精品解析：山东德州市德城区第十中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷2026.10.8

德城区第十中学2026-2027学年九上第1次月考 数学试卷 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、为分式方程，不是一元二次方程； B、含两个未知数，不是一元二次方程； C、未说明，当时不是二次方程，故不一定是一元二次方程； D、满足一元二次方程的条件，一定是一元二次方程，故选项D符合题意． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式进行解答即可． 【详解】解：由题意，可知， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据单循环赛规则，每组x个球队的比赛总场数为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵每组有个球队，单循环赛每两队之间赛一场， ∴总比赛场数为， 又∵每组安排28场比赛， ∴可列方程． 故选：D． 6. 二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，y随x的增大而增大 C. y有最大值为 D. y有最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A. 此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5 B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05） C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D. 篮球出手时离地面的高度是2m 【答案】A 【解析】 【分析】A.设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B.根据函数图象判断；C.根据函数图象判断；D.设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2.5时，即可求得结论． 【详解】解：A.∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5． ∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5， ∴a=﹣， ∴y=﹣x2+3.5． 故本选项正确； B.由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05）， 故本选项错误； C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5）， 故本选项错误； D.设这次跳投时，球出手处离地面hm， 因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5， ∴当x=﹣2.5时， h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m． ∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m． 故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键． 8. 如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键． 本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案． 【详解】解：正方形边长为4，， ，， ， 是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上， 从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意． 但是B的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意． 故选：A． 9. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是α，β，则的值是（ ） A. 10 B. 3 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，整体代入求值即可． 【详解】解：，β是方程的根， ，， ， 则原式． 10. 已知抛物线y＝4x2＋2x＋m，当－1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是（ ） A. 或－6＜m≤－2 B. 或－6≤m＜－2 C. －6≤m≤－2 D. m≥－2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知抛物线与x轴有且只有一个公共点，即和图象只有一个交点，进而作出图象利用数形结合思维进行分析可得答案. 【详解】解：等价于 抛物线与x轴有且只有一个公共点， 即为和图象只有一个交点， 当，当，作图如下： 数形结合可得：或， ∴或. 故选：A. 【点睛】本题考查抛物线与平行x轴线的交点问题．注意抛物线与x轴有且只有一个公共点， 即为和图象只有一个交点． 二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为． 12. 已知点，，在二次函数的图象上，则、、的大小关系为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的表达式，求出该函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性进行分析，即可进行解答． 【详解】解：根据题意得： 该函数的对称轴为直线， ∴点A到对称轴的距离为：， 点B到对称轴的距离为：， 点C到对称轴的距离为：， ∵，． ∴该函数开口向下， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴，增减性和对称性的相关内容． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式大于0及二次项系数不为0列不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得：， ， 实数k的取值范围为且， 故答案为：且． 14. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 15. 若飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后，滑行________m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【分析】飞机着陆后停下来时滑行距离达到最大，因此只需要求出给定二次函数的最大值即可． 【详解】解：， 整理得， ∵， ∴有最大值，当时，取得最大值，即飞机滑行后停下来． 16. 已知经过点且对称轴为的二次函数的图象如图所示，有以下结论：；；；；；（m为任意实数）．正确结论是_____________（填序号）． 【答案】③⑥ 【解析】 【分析】由开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定a，b，c符号；代入特殊x的函数值，结合对称轴公式，逐个判断六条结论正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ． 对称轴为直线，整理得，，则． 抛物线与轴交于正半轴， ． ①，，故①错误． ②当时，，图像过，，故②错误． ④由对称轴得，即，故④错误． ③当时，对应点在轴上方，，故③正确． ⑤，又时，代入： 故不成立，⑤错误． ⑥时，函数取得最大值，即当时，的值大于等于任意时的函数值： 两边消去，得到（为任意实数），故⑥正确． 综上，正确结论为③⑥． 三．解答题（本大题共7题，满分86分） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）无实数根． 【解析】 【小问1详解】 解：，，， ， ， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或 解得或， ， 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得或， ，． 【小问4详解】 解：， ，，， 原方程无实数根． 18. 二次函数的图象顶点坐标为，且过． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数图象的增减性是解题的关键． （1）由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解； （2）根据的取值范围和函数图象增减性即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴设抛物线顶点式为：， ∵二次函数的图象过， 代入抛物线解析式得：， 解得：， 故二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，其中，对称轴为直线， ∴在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴直线右侧随的增大而增大， 又∵到直线的距离大于到直线的距离，且当时，，当时，， ∴当时，函数值的取值范围是． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 【答案】（1），自变量的取值范围是且为整数． （2）每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． （3）每件商品的售价定为55元或60元时，每个月的利润为3500元；当每件售价在55元至60元之间且为整数时，每个月的利润不低于3500元． 【解析】 【分析】（1）根据“月利润=每件利润×月销售量”的等量关系列函数解析式，结合售价上限与x为正整数的条件确定自变量取值范围． （2）用配方法将二次函数化为顶点式，结合x的整数性与取值范围确定最大利润及对应售价． （3）令，解一元二次方程得到对应x值，进而得到售价；结合二次函数的开口方向确定利润不低于3500元的售价范围． 【小问1详解】 解：每件利润为元，则月销售量为件， ∴． ∵每件售价不高于70元， ∴， 解得． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是且x为整数． 【小问2详解】 解：． ∵， ∴当时，y有最大值． ∵x为正整数，且， ∴当或时，y取得最大值3542． 此时售价为（元）或（元）． 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． 【小问3详解】 解：令，则， 整理得， 解得，， 对应售价为（元）或（元）， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元． 21. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1） （2）如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，，在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，则有．设点的坐标为，然后可得，当时，，进而求解方程即可． 【小问1详解】 解：将点和的坐标分别代入，得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 令，得， ， ； ． ， ； ． 设点的坐标为． ∵点在第一象限， ， ， 解得． 当时，， 即， 解得． ∵点在第一象限， ； ； ∴点的坐标为． 23. 已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，． （1）求二次函数的表达式． （2）若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围． （3）若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先根据题意易得二次函数图像的对称轴为直线，然后利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）中二次函数解析式可得，，由可得关于的不等式，求解即可获得答案； （3）首先将该二次函数解析式化为顶点式，然后分二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度和二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度，结合函数图像求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图像经过点，，， 二次函数图像的对称轴为直线， ， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，得， ， ， ， 解得， m的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵， 可分情况讨论： ①当二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度时，如下图， 新函数的表达式为，当时，新函数取到最大值1， ， 解得或（舍去）， ； ②当二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度时，新函数的表达式为， 对称轴为直线， 当时，如下图， 新函数在处取得最大值1，即， 解得，都不符合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值，最大值为4，不合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值1，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德城区第十中学2026-2027学年九上第1次月考 数学试卷 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，y随x的增大而增大 C. y有最大值为 D. y有最小值为 7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A. 此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5 B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05） C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D. 篮球出手时离地面的高度是2m 8. 如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是α，β，则的值是（ ） A. 10 B. 3 C. D. 11 10. 已知抛物线y＝4x2＋2x＋m，当－1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是（ ） A. 或－6＜m≤－2 B. 或－6≤m＜－2 C. －6≤m≤－2 D. m≥－2 二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 12. 已知点，，在二次函数的图象上，则、、的大小关系为_________． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________． 14. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 15. 若飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后，滑行________m才能停下来． 16. 已知经过点且对称轴为的二次函数的图象如图所示，有以下结论：；；；；；（m为任意实数）．正确结论是_____________（填序号）． 三．解答题（本大题共7题，满分86分） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 二次函数的图象顶点坐标为，且过． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求函数值的取值范围． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 21. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，，在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，． （1）求二次函数的表达式． （2）若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围． （3）若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $