29.1.2 过三点的圆 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

29.1.2 过三点的圆

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2026）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

（1）理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并掌握其运用，了解三角形的外接圆和三角形外心的概念；

（2）了解反证法的证明思想；

（3）经历从一点、两点到三点作圆的探究过程，体会分类讨论与转化思想。

教学重点

不在同一直线上的三个点确定一个圆及运用。

教学难点

反证法的证明思路。

教学方法

操作探究法、分类讨论法、反证归纳法

教学准备

直尺、圆规、多媒体课件

课后练习

必做：教材第120页习题6、8题；巩固：教材第118、119页练习。

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、复习导入

【复习导入】

1.圆的两种定义是什么？

2.圆上这些点到圆心的距离如何？

3.如果圆外有一点呢？圆内呢？请画图想一想。

老师点评：（1）在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆；圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点组成的图形。（2）圆上各点到圆心的距离都等于半径。（3）经画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径，圆内的点到圆心的距离小于半径。

4.点与圆的位置关系如何用半径和点到圆心的距离来表述？（点 P 在圆外⇔d>r、在圆上⇔d=r、在圆内⇔d<r）

教师过渡：知道了圆的概念，自然要研究“确定一个圆需要什么条件”。即圆的确定性。

（设计意图：复习两种定义与点与圆位置关系，为探究“确定圆的条件”做铺垫。）

回答圆的两种定义、圆上点到圆心距离及点与圆位置关系的表述。

复习旧知，自然引出“确定圆的条件”这一探究问题。

二、

【探究新知】确定圆的条件

类比“经过一点可以作无数条直线、经过两点只能作一条直线”，探

按一点、两点、三

经历分类作图与归纳，理解

探究新知
确定圆的条件

究经过一点、两点、三点能作几个圆：

（1）作圆，使该圆经过已知点 A，你能作出几个这样的圆？

（2）作圆，使该圆经过已知点 A、B，你是如何作的？能作出几个？其圆心的分布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？

（3）作圆，使该圆经过已知点 A、B、C（三点不在同一直线上），你是如何作的？能作出几个？

师生演示：（1）经过一点可作无数多个圆；（2）连接 AB，作 AB 的垂直平分线，垂直平分线上的点到 A、B 距离都相等、都满足条件，可作出无数个，圆心分布在 AB 的中垂线上，且与该线段互相垂直。

老师演示（3）作法：①连接 AB、BC；②分别作线段 AB、BC 的中垂线 DE 和 FG，两线相交于点 O；③以 O 为圆心、以 OA 为半径作圆，☉O 就是所要求作的圆。

因为直线 DE 与 FG 只有一个交点 O，且点 O 到 A、B、C 三个点的距离都相等（垂直平分线上的任一点到两端点的距离相等），所以经过 A、B、C 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆。

重要结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆。也就是说，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心。

（设计意图：通过一点、两点、三点作圆的分类探究，归纳“三点确定一个圆”及外接圆、外心概念。）

点分别作图，观察圆心位置与个数变化，归纳“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，识记外接圆、外心。

圆的确定性，建立外接圆、外心概念。

三、反证法
证三点共线

【反证法】证明三点共线不能作圆

证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆。

证明：假设过同一直线 l 上的 A、B、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l₁ 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l₂ 上，即点 P 为 l₁ 与 l₂ 的交点；而 l₁⊥l、l₂⊥l，

理解反证法“假设结论不成立→推理得矛盾→原命题成立”的思路，口述证明过程。

以具体证明呈现反证法的四步流程，突破反证法这一难点。