3.3 幂函数教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 3.3　幂函数 一、教学目标 1．理解幂函数的概念，能识别形如的函数为幂函数，掌握幂函数与指数函数的本质区别，能从生活实例中抽象出幂函数模型。 2．掌握五个常见幂函数、、、、的图象与性质，包括定义域、值域、奇偶性和单调性。 3．能运用幂函数的单调性比较两个幂值的大小，并能利用单调性定义证明幂函数的单调性，提升逻辑推理与数学运算能力。 二、教学重难点 教学重点：幂函数的概念及五个常见幂函数的图象与性质。 教学难点：利用定义证明幂函数的单调性，归纳幂函数图象随指数变化的规律。 三、本节内容和内容解析 本课时从五个生活实例归纳出幂函数的概念，再在同一坐标系中画出、、、、时的图象，通过观察图象填写性质表，最后利用定义证明幂函数的单调性，形成从概念到图象到性质再到证明的完整认知线索。 四、学情分析 学生已学过函数概念及单调性、奇偶性的定义，具备画函数图象的基本技能，但对幂函数这一新函数类缺乏整体认识，容易将幂函数与指数函数混淆，在利用定义证明单调性时分子有理化的变形技巧尚不熟练。 五、教学准备 教师准备：多媒体课件、五个常见幂函数图象演示动画。 学生准备：预习教材幂函数部分内容，回顾函数单调性与奇偶性的定义。 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境引入: 教师活动：回顾已学函数类型，给出购买蔬菜、正方形面积、立方体体积等五个生活实例的函数解析式，引导学生观察共同特征，引出幂函数概念。 学生活动：观察五个实例的解析式，归纳底数为自变量、指数为常数的共同特征，明确本课研究任务。 (二)新课讲授 教师活动： （1）识别幂函数：判断函数解析式是否形如，其中底数为自变量，指数为常数。 （2）确定定义域与性质：根据指数的取值确定自变量的允许范围，再结合图象讨论值域、奇偶性和单调性。 （3）比较大小：利用幂函数在相应区间的单调性，将同底数幂的大小比较转化为自变量的大小比较，如在上递增时由可得。 教师活动：1．说明幂函数的定义，强调底数为自变量、指数为常数，与指数函数区分。2．在同一坐标系中展示五个常见幂函数的图象，引导学生观察图象特征并填写性质表。 · 一次幂函数：， · 二次幂函数：， · 三次幂函数：， · 开方幂函数：， · 反比幂函数：， 3．教师强调五个幂函数图象均过点，在第一象限内随指数增大图象从平缓到陡峭，的图象向上与纵轴无限接近、向右与横轴无限接近。 学生活动：记录公式表，熟悉五个幂函数的解析式与简化形式。 例题讲评： 例1．已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式，并说明其实际意义。 解：设所求幂函数为，将点代入，得，即，解得。 所以所求函数解析式为，即，定义域为，表示当正方形面积为时其边长为的对应关系。 答案： 例2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）与；（2）与。 解：（1）令，该函数在上单调递增。 因为，所以，即。 （2）令，该函数在上单调递减。 因为，所以。 即。 答案： 例3．已知气体通过圆形管道的流量与管道半径的四次方成正比，写出关于的函数解析式，并求当时的比例系数，再计算时的流量。 解：由题意设，其中为比例常数。 将、代入，得，即，解得。 所以流量表达式为。 当时，。 答案： (三)课堂练习 1．下列函数中是幂函数的是 A． B． C． D． 答案： 2．（多选）关于五个常见幂函数的性质，下列说法正确的是 A．图象都经过点　B．是奇函数 C．在上单调递减　D．的定义域为 答案： 3．（多选）已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是 A．　B．函数定义域为 C．函数在定义域上单调递增　D．函数是偶函数 答案： (四)课堂小结 1．幂函数概念：形如的函数称为幂函数，其中底数为自变量，指数为常数，要能与指数函数区分。 2．五个常见幂函数的图象与性质：图象都过点；、、是奇函数，是偶函数；在上、、、单调递增，单调递减。 3．应用方法：利用幂函数单调性比较大小是核心应用，利用定义证明单调性时需注意分子有理化等变形技巧，证明时取任意两个自变量作差判断符号。 (五)布置作业 完成教材课后习题第1题、第2题、第3题。 学科网（北京）股份有限公司 $