精品解析：山东省青岛市即墨区岘山中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题

九年级12月数学随堂测试 一、单选题 1. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键． 根据成比例线段的定义，若是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴，即， ∵，，， ∴，故选项B正确； 故选：B． 3. 如图，某人从山脚下的点A走了后到达山顶的点B处，已知点B到山脚的垂直距离为，则山的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及坡度坡角的运用，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度和水平宽的比． 先根据勾股定理求出水平距离的长，再根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理得， 山的坡度， 故选：C． 4. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次的图象与性质，由次函数的图象与轴有两个交点，可得，进而求出的取值范围，即可判断得解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵次函数的图象与轴有两个交点， ∴，解得：或， ∴选项符合题意， 故选：． 5. 某商场一月份的营业额为万元，第一季度营业总额为万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为， 即， 故选：B． 6. 将二次函数的图象先向上平移2个单位，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，轴对称的性质．根据二次函数平移的规律，得到平移后的解析式，然后根据二次函数图象关于x轴对称变换的规律，即可求解． 【详解】解：把二次函数图象先向上平移2个单位 所以，得到的函数的解析式为：． 再把所得图象进行x轴对称变换后的解析式为：， 所以，所得图象的函数解析式为． 故选：C． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得． 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 二、填空题 9. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，根据，设，则，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为： 10. 计算：______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数计算，将特殊角的三角函数值代入计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 如图，与是以原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则与的相似比为__________． 【答案】##2 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式并代入数值，进行计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的相似比． 故答案为：． 12. 对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义，根据运算“”的定义将方程转化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：，． 13. 如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质证明，得到，再根据，代入计算即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 14. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是__________．（只填写序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 先利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称性方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②进行判断；由于时，，则可对③进行判断；由于时，，则，然后把代入可对④进行判断； 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ，所以①错误； 抛物线与一次函数的图象相交于，两点， 点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，， 所以②正确； 时，， ，所以③正确； 时，， ， ， ， 即，所以④错误； 故答案为：②③ 三、解答题 15. 已知：如图，中，，求作：菱形，使菱形的顶点在边上． 【答案】 解：如图菱形即为所求 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的判定，菱形的判定，先根据无刻度直尺作图方法作垂直平分线，然后通过平行四边形的判定，菱形的判定证明即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点， 连接，交于点，交于点， 以为圆心，长为半径画弧，交于点， 连接， ∴菱形即为所求； 理由：由作图可知：垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 16. （1）解方程：； （2）二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？若相交，请求出它们的交点坐标；若不相交，请说明理由． 【答案】（1），；（2）相交，交点坐标为， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、解一元二次方程． （1）根据因式分解法可以解答此方程； （2）由两个图象相交得，解方程得x的值，将其代入一次函数可得y值，即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ∴或， 解得，； （2）相交． 假设两个图象相交，则有，， 解得，， 当时，； 当时，； 交点坐标为，． 17. 小颖为学校联欢会设计了一个“摸牌”游戏，游戏规则如下：准备，两组相同的牌，每组四张且大小一样，四张牌的牌面数字分别是，，，．将两组牌分别洗均后，牌面朝下放在不透明的桌面上，游戏者从，两组牌中各摸出一张牌，将组牌的牌面数字作为十位数字，组牌的牌面数字作为个位数字组成一个两位数，若这个两位数是偶数，则游戏者获胜．请运用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 【答案】游戏者获胜的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，用列表法列出所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中这个两位数是偶数的结果有种， ∴， 答：游戏者获胜的概率为． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： （1）； （2）连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵点E，F是对角线上的三等分点， ∴， ∴． （2）四边形为正方形 理由如下： 如图，连接交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后可证明，再利用来判定即可得解； （2）如图，连接交于，证明，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形，证明，可得四边形为正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟记特殊四边形的判断方法是解本题的关键． 19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 20. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）、； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； 【小问3详解】 解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 21. 青岛世园会音乐喷泉位于李沧区百果山森林公园内的天水湖，是中国最大的音乐喷泉之一，伴随或激昂或舒缓的音乐，水柱编织出了各种美妙图案，最高可达80余米，吸引了众多游客前来观赏．若把音乐喷泉形状看作抛物线，设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点都在过原点的直线变动，从而产生不同的抛物线型水线如图1． （1）如图2，若某条抛物线型水线的顶点在直线上，且喷出的水线最大高度达，求此时的抛物线解析式； （2）如图3，若三条抛物线型水线、和的顶点都在直线上，水线最大高度达到，且落地点恰好达到离出水口的岸边，另一条水线的落地点离出水口，要求水线的落地点在、之间（不包含、），求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式找出所求问题需要的条件． （1）根据抛物线的顶点在直线上，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得的值； （2）先根据线最大高度达到，且落地点恰好达到离出水口的岸边，可以求出，再根据抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线地点在之间，而出水可知其对称轴从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点在直线上，抛物线水线最大高度达，其的顶点为， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线过原点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线型水线的顶点都在直线上，最大高度达到，且落地点恰好达到离出水口的岸边， ∴顶点坐标为， ， 解得：， ， 由题意知，的顶点为， ∵抛物线的顶点在直线上， ， ， ∵水线的落地点在之间， 解得： ∴的取值范围为． 22. 为响应国家提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个的生产成本为18元，投放市场进行试销，经过调查得到每月销售量（万/个）与销售单价（元/个）之间的部分数据如下： 销售单价（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量（万/个） … 60 50 40 30 … （1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）设每月的利润为（万元），求与之间的函数关系式； （3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？求出最大利润． 【答案】（1）是的一次函数， （2）w=-2x2+136x-1800； （3）当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意先判断为一次函数关系，再利用待定系数法即可得到结论； （2）根据利润=销售量×（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式； （3）根据产品利润率不得高于50%且成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而利用二次函数的性质得出最大利润． 【小问1详解】 解：由单价每增加5元，销售量减少10万个，可判断是的一次函数， 设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b， 把（20，60），（30，40）代入y=kx+b得 ， 解得：， ∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=-2x+100； 【小问2详解】 由题意得，w=y（x-18） =（-2x+100）（x-18） =-2x2+136x-1800； 【小问3详解】 ∵销售利润率不能高于50%， 则x≤（1+50%）×18=27， ∵w=-2x2+136x-1800=-2（x-34）2+512， ∴图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， ∴x=27时，w最大为：414万元． 当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是得出销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． 23. 如图，在菱形中，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作交边于点E，与交于点N．设运动时间为．解答下列问题： （1）的长为__________（用含t的代数式表示）； （2）当时，求t的值； （3）设的面积为，求S与t的函数关系式； （4）连接，在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使线段NQ的值最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，当时，线段的值最小． 【解析】 【分析】（1）证明得出，即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，列方程为，求解即可； （3）证明，得出，从而证得，过点B作于点F，求出、，然后由三角形面积公式求解即可； （4）证明，则当的值最小时，线段的值也最小，当时，的值最小，连接，求得，，则，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 设交于K，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， 即． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 四边形是菱形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【小问3详解】 解：由题意得，， ，， 是等边三角形， ． 四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 为直角三角形，过点B作于点F， 是等边三角形，， ， 在中，， ，， ， ． 【小问4详解】 解：由（3）可知：为直角三角形， ， ， ，， ， ，， ， 当的值最小时，线段的值也最小， ，， 当时，的值最小，连接， ，， ， ， ， ， ． 当时，线段的值最小． 【点睛】本题属四边形综合题目，主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握相菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级12月数学随堂测试 一、单选题 1. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某人从山脚下的点A走了后到达山顶的点B处，已知点B到山脚的垂直距离为，则山的坡度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 某商场一月份的营业额为万元，第一季度营业总额为万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象先向上平移2个单位，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 若，则的值为______． 10. 计算：______． 11. 如图，与是以原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则与的相似比为__________． 12. 对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________． 13. 如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为__________． 14. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是__________．（只填写序号） 三、解答题 15. 已知：如图，中，，求作：菱形，使菱形的顶点在边上． 16. （1）解方程：； （2）二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？若相交，请求出它们的交点坐标；若不相交，请说明理由． 17. 小颖为学校联欢会设计了一个“摸牌”游戏，游戏规则如下：准备，两组相同的牌，每组四张且大小一样，四张牌的牌面数字分别是，，，．将两组牌分别洗均后，牌面朝下放在不透明的桌面上，游戏者从，两组牌中各摸出一张牌，将组牌的牌面数字作为十位数字，组牌的牌面数字作为个位数字组成一个两位数，若这个两位数是偶数，则游戏者获胜．请运用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： （1）； （2）连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 20. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 21. 青岛世园会音乐喷泉位于李沧区百果山森林公园内的天水湖，是中国最大的音乐喷泉之一，伴随或激昂或舒缓的音乐，水柱编织出了各种美妙图案，最高可达80余米，吸引了众多游客前来观赏．若把音乐喷泉形状看作抛物线，设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点都在过原点的直线变动，从而产生不同的抛物线型水线如图1． （1）如图2，若某条抛物线型水线的顶点在直线上，且喷出的水线最大高度达，求此时的抛物线解析式； （2）如图3，若三条抛物线型水线、和的顶点都在直线上，水线最大高度达到，且落地点恰好达到离出水口的岸边，另一条水线的落地点离出水口，要求水线的落地点在、之间（不包含、），求的取值范围． 22. 为响应国家提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个的生产成本为18元，投放市场进行试销，经过调查得到每月销售量（万/个）与销售单价（元/个）之间的部分数据如下： 销售单价（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量（万/个） … 60 50 40 30 … （1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）设每月的利润为（万元），求与之间的函数关系式； （3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？求出最大利润． 23. 如图，在菱形中，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作交边于点E，与交于点N．设运动时间为．解答下列问题： （1）的长为__________（用含t的代数式表示）； （2）当时，求t的值； （3）设的面积为，求S与t的函数关系式； （4）连接，在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使线段NQ的值最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $