3.4 函数的应用（一）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数模型的实际应用，涵盖一次函数、二次函数、分段函数及图象信息读取等核心知识点。通过阶梯电价、出租车计价等生活情境导入，衔接函数概念与性质，搭建从理论到应用的学习支架。 以生活实例驱动教学，通过物流运费比较、个税计算等案例培养数学建模与直观想象素养，如分段函数构建中强调定义域与分段点，图象面积理解路程体现数学眼光与语言。例题梯度递进且评价多元，助力学生掌握建模步骤，为教师提供可操作的教学方案。

3.4 函数的应用（一） 人教A版 高一 数学 必修第一册 教学设计-2026-2027学年 一、课标要求 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 1. 结合现实情境中的具体问题，利用一次函数、二次函数、幂函数等已知模型，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。 2. 能根据实际情境中的变量关系建立函数解析式（包括分段函数），注意定义域的实际意义，利用函数性质求解并还原为实际问题的答案。 3. 能从图象中读取函数关系信息，解释其实际含义，并据此解决简单的实际问题，提升数学建模与直观想象素养。 二、教材分析 本节位于人教A版必修第一册第三章函数的概念与性质的第4节，是在学生已经掌握函数概念、表示方法及基本性质之后，面向现实世界的一次综合实践。教材指出，我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，通过实例体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。 教材以个人所得税计算为载体，呈现分段函数模型：个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数；应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除。根据个人收入情况，利用获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税。教材还通过速率—时间图象中阴影面积表示行驶路程的情境，引导学生由图象给出的函数关系解决实际问题。对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系。 本节重点是将实际问题抽象为函数模型（尤其分段函数），确定定义域并求解；难点是多段计费类问题中分段点的确定与解析式的建立，以及图象信息的读取与实际意义的解释。 三、学情分析 1. 知识储备：学生已学习了一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质，掌握了函数的三种表示方法，具备初步的代数运算能力。 2. 认知困难：从实际问题中提取变量关系并建立解析式是学生的薄弱环节，尤其分段函数的分段点确定、各段解析式的拼接定义域容易出错；从图象中读取信息时，对面积代表路程等隐含几何意义缺乏直觉。 3. 应对策略：以贴近生活的计费、纳税情境为驱动，按分析变量关系→建立解析式→利用性质求解→还原实际答案的步骤展开，辅以图象直观演示，帮助学生跨越从文字到数学模型的障碍。 四、单元教学重点 1. 利用函数模型解决实际问题的过程与方法：分析实际问题中的变量关系→建立函数解析式（注意定义域）→利用函数性质求解→还原为实际问题的答案。 2. 分段函数模型的建立与运用，特别是个人所得税等分段计费问题中解析式的构建与求解。 3. 由图象给出的函数关系解决实际问题，理解图象的几何特征与实际意义的对应。 五、课时学习评价 1. 过程性评价：课堂探究中观察学生能否正确提取变量、写出定义域、拼接分段解析式，能否解释图象面积的实际含义。 2. 表现性评价：通过例题板演和课堂练习，评价学生运用一次函数、二次函数、分段函数模型求解实际问题的准确性与规范性。 3. 自我评价：学生对照利用函数模型解决实际问题的四步流程，反思自身在建模与还原环节的完成度。 六、教学过程 1. 情境导入 教师活动：教师展示生活中常见的阶梯电价账单和出租车计价截图，提问——这些费用是按照单一标准计算的吗？为什么用得越多单价反而越高？你能用数学语言描述费用与用量之间的关系吗？ 学生活动：学生观察账单结构，发现费用随用量分段变化，尝试口头描述不同用量区间对应不同单价的规律。 设问1：阶梯电价中，月用电量200千瓦时以内和超过200千瓦时的部分，电费计算方式相同吗？答案：不相同。200千瓦时以内按基础电价计算，超过200千瓦时的部分按更高电价计算，属于分段计费。 设问2：出租车起步价2公里8元，超出部分每公里2元，车费与里程之间是简单的正比例关系吗？答案：不是。2公里以内车费固定为8元，超出部分才按每公里2元累加，整体是分段函数关系。 教师活动：教师小结——现实世界中很多问题涉及函数，我们应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系。今天就来学习如何用函数模型解决这类实际问题。 2. 探究新知——一次函数模型应用 教师活动：教师给出例1——某物流公司运送一批货物，用大型货车运输时，装卸费为400元，运输途中每公里运费为6元；用小型货车运输时，装卸费为200元，运输途中每公里运费为8元。设运输路程为x公里（x＞0），大型货车运费为y₁元，小型货车运费为y₂元。请写出y₁、y₂与x的函数解析式，并讨论运输多少公里时两种方案费用相同。 学生活动：学生独立写出解析式，然后同桌互查定义域和表达式是否正确。 解析：根据题意，大型货车运费由装卸费和里程运费组成，故 y₁ = 6x + 400（x＞0）；小型货车运费同理，y₂ = 8x + 200（x＞0）。令 y₁ = y₂，即 6x + 400 = 8x + 200，解得 2x = 200，x = 100。当 x = 100 时，y₁ = y₂ = 1000 元。所以运输100公里时两种方案费用相同。当 x＜100 时，y₂＜y₁，选小型货车更省钱；当 x＞100 时，y₁＜y₂，选大型货车更省钱。 答案：y₁ = 6x + 400（x＞0），y₂ = 8x + 200（x＞0）；运输100公里时两种方案费用相同。 3. 探究新知——二次函数模型应用 教师活动：教师给出例2——某网店销售一款文具，进价为每件10元。当售价为每件20元时，每天可售出50件。市场调研表明：售价每提高1元，日销量减少2件。设售价为x元（x∈[10，35]），日利润为y元。求y与x的函数解析式，并求售价为多少时日利润最大，最大利润是多少？ 学生活动：学生分组讨论利润的计算方法，尝试写出销量与售价的关系，再构建利润函数。 解析：售价为x元时，比20元提高了（x−20）元，日销量减少 2(x−20) 件，故日销量为 50 − 2(x−20) = 90 − 2x 件。每件利润为（x−10）元，所以日利润 y = (x−10)(90−2x) = −2x² + 110x − 900（x∈[10，35]）。配方得 y = −2(x−)² + 。因为 = 27.5 ∈ [10，35]，所以当 x = 27.5 时，y 取最大值 = 612.5 元。此时日销量为 90 − 2×27.5 = 35 件。 答案：y = −2x² + 110x − 900（x∈[10，35]）；售价为27.5元时日利润最大，最大利润为612.5元。 4. 探究新知——分段函数模型应用（个人所得税） 教师活动：教师介绍个人所得税的背景，板书关键公式——个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数；应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除。然后给出例3——根据简化税率表，全年应纳税所得额不超过36000元的部分税率为3%，超过36000元至144000元的部分税率为10%（速算扣除数2520）。设全年应纳税所得额为t元（t＞0），个税税额为T元。求T与t的函数解析式，并分别计算t=30000和t=80000时的个税税额。 学生活动：学生阅读税率表，理解分段累进计税规则，在教师引导下逐段写出解析式。 解析：当 0＜t≤36000 时，T = 0.03t。当 36000＜t≤144000 时，前36000元按3%计税为1080元，超出部分（t−36000）按10%计税，故 T = 1080 + 0.1(t−36000) = 0.1t − 2520。验证：当 t = 36000 时，0.1×36000−2520 = 3600−2520 = 1080，与第一段端点值一致，解析式拼接正确。当 t = 30000 时，30000∈(0，36000]，T = 0.03×30000 = 900 元。当 t = 80000 时，80000∈(36000，144000]，T = 0.1×80000−2520 = 8000−2520 = 5480 元。 答案：T = {0.03t, 0＜t≤36000; 0.1t−2520, 36000＜t≤144000}；t=30000时个税税额为900元，t=80000时个税税额为5480元。 5. 探究新知——由图象给出的函数关系解决实际问题 教师活动：教师给出例4——一辆汽车在平直公路上行驶，0到4分钟内匀速行驶，速度为30米/分钟；4到8分钟内停车休息，速度为0；8到14分钟内继续匀速行驶，速度为20米/分钟。设行驶时间为t分钟，速度为v米/分钟。请画出v关于t的图象（简图），并用分段函数表示v与t的关系。再求0到14分钟内汽车行驶的总路程。 学生活动：学生先在草稿纸上画速率—时间图象，再写出分段解析式，最后讨论如何求总路程。 解析：速度函数 v(t) = {30, 0≤t≤4; 0, 4＜t≤8; 20, 8＜t≤14}。在速率—时间图象中，每段矩形阴影面积表示该时段的行驶路程。第一段路程 = 30×4 = 120 米；第二段路程 = 0×4 = 0 米；第三段路程 = 20×6 = 120 米。总路程 = 120 + 0 + 120 = 240 米。 答案：v(t) = {30, 0≤t≤4; 0, 4＜t≤8; 20, 8＜t≤14}；0到14分钟内汽车行驶总路程为240米。 6. 巩固练习 教师活动：教师布置以下练习题，要求学生独立完成并板演。 练习1：某市出租车收费规则为：起步价10元（3公里以内），超过3公里的部分每公里2元（不足1公里按1公里计）。设行驶里程为x公里（x为正整数），车费为y元。求y与x的函数解析式，并计算x=8时的车费。 解析：当 x≤3 时，y = 10。当 x＞3 时，y = 10 + 2(x−3) = 2x + 4。当 x = 8 时，8＞3，y = 2×8 + 4 = 20 元。 答案：y = {10, x≤3且x为正整数; 2x+4, x＞3且x为正整数}；x=8时车费为20元。 练习2：一个农场种植某种作物，每亩施肥量为x千克（0≤x≤40），作物亩产量y（千克）与施肥量的关系近似满足 y = −0.5x² + 20x + 300。求施肥量为多少时亩产量最大，最大亩产量是多少？ 解析：y = −0.5x² + 20x + 300 = −0.5(x² − 40x) + 300 = −0.5(x−20)² + 500。因为 20∈[0，40]，所以当 x = 20 时，y 取最大值 500 千克。 答案：施肥量为20千克时亩产量最大，最大亩产量为500千克。 7. 课堂小结 教师活动：教师引导学生回顾本节课的学习内容，提问——利用函数模型解决实际问题的一般步骤是什么？分段函数建立解析式时要注意什么？图象中阴影面积通常代表什么实际量？ 学生活动：学生口述回顾，补充完善。 设问1：利用函数模型解决实际问题的一般步骤是什么？答案：分析实际问题中的变量关系→建立函数解析式（注意定义域）→利用函数性质求解→还原为实际问题的答案。 设问2：分段函数建立解析式时要注意什么？答案：要明确各分段区间的端点归属，确保端点处不重复不遗漏，各段解析式在拼接点处函数值应一致（若实际问题连续）。 设问3：速率—时间图象中阴影面积代表什么？答案：代表该时段内行驶的路程。 七、课堂小结 1. 本节课通过物流运费、网店利润、个人所得税、汽车行驶等实际问题，体会了利用函数模型解决实际问题的过程与方法。 2. 一次函数模型适用于匀速变化中的方案比较；二次函数模型适用于含最值优化的实际问题；分段函数模型适用于阶梯计费、累进税率等分段变化的情境。 3. 由图象给出的函数关系，要注意图象的几何特征（如面积、斜率）所对应的实际意义，选择恰当的方法表示问题中的函数关系。 八、板书设计 1. 利用函数模型解决实际问题的步骤：分析变量关系→建立解析式（注意定义域）→利用性质求解→还原实际答案。 2. 例1：y₁ = 6x + 400（x＞0），y₂ = 8x + 200（x＞0）；x = 100 时费用相同。 3. 例2：y = −2x² + 110x − 900（x∈[10，35]）；x = 27.5 时最大利润612.5元。 4. 例3：个税公式——个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数；T = {0.03t, 0＜t≤36000; 0.1t−2520, 36000＜t≤144000}。 5. 例4：v(t) = {30, 0≤t≤4; 0, 4＜t≤8; 20, 8＜t≤14}；总路程=240米。 九、教学反思 1. 成功之处：以阶梯电价和出租车计费导入，贴近学生生活，激发了学习兴趣。四个例题梯度合理，从一次函数到二次函数再到分段函数和图象信息读取，层层递进，覆盖了本节核心知识点。 2. 不足之处：个人所得税的累进税率计算对部分学生仍有难度，个别学生在确定分段端点归属时出现混淆，将36000元归入第二段。图象面积代表路程的几何直觉建立不够充分，部分学生需要更多直观演示。 3. 改进方向：后续可增加更多生活中的分段计费实例（如水费、燃气费）供学生课后练习；在图象信息读取环节，可借助动态演示工具展示面积累积过程，帮助学生建立速率图象面积与路程的直观联系。 学科网（北京）股份有限公司 $