精品解析：山东省烟台市莱州市第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026级高一第一次质量检测数学试题 试卷说明：1．试卷分值：150分；建议时长：120分钟； 2．请将答案正确填写到相应的答题区域． 一、单选题（本题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 4. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （且） 10. 下列说法不正确的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. 关于的不等式的解集为，若，则 C. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” D. 若，则函数的最小值为2 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值为6 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 13. 某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 14. 设矩形（）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. (1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 17. 设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题与命题q一真一假，求实数m的取值范围． （3）设命题p为真时m的取值集合为A，命题q为真时m的取值集合为B．若“”是“”的充分不必要条件，其中集合，求实数a的取值范围． 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． （1）求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． （2）为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一第一次质量检测数学试题 试卷说明：1．试卷分值：150分；建议时长：120分钟； 2．请将答案正确填写到相应的答题区域． 一、单选题（本题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式得或，则或， 因为，所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合方式不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由，得，即，故充分； 由，得，即，则或，故不必要. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知函数则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式求解函数值即可. 【详解】. 故选：B 4. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，分析该元素与集合、、的关系，可得结果. 【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，，， 所以，阴影部分区域所表示的集合为. 故选：C. 5. 设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若，则. 当时，，满足，所以符合题意； 当时，若，则，解得. 综上，. 6. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式函数中分母不为0得，恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】由函数的定义域为R，得，恒成立. 当时，恒成立； 当时，，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C. 7. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得和2是方程的两个根，且，利用韦达定理可得，代入所求不等式化简即可求出. 【详解】因为不等式的解集为， 和2是方程的两个根，且， 所以，可得， 则不等式化为， 由，则可整理得，解得， 故不等式的解集为. 故选：D. 8. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （且） 【答案】AD 【解析】 【分析】运用代入法，结合换元法逐一判断即可. 【详解】C选项：令，∴，∴， ∴，故C错误； A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； D选项：（且），故D正确． 故选：AD 【点睛】关键点睛：利用换元法求函数解析式是解题的关键. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. 关于的不等式的解集为，若，则 C. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” D. 若，则函数的最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据充分条件，必要条件定义即可判断；对于B，利用二次不等式的解法和集合间的包含关系求解即可判断；对于C，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；对于D，由基本不等式取等号的条件即可判断； 【详解】当时，成立； 当时，成立，不成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故A错； 等价于， 若，则不等式的解集，此时不成立； 若，则不等式的解集，此时成立； 若，则不等式的解集，此时不成立;故B对； 命题“任意，则”的否定是“存在，则”故C对； 由基本不等式可得，， 但使成立的值不存在，所以等号不成立，故D错误; 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值为6 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，从解出，即可得解；选项B，由已知得到 ，利用基本不等式求解；选项C，由，直接使用基本不等式求解； 选项D，由已知得到，代入，利用求解. 【详解】选项A，，， ，，，，，， ，，，，故选项A正确； 选项B，，，， ，，，当且仅当时取等号， 即，解得，的取值范围是，故选项B错误； 选项C，，，， ，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为，故选项C正确； 选项D，，，， ，，，，， ，当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 13. 某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 【答案】43 【解析】 【分析】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，根据题意画出维恩图求解. 【详解】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C， 由题意画出维恩图，如图所示： 全班人数为（人）. 故答案为：43 14. 设矩形（）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由图形对称可得，，在中，由勾股定理可得，求出，利用基本不等式求出最值. 【详解】设，由题可得，则， 又，，，， 在中，，即， 解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 当时，， 因为，所以； 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 若是空集，则，得； 若不是空集，则，得， 则实数的取值范围为或 16. (1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 【答案】（1）（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用配凑法求出解析式. （3）根据给定条件，利用方程组法求出解析式. 【详解】（1）令，则。 代入已知等式可得， ， 所以. （2）依题意，，又的值域为， 所以. （3）由，得， 两式联立消去得，解得， 所以的解析式为. 17. 设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题与命题q一真一假，求实数m的取值范围． （3）设命题p为真时m的取值集合为A，命题q为真时m的取值集合为B．若“”是“”的充分不必要条件，其中集合，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先分别求解命题、为真时实数的取值范围，再结合逻辑命题真假规则、充分不必要条件与集合真子集的对应关系依次解答三个小题。 【小问1详解】 命题为真的条件： 对任意，恒成立， 函数在上单调递增，最小值为， 因此只需，整理得，因式分解为， 解得. 因此，当为真命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题为真的条件： 存在，使得成立， 函数开口向上，对称轴为， 在上单调递减，最小值为， 因此只需，解得. 命题、一真一假，分两类讨论： ① 真假：，即 ② 假真：，即 综上所述：. 【小问3详解】 由(1)(2)得，，故， “”是“”的充分不必要条件，等价于 ，其中， 因此需满足，即实数的取值范围为. 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）通过讨论的正负，结合判别式即可求解； （2）通过讨论，，，，，即可求解. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意， 当时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由，可得， ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为. 综上可得，的解集如下， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 19. 徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． （1）求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． （2）为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 【答案】（1）最小值为，，. （2）(i)60，(ii)的最小值为，，. 【解析】 【分析】根据题意列出关系式，利用不等式与“1”的代换进行求解。 【小问1详解】 由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元， 云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且 ， 因为为正整数，故， 当时，成立， 故的最小值为，此时，. 【小问2详解】 (i)由于，， 则，整理得， 当且仅当，时等号成立. 因此的最小值为60. (ii)， 因为为正整数，故， 当时，成立且， 故的最小值为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $