精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

哈六中2026—2027学年度上学期高一学年第一次质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设全集，集合是3的倍数，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，下列对命题的否定表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，集合，且，则集合共有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 4. 已知函数， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. ，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知均为实数，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，条件，下列条件中使成立的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数为一次函数，满足 ，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 11. 设为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 当取最小值时， D. 的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分． 12. 已知函数 ，则的值为__________． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________． 14. 已知函数满足 ，对于正数满足 ，则的最小值为___________． 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值，并求此时的值． 16. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ． 17. 某报社要印制一张矩形海报，四周留白：上、下各留 2，左、右各留 1，已知中间印刷部分（矩形）的面积恒为 288 ．设印刷区的宽为，高为（ ）． （1）写出整个海报（含白边）的面积关于的解析式，并写出定义域； （2）当取何值时，整个海报面积最小？最小面积是多少？ 18. 已知 ；不等式的解集包含区间． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，求实数的取值范围； （3）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若，且的解集为，求函数的解析式； （2）若，，解关于x的不等式； （3）若，，对于任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈六中2026—2027学年度上学期高一学年第一次质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设全集，集合是3的倍数，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，解得，所以， 由题意知，，所以. 2. 已知命题：，，下列对命题的否定表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题：，的否定为，. 3. 已知集合，集合，且，则集合共有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得集合可以是共4个. 4. 已知函数， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，即，则， 所以 可转化为， 所以， 所以． 5. ，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式对任意恒成立， 只需不超过在上的最小值， 因为在上单调递减，所以当时取得最小值 所以，即 解得，故实数的取值范围是. 6. 已知均为实数，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先由大小关系及和为0确定、的符号，对B、C用反例判断，对D作差并判断各因式的符号． 【详解】对于A，由且， 若，则、，从而，矛盾，故； 若，则、，从而，矛盾，故． 于是，又，所以，故A正确； 对于B，由，等价于，但可能为负． 例如、、满足题设，却有，故B错误； 对于C，取、、，有，故C错误； 对于D，由、、及， 得， 所以恒成立，故D正确． 7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数定义域为，等价于对任意恒成立. 当时，不等式化为，恒成立，满足条件； 当时，二次函数图象开口向上，需，解得； 当时，二次函数图象开口向下，不可能在全体实数上恒大于 0，舍去.综上，，故实数的取值范围为. 8. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以， 因为， 所以当时，； 当时，， 综上，实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，条件，下列条件中使成立的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】使成立的充分不必要条件为集合的真子集. 【详解】因为等价为，解得，故， 设条件是使成立的充分不必要条件，则⫋， ⫋故A正确；，故B错误；，故C错误；⫋，故D正确. 10. 已知函数为一次函数，满足 ，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】设（），则 由，比较系数得, 由得或, 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以. 对照选项，B、D均满足题意. 11. 设为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 当取最小值时， D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为为正实数，且. 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当取最小值时，，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分． 12. 已知函数 ，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意知，，则. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数需满足，解得， 故函数的定义域为. 14. 已知函数满足 ，对于正数满足 ，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将替换为后联立求出，再由乘积条件确定两个因子的正性，平移变量后利用基本不等式求最小值，并核对取等条件． 【详解】将替换为，得，与原式联立，消去得，故． 于是，，由，得，即． 由于，两因子同号． 若两因子均为负，则由知且，从而，与其等于矛盾． 所以，． 令，，则，且，，所以． 由基本不等式，，故． 当且仅当时等号成立，结合及，解得，，即，，此时满足原乘积条件． 因此的最小值为． 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值，并求此时的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不等实根，则，解不等式求出k的取值范围； （2）先用韦达定理展开条件等式解出k，结合第一问范围舍去增根，再利用根差公式计算求解． 【小问1详解】 由题意可知，方程有两个不相等的实数根，所以其判别式， ， 解得， 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 根据韦达定理，对于方程的两根满足： ，． 已知条件为： 展开左边： ，将和代入上式： ， 整理得到关于的一元二次方程：， 解得，由第（1）问可知，实数的取值范围是， 故，所以 ． 16. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）利用一元二次不等式的解法求解即可； （3）利用分式不等式的解法求解即可； （4）利用绝对值不等式的解法求解即可； （5）利用穿针引线法求解即可. 【小问1详解】 由题意得，故不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得，，故不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意得，，解得或， 故不等式的解集为. 【小问4详解】 由题意得，解得，故不等式的解集为 【小问5详解】 令得， 再利用穿针引线法得不等式的解集为. 17. 某报社要印制一张矩形海报，四周留白：上、下各留 2，左、右各留 1，已知中间印刷部分（矩形）的面积恒为 288 ．设印刷区的宽为，高为（ ）． （1）写出整个海报（含白边）的面积关于的解析式，并写出定义域； （2）当取何值时，整个海报面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） ，定义域为： （2）当 cm 时，整个海报面积最小，最小面积为 【解析】 【分析】（1）由印刷区的宽为，以及中间印刷部分（矩形）的面积恒为 288 可得，代入，再由以及即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【小问1详解】 整个海报的面积 为总宽度与总高度的乘积： ，将 代入上式 得 = ， 将 代入 ： 得到 ，结合 ， 可得，因此，定义域为： 【小问2详解】 =+296=2 96+296=392 当且仅当 ， ， 解得 时取等号，满足定义域 所以，当 cm 时，整个海报面积最小，最小面积为 ． 18. 已知 ；不等式的解集包含区间． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，求实数的取值范围； （3）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由为真命题，只需要满足即可求解； （2）由为真命题，对方程 进行因式分解，再由不等式的解集包含区间，对进行讨论即可求解； （3）由若，中有且仅有一个真命题，对，分别进行讨论，即可求解. 【小问1详解】 由为真命题，需满足，即： ，即， 解得 或 ． 【小问2详解】 方程 可因式分解为 ，两根分别为 和 , 当 时 此时 ，不等式的解集为 , 要使 ，需满足 ，解得 ， 当 时 ，不等式变为 ，解集为 ，显然 ，故 不合题意， 当 时 ，此时 ，不等式的解集为 ， 由于 ，解集 中的所有元素均为负数， 而区间 中的元素均为正数，故 ． 因此，当 时，无解， 若为真命题，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知 真： ， 假： ， 真： ，假： ， 当真且假时，求集合 = ， 当假且真时，求集合 =， 所以若 中有且仅有一个真命题，实数的取值范围为： . 19. 已知函数，． （1）若，且的解集为，求函数的解析式； （2）若，，解关于x的不等式； （3）若，，对于任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）由直接得常数项.的解集为，说明抛物线开口向上，方程两根为和.根据韦达定理，代入，求出a，b，得到解析式. （2）将，代入，移项整理不等式，因式分解，得到含参数a的二次不等式.分类讨论：，，，再比较两根大小，写出对应解集. （3），，得，写出表达式，代入，并化简.整理式子，出现，换元：令，，原恒成立不等式转化为，分离出参数b，利用均值不等式结论求出的b范围. 【小问1详解】 由，得：. 因为的解集为 ，所以方程 的两个实数根为，，且. 根据韦达定理： 解得：，. 所以函数的解析式为：. 【小问2详解】 代入参数并整理不等式： ，原不等式变为：， 移项整理得：，即， 时：原不等式化为，，所以此时不等式的解集为：. 时：原不等式化为. 若，解得，此时不等式的解集为； 若，解得，此时不等式解集为； 若，解得，原不等式化为，此时不等式的解集为. 时：原不等式化为：，此时，解得不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由题可知，，，则 设. 因为， 所以， 令，因为，由均值不等式可知，即. 设，， 因为，当且仅当时取“=”，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $