29.1.2　过三点的圆教学设计2026-2027学年人教版九年级上册数学

该初中数学教学设计聚焦“过三点的圆”核心知识，涵盖不在同一直线上三点确定一个圆的定理，三角形外接圆、外心概念及反证法应用。课堂导入通过回顾圆的定义与弦、弧等旧知，引导学生动手画过一点、两点的圆，逐步探究三点情况，搭建知识衔接的学习支架。 此资料以动手作图和探究验证为特色，学生自主尝试画圆并对比分析，培养几何直观与空间观念。结合不同三角形外心位置辨析及反证法推理，发展推理意识与创新思维。分层作业满足差异化需求，助力教师高效教学，提升学生数学探究能力与逻辑表达能力。

2026--2027学年（上）九年级数学教学设计 教学设计教案 课 题 29.1.2　过三点的圆 备课人 课 时 第2课时 课 标 解 读 与 教 材 分 析 课标要求：理解不在同一直线上的三个点确定一个圆的定理，掌握三角形外接圆、外心的概念。能区分外心位置特点，会简单绘制三角形的外接圆。 教材分析：本课承接圆的基本概念，探究圆的确定性规律，是圆作图的重要依据。首次引入外接圆与外心概念，衔接三角形与圆的关联，为后续圆的综合探究埋下伏笔。 教 学 目 标 1.通过观察实验，使学生了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.了解三角形的外接圆、外心等概念，会过不在同一条直线上的三个点作圆. 3.会用反证法进行简单推理，使学生体验解决问题策略的多样性. 教 学 重 点 与 难点 重点 1.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.（重点） 难点 2.经历“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.（难点） 媒 体教 具 教案、教材、课件 教学 方法 采用动手作图、探究验证、总结归纳法。让学生自主尝试两点、三点画圆，通过实操对比得出定理，结合不同三角形辨析外心位置，突破认知难点。 教 学 过 程 知识链接：上节课我们学习了圆的定义及弦、弧等概念，试回顾相关知识. 创设情境—— 探究点一：三角形的外接圆与外心 画一画：如图①②，分别过一个点A和两个点A，B作圆，并思考所作圆的个数. 思考：经过不在同一条直线上的三个点作圆（如图③），情况会怎样呢？ 归纳总结：不在同一条直线上的三个点确定一个圆（借助作垂直平分线找圆心）. 已知：不在同一直线上的三个点A，B，C（如图①），求作：☉O，使它经过点A，B，C. 探究点二：三角形的外接圆与外心 知识讲解：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 思考：已知一个三角形，要作出它的外接圆，要先找出什么？只需要作几条边的垂直平分线？ 探究：如图①，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. 归纳总结：外心的位置由三角形的形状决定.锐角三角形：外心在三角形内部.直角三角形：外心在斜边的中点处.钝角三角形：外心在三角形外部. 下列说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”. （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆；（　 　） （2）任意一个圆有且只有一个内接三角形；（ 　） （3）经过三点一定可以确定一个圆；（　 　） （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.（　 　） 探究点三：反证法 小组交流：过同一直线上的三点可以作圆吗？ 如图，已知点A，B，C在直线l上.求证：过点A，B，C不能作圆. 思路：假设可以作圆→得出相关条件→与原有知识矛盾→假设不成立. 归纳总结：反证法步骤：①假设原命题不成立；②以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）；③得出假设不成立，从而原命题成立. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于等于60°. 1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，若要去商店配到一块与原来大小一样的圆形镜子，则应该带去商店的碎片是（　　） A.① B.② C.③ D.均不可能 2.[补图作答]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，则Rt△ABC的外接圆的半径长为　　. 3.已知AB＝4cm，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是　　cm. 4.用反证法证明“在△ABC中，如果∠A＜∠B，那么BC＜AC”时，第一步应假设　 　. 5.如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E.求证：点D与点E不重合.（用反证法证明） 6.【新课标尺规作图】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高.请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）. 板 书设 计 29.1.2过三点的圆 分 层作 业 A 层（基础）：熟记三点定圆定理，区分三角形外心的定义。 B 层（提升）：能独立画出锐角、直角、钝角三角形的外接圆。 C 层（拓展）：探究特殊三角形外心的特殊位置与几何性质。 教 学反 思 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026--2027学年（上）九年级数学教学设计 教学设计教案 课 题 29.1.2　过三点的圆 备课人 课 时 第2课时 课 标 解 读 与 教 材 分 析 课标要求：理解不在同一直线上的三个点确定一个圆的定理，掌握三角形外接圆、外心的概念。能区分外心位置特点，会简单绘制三角形的外接圆。 教材分析：本课承接圆的基本概念，探究圆的确定性规律，是圆作图的重要依据。首次引入外接圆与外心概念，衔接三角形与圆的关联，为后续圆的综合探究埋下伏笔。 教 学 目 标 1.通过观察实验，使学生了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.了解三角形的外接圆、外心等概念，会过不在同一条直线上的三个点作圆. 3.会用反证法进行简单推理，使学生体验解决问题策略的多样性. 教 学 重 点 与 难点 重点 1.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.（重点） 难点 2.经历“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.（难点） 媒 体教 具 教案、教材、课件 教学 方法 采用动手作图、探究验证、总结归纳法。让学生自主尝试两点、三点画圆，通过实操对比得出定理，结合不同三角形辨析外心位置，突破认知难点。 教 学 过 程 知识链接：上节课我们学习了圆的定义及弦、弧等概念，试回顾相关知识. 创设情境——见配套课件 探究点一：三角形的外接圆与外心 画一画：如图①②，分别过一个点A和两个点A，B作圆，并思考所作圆的个数.（无数个） 思考：经过不在同一条直线上的三个点作圆（如图③），情况会怎样呢？ 有且只有一个，所作圆的圆心在三条线段的垂直平分线的交点上. 归纳总结：不在同一条直线上的三个点确定一个圆（借助作垂直平分线找圆心）. 已知：不在同一直线上的三个点A，B，C（如图①），求作：☉O，使它经过点A，B，C. 解：（1）如图②，连接AB，BC； （2）分别作出线段AB，BC的垂直平分线DE，GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的☉O的圆心； （3）以点O为圆心，OC长为半径作圆.则☉O就是所求作的圆. 探究点二：三角形的外接圆与外心 知识讲解：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 思考：已知一个三角形，要作出它的外接圆，要先找出什么？只需要作几条边的垂直平分线？圆心，2条. 探究：如图①，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. 解：作图如图②所示.连接OB，作OD⊥BC于D，如图③，则∠ODB＝90°，∠OBD＝∠ABC＝30°，BD＝CD＝BC＝1.∴OD＝BD＝.∴OB＝2OD＝.即☉O的半径为. 归纳总结：外心的位置由三角形的形状决定.锐角三角形：外心在三角形内部.直角三角形：外心在斜边的中点处.钝角三角形：外心在三角形外部. 下列说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”. （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆；（　√　） （2）任意一个圆有且只有一个内接三角形；（　×　） （3）经过三点一定可以确定一个圆；（　×　） （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.（　√　） 探究点三：反证法 小组交流：过同一直线上的三点可以作圆吗？ 如图，已知点A，B，C在直线l上.求证：过点A，B，C不能作圆. 思路：假设可以作圆→得出相关条件→与原有知识矛盾→假设不成立. 证明过程见课件展示. 归纳总结：反证法步骤：①假设原命题不成立；②以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）；③得出假设不成立，从而原命题成立. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于等于60°. 证明过程见课件展示. 1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，若要去商店配到一块与原来大小一样的圆形镜子，则应该带去商店的碎片是（　A　） A.① B.② C.③ D.均不可能 2.[补图作答]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，则Rt△ABC的外接圆的半径长为　　. 3.已知AB＝4cm，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是　2　cm. 4.用反证法证明“在△ABC中，如果∠A＜∠B，那么BC＜AC”时，第一步应假设　BC≥AC　. 5.如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E.求证：点D与点E不重合.（用反证法证明） 证明：假设点D与点E重合.又∵AD是△ABC的中线，AE⊥BC， ∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC，这与AC＞AB相矛盾. ∴假设不正确，从而点D与点E不重合. 6. 【新课标尺规作图】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高.请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）. 解：如图，☉O即为所求. 板 书设 计 29.1.2过三点的圆 分 层作 业 A 层（基础）：熟记三点定圆定理，区分三角形外心的定义。 B 层（提升）：能独立画出锐角、直角、钝角三角形的外接圆。 C 层（拓展）：探究特殊三角形外心的特殊位置与几何性质。 教 学反 思 1 学科网（北京）股份有限公司 $