第三章 §3.1 3.1.2 第1课时　椭圆的简单几何性质 知识点讲练 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学习目标　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题． 导语 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 一、椭圆的几何性质 问题1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 问题2　观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示　利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度． 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆． 知识梳理 椭圆的离心率：e＝∈(0,1)． 注意点： (1)e＝＝. (2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． 反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝. 二、由椭圆的几何性质求标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e＝. 解　(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得a＝3， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得b＝3， 因为e＝， 所以＝， 把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.