x)在[1，a)上单调递增，在(a，2]上单调递减，于是f(x)max＝f(a)＝a2－3； 当a≥2时，函数y＝f(x)在[1，2]上单调递增，于是f(x)max＝f(2)＝4a－7. 综上，当a≤1时，f(x)max＝2a－4；当1<a<2时，f(x)max＝a2－3；当a≥2时，f(x)max＝4a－7. 学科网（北京）股份有限公司 $