29.1.2 第2课时过三点的圆教学设计 2026—2027学年人教版九年级数学上册

2026-10-14

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普通

29.1.2 第2课时过三点的圆教学设计

课题	29.1.2 过三点的圆（第2课时）	学科	数学
年级	九年级	教材版本	人教版（2024）
课时	1 课时	课型	新授课
教学目标	1. 通过实例体会反证法的含义，知道它是证明问题的一种方法；2. 了解用反证法证明的基本思路和一般步骤，会用反证法进行简单的证明.
教学重点	理解反证法的含义；了解用反证法证明的基本思路.
教学难点	了解用反证法证明的一般步骤，会用反证法进行简单的证明.

教学过程

教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
环节一情境导入	一、情境导入【数学文化】王戎七岁，尝与诸小儿游，看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动. 人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李.” 取之信然. 译文：王戎七岁的时候，有一次和一些小孩儿出去游玩，看见路边的李树挂了很多果，压弯了树枝，小孩儿们争先恐后跑去摘李子，只有王戎站着不动. 别人问他，他回答：“树长在路边，还有这么多李子，这一定是苦的李子.” 拿李子来一尝，果真是苦的. 【问题】王戎是如何知道李子是苦的？他用了什么方法进行推断的？【师生活动】学生小组讨论，师生一起分析. 【答案】假设“李子　　　　”，李树长在路边，有许多人采摘，李子少⇒与已知条件“树在道旁而多子”产生矛盾，假设　　　　⇒结论“树在道旁而多子，此必苦李”是正确的. 答案：甜；不成立. 【归纳】王戎用了间接推理和判断的方法，从反面论述了李子为什么是苦的. 这种“先假设结论的反面成立，推出矛盾，从而肯定结论”的思路，正是本节课要学习的反证法的雏形.	学生阅读王戎识李的故事，小组讨论王戎的推断过程，体会从反面思考问题的推理方式.	通过一个故事引出反证法，让学生借助熟悉的生活情境初步感知“反面假设加矛盾推翻”的推理结构，激发学习兴趣.
环节二探究反证法	二、探究反证法：经过同一条直线上的三点不能作圆【问题】上节课我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆. 那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？如图，A	学生画图感知“共线三点不能作圆”，在教师带领下完成反证法证明的全过程，通过	以“共线三点不能作圆”为载体完整经历反证法的证明过程，帮助学生建立反证

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

环节一
情境导入

一、情境导入

【数学文化】王戎七岁，尝与诸小儿游，看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动. 人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李.” 取之信然.

译文：王戎七岁的时候，有一次和一些小孩儿出去游玩，看见路边的李树挂了很多果，压弯了树枝，小孩儿们争先恐后跑去摘李子，只有王戎站着不动. 别人问他，他回答：“树长在路边，还有这么多李子，这一定是苦的李子.” 拿李子来一尝，果真是苦的.

【问题】王戎是如何知道李子是苦的？他用了什么方法进行推断的？

【师生活动】学生小组讨论，师生一起分析.

【答案】假设“李子　　　　”，李树长在路边，有许多人采摘，李子少⇒与已知条件“树在道旁而多子”产生矛盾，假设　　　　⇒结论“树在道旁而多子，此必苦李”是正确的.

答案：甜；不成立.

【归纳】王戎用了间接推理和判断的方法，从反面论述了李子为什么是苦的. 这种“先假设结论的反面成立，推出矛盾，从而肯定结论”的思路，正是本节课要学习的反证法的雏形.

学生阅读王戎识李的故事，小组讨论王戎的推断过程，体会从反面思考问题的推理方式.

通过一个故事引出反证法，让学生借助熟悉的生活情境初步感知“反面假设加矛盾推翻”的推理结构，激发学习兴趣.

环节二
探究反证法

二、探究反证法：经过同一条直线上的三点不能作圆

【问题】上节课我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆. 那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？如图，A

学生画图感知“共线三点不能作圆”，在教师带领下完成反证法证明的全过程，通过

以“共线三点不能作圆”为载体完整经历反证法的证明过程，帮助学生建立反证

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教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
	，B，C 三点在同一条直线 l 上. A，B，C 三点在同一条直线 l 上【师生活动】学生自己动手画图，得出结论，教师展示动画. 【答案】过同一条直线上的三个点不能作圆. 【思考】如何证明你的结论？假设经过 A，B，C 三点可以作一个圆【师生活动】教师给出已知和求证，学生独立思考，教师带领学生完成证明. 教师教学时注意向学生说明：实际上，点 P 是不存在的，是根据假设画出来的. 已知：A，B，C 是直线 l 上的三点. 求证：经过 A，B，C 三点不能作一个圆. 证明：假设经过同一条直线 l 上的 A，B，C 三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为 P. ∵PA＝PB＝PC，∴点 P 既在线段 AB 的　　　　　l1 上，也在线段 BC 的　　　　　l2 上，即点 P 为 l1 与 l2 的交点. 而 l1⊥l 与 l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点　　　　　　　与已知直线垂直”矛盾. ∴经过同一条直线上的三点不能作圆. 答案：垂直平分线；垂直平分线；有且只有一条直线. 【新知】上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线上的三点可以作一个圆），再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛	填空抓住“假设—矛盾—否定假设”的关键环节.	法的基本思路，理解假设出的点 P 是为推出矛盾而设的.

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

，B，C 三点在同一条直线 l 上.

A，B，C 三点在同一条直线 l 上

【师生活动】学生自己动手画图，得出结论，教师展示动画.

【答案】过同一条直线上的三个点不能作圆.

【思考】如何证明你的结论？

假设经过 A，B，C 三点可以作一个圆

【师生活动】教师给出已知和求证，学生独立思考，教师带领学生完成证明. 教师教学时注意向学生说明：实际上，点 P 是不存在的，是根据假设画出来的.

已知：A，B，C 是直线 l 上的三点.

求证：经过 A，B，C 三点不能作一个圆.

证明：假设经过同一条直线 l 上的 A，B，C 三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为 P.

∵PA＝PB＝PC，∴点 P 既在线段 AB 的　　　　　l1 上，也在线段 BC 的　　　　　l2 上，即点 P 为 l1 与 l2 的交点.

而 l1⊥l 与 l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点　　　　　　　与已知直线垂直”矛盾.

∴经过同一条直线上的三点不能作圆.

答案：垂直平分线；垂直平分线；有且只有一条直线.

【新知】上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线上的三点可以作一个圆），再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛

填空抓住“假设—矛盾—否定假设”的关键环节.

法的基本思路，理解假设出的点 P 是为推出矛盾而设的.

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教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
	盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫作反证法. 【设计意图】通过探索，让学生通过实例体会反证法的含义，知道反证法是一种间接证法，初步了解用反证法证明的基本思路，培养逻辑推理的能力.
环节三初步应用	三、初步应用：反证法简单证明【练习1】已知：在△ABC 中，AB≠AC. 求证：∠B≠∠C. 证明：假设　　　　　　，∴　　　　　　.（　　　　　）这与　　　　　　　矛盾. 假设不成立. ∴　　　　　　. 【师生活动】学生独立完成，一名学生展示答案. 答案：∠B＝∠C；AB＝AC；等角对等边；已知 AB≠AC；∠B≠∠C. 【设计意图】通过习题，加深学生对反证法的含义及用反证法证明的基本思路的理解.	学生独立完成练习1 的填空证明，口述每一步的依据，一名学生展示答案，互查假设的写法是否针对结论.	通过结构完整的填空证明，让学生按“假设—推导—矛盾—结论”的框架走完反证法全过程，巩固基本思路.
环节四拓展证明	四、拓展证明：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆【问题】上节课我们度量发现：过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆. 如何证明这个结论？【练习2】已知：四边形 ABCD 中，∠B+∠D＝180°. 求证：A，B，C，D 四点共圆. 四边形 ABCD 【师生活动】教师展示问题，师生共同写出已知、求证；学生分组讨论证明思路，思考并尝试回答，教师给出提示. 【分析】不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过 A，B，C 三点的⊙O，再证明第四点（点 D）在⊙O 上.	学生分组讨论证明思路，在教师提示下作出辅助圆与辅助线，独立完成点 D 在圆外情况的证明，体会“结论反面有多种情况时必须一一否定”.	通过完整的反证法证明，让学生理解假设结论反面后要穷尽所有可能情况并逐一推出矛盾，感受数学的严谨性，培养推理能力.

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