山东枣庄市第十五中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级阶段评估卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意要求． 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，相交于点，下列结论中不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 4．在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，，则四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 5．如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 6．输入一组数据，按如图所示程序进行计算，输出结果如下表： 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（ ） A． B． C． D． 7．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A． B． C． D． 8．现定义运算“★”，对于任意实数，，都有，如：．若，则实数的值是（ ） A． B． C．或 D．或 9．一张矩形纸片，已知，，小明按如图所示步骤折叠纸片，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则的值是（ ） A． B． C．或 D．不存在 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．如图，在中，，为斜边的中点，，，则的长为_________． 12．如图，在中，于点，点在边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是_________（写出一个即可）． 13．阅读材料：如果，分别是一元二次方程的两个实数根，那么有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式_________． 14．菱形的边长为5，两条对角线交于点，且，的长分别是关于的方程的根，则的值为_________． 15．如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（7分）（1）解方程：． （2）如图，四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是矩形． 17．（8分）如图，已知是矩形的对角线． （1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）连接，，则四边形是什么四边形？并说明理由． 18．（8分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（）的求根公式时，对于的情况，她是这样做的： 由于，方程变形为 ，…第一步 ，…第二步 ，⋯第三步 ，⋯第四步 ．⋯第五步 （1）嘉淇的解法从第__________步开始出现错误；事实上，当时，方程（）的求根公式是__________； （2）用配方法解方程：． 19．（8分）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 20．（10分）如图，在等腰中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，． （1）求证：四边形是正方形． （2）当点在什么位置时，四边形的面积最小？并求四边形面积的最小值． 21．（10分）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：海川学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为，且，求和的长． （2）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 22．（12分）综合与探究 【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形，连接对角线，在上取一点，连接，延长至点，连接，交于点，且． 【观察发现】（1）如图1，小明连接，小伙伴们发现了与之间存在一定的关系，其数量关系为__________，位置关系为__________． 【探索猜想】（2）如图2，小明连接，小伙伴们发现了和之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究和之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，小明将正方形改为菱形，当时，请直接写出与之间的数量关系． 23．（12分）如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． （1）若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ （2）若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ （3）若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $