3.3幂函数（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

3.3幂函数 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.理解幂函数的概念，掌握常见幂函数的图像与性质，能利用幂函数性质比较大小。 2.通过画幂函数图像、探究性质，体会数形结合思想，提升观察归纳能力。 3.感受幂函数图像的变化规律，激发探究兴趣，养成严谨的数学思维习惯。 教学重点 幂函数概念；五个常见幂函数的图象与性质；利用幂函数性质比较大小。 教学难点 从具体函数概括幂函数定义；根据指数 分类讨论图象与性质；利用单调性、奇偶性解决比较大小和综合问题。 教材分析 本节为人教A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》第三节《幂函数》，面向高一学生。核心知识点包括：幂函数的概念，五个常见幂函数 、、、、 的图象与性质，利用幂函数性质比较大小，以及简单的综合应用。 本节从购买蔬菜、正方形面积、正方体体积、正方形边长、骑车速度等实例出发，抽象出 、、、、 等函数，再概括为 ，形成幂函数概念，强调系数为1、底数为自变量、指数为常数。随后通过五个常见幂函数的图象与性质，建立“定义域—图象—性质—应用”的研究路径，突出数形结合、分类讨论和由具体到一般的归纳。知识价值在于完善函数模型体系，为后续指数函数、对数函数等研究提供方法示范。教学重点是幂函数概念、常见幂函数图象与性质及比较大小。 学情分析 学生已掌握函数概念、单调性、奇偶性，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，能列表描点画图并观察性质；具备整数指数幂和根式运算基础。学习幂函数概念时，从实例抽象出 并归纳“系数为1”等特征较为容易，但易将 、 误判为幂函数。五个幂函数画图中， 的定义域、 的间断与渐近特征需要关注。由具体图象归纳一般性质、按 与 分类讨论，以及利用单调性比较幂大小或解决含参问题，是学习难点。教学难点为：从具体到一般归纳幂函数性质，并灵活运用性质比较大小与解决综合问题。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 情境1：请同学们写出下列示例中的函数关系，思考这些函数有什么共同特点？ 如果张红以 元/kg 的价格购买了某种蔬菜 kg，那她需要支付的金额 为？ 如果正方形的边长为 ，那么正方形的面积 表达式为？ 如果立方体的棱长为 ，那么立方体的体积 表达式为？ 如果一个正方形场地的面积为 ，那么这个正方形场地的边长 表示为？ 如果某人 s 内骑车行进了 km，那么他骑车的平均速度 表示为？ 【师生活动】 教师提问，学生独立列式； 教师引导学生统一自变量与函数值符号，学生观察并归纳共同特征。 详细过程： ； ； ； ； 。 把自变量全部用 表示，函数值用 表示，则函数关系式是： ，，，，。 共同特征： 都具有幂的形式； 均是以幂的底为自变量； 幂的指数都是常数； 自变量前的系数为 。 因此，它们都是形如 的函数， 取值可以是任何实数。 从生活实际抽象函数模型，激发学习兴趣，明确研究幂函数的方向，体现“现实问题→数学抽象”的过程。 探究点1 幂函数的概念 【问题引入】 观察 ，，，，，它们能否统一成一般形式？ 【师生活动】 教师引导学生从“底数、指数、系数”三方面观察； 学生分组讨论、归纳共性，尝试抽象定义。 详细过程： 一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 为常数。 注： ① 中 前的系数为 ，且后面没有常数项；②定义域与 的取值有关；③α 取值可以是任何实数。 技巧点拨： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 （ 为常数）的形式，需满足： ①指数为常数；②底数为自变量；③ 的系数为 。 形如 ，， 等形式的函数都不是幂函数。 【例题巩固】 辨析1：下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？ （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 。 解：根据幂函数定义需满足三个条件：①指数为常数；②底数为自变量；③ 的系数为 。 （1），是幂函数； （2）系数为 ，不是； （3）含 ，不是单一幂形式； （4），是幂函数； （5）底数为常数、指数为自变量，不是； （6）系数为 ，不是。 辨析2：（1）在函数 ，，， 中，幂函数的个数为（ B ） A. B. C. D. （2）若函数 是幂函数，且满足 ，则 的值等于________。 【答案】。 通过辨析强化幂函数形式特征，突破“系数为 、单一项”的概念理解难点，培养抽象概括能力。 探究点2 幂函数的图象与性质 【问题引入】 思考1：结合前面学习函数的经验，应该如何研究 ，，，， 这五个幂函数？ 提示：先求函数定义域，画出函数图象，研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等。 【师生活动】 教师演示描点或几何画板作图，学生分组列表、画图、填表，并归纳共性。 详细过程： 问题1：在同一坐标系中画出五个常见幂函数的图象，小组合作完成下表。 问题2：观察它们在同一直角坐标系中的图象，还能发现哪些共性和个性？ （1）幂函数图象不过第四象限。 （2） 时，图象恒过点 ，； 时，图象恒过点 。 （3）当 为奇数时，幂函数为奇函数；当 为偶数时，幂函数为偶函数。 （4）幂函数在第一象限的单调性：，在第一象限内递增； 时，图象下凹； 时，图象上凸；，在第一象限内递减。 时，指大图高。 幂函数的一般性质技巧点拨： （1）所有的幂函数在 上都有定义，且图象都过点 。 （2）当 时，幂函数的图象通过原点，且在区间 上是增函数。特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸。 （3）当 时，幂函数的图象在区间 上是减函数。 【例题巩固】 例1：判断并证明幂函数 是增函数。 【分析】利用单调性的定义证明即可，注意定义域优先原则。 【证明】函数的定义域是 。 任取 ，且 ， 有 。 因为 ，， 所以 ，即 。 故幂函数 是增函数。 通过列表、画图、归纳，体会数形结合思想；通过例题巩固定义法证明单调性及图象法比较函数值大小，提升观察归纳与严谨表达能力。 课堂小结 板书设计 3.3幂函数 一、定义 （ 为常数） 特征：①系数为 1；②底数为自变量；③指数为常数；④无常数项。 二、五个常见幂函数 公共点：都过 ； 时还过 。 三、一般性质 1.所有幂函数图象不过第四象限。 2.：在 增； 下凸， 上凸。 3.：在 减。 4.奇偶性： 为奇数时奇函数， 为偶数时偶函数。 四、题型方法 1.判断幂函数：看是否形如 。 2.图象问题：指大图高。 3.比较大小：同指数看单调性；异指数化同指数或借 比较。 4.证明单调性：定义法，定义域优先。 5.综合应用：求解析式、奇偶性、单调性、解不等式。 五、思想方法 数形结合、分类讨论、转化化归。 随堂练习 【题型1 幂函数的概念问题】 1、已知 是幂函数，则 ______。 解：因为 是幂函数， 所以 ，， 得 或 。 已知幂函数 在 上单调递增，则 等于（ B ）。 A. B. C. D. 【题型2 幂函数的图象问题】 1.若点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上， 问当 为何值时，（1） ；（2） ；（3）。 【解析】设 ，则 ，所以 ，即 。 同理可得，。 画出 和 的函数图象， 则由图象可知： 当 或 时，； 当 时，； 当 时，。 【答案】 或 ； ；。 2.若四个幂函数图象 在同一坐标系中的图象如图所示，则 的大小关系是（ B ）。 A. B. C. D. 【题型3 比较幂的大小】 1. 比较下列各组数中两个数的大小。 （1），； （2） ，，； （3） ， 解：（1）因为函数 在区间 上是增函数，又 ，所以 。 （2）因为函数 在区间 上是增函数，又 ，所以 。 （3）因为函数 在区间 上是增函数，又 ，，所以 。 因为函数 在区间 上是增函数，又 ，，所以 。 于是 。 2.比较下列各组数中两个数的大小。 （1） 与 ； （2） 与 。 解：（1）因为幂函数 在 上是单调递减的，又 ，所以 。 （2）因为 ，幂函数 在 上是单调递增的，且 ，所以 ，即 【题型4 综合应用】 1. 已知幂函数 图象经过点 ，求满足条件 的实数 的取值范围。 解：因为 是幂函数，所以设 。 因为该函数图象经过点 ，所以 ，即 。 由 ，得 解得 。 所以实数 的取值范围为 。 2. 已知幂函数 为偶函数。 （1）求 的值； （2）若 ，求实数 的值。 解：（1）因为 是幂函数，所以 ，解得 或 。 又 为偶函数，当 时，为奇函数，舍去；当 时， 为偶函数。 所以 ，。 （2）由 ，可得 。 即 解得 或 。 教学反思 本节课通过生活情境抽象出幂函数概念，借助五个常见幂函数图象与性质表，基本达成“理解概念、掌握图象性质、会比较大小”的目标；概念辨析和单调性比较大小反馈较好。数形结合有效突破公共点、第一象限变化规律等难点，但部分学生由图象判断指数大小仍依赖记忆，负指数幂比较时分类讨论意识不足；用定义证明单调性时，对定义域优先和分子有理化处理不够规范。综合题中借助奇偶性、单调性解不等式仍需引导。后续可增加 变化动态演示，留足小组画图交流时间，设计分层变式，强化“同指数看单调、异指数化同指数或借 1 比较”的策略，并加强定义法证明的规范训练。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $