第二十七章 《反比例函数》（知识点+例题讲解+练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十七章 反比例函数 【人教版】 目录 反比例函数知识点总结 2 题型一 反比例函数的定义 6 题型二 根据反比例函数的定义求参数 6 题型三 判断反比例函数的图像 6 题型四 正比例函数与反比例函数图像交点 7 题型五 根据反比例函数的增减性判断函数值（自变量）大小 8 题型六 一次函数与反比例函数图像判断 9 题型七 一次函数与反比例函数的交点问题 10 题型八 反比例函数的实际应用题 11 题型九 k值的几何意义 13 题型十 反比例函数与几何综合 14 题型十一 反比例函数的实际应用题 16 知识点总结 知识点一 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k为常数且． 知识点二 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 1、设解析式：设反比例函数表达式为 2、代入：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 3、求解：解关于k方程，求出待定系数k的值 4、确定解析式：把k值代回原表达式，写出函数表达式 知识点三 反比例函数的图像与性质 1.描点法作图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，图像关于原点对称，关于直线y=±x对称 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，图像关于原点对称，关于直线y=±x对称 3. 越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直.越小，图像的弯曲度越大，越靠近原点。 4. 反比例函数 上下平移：；左右平移：。（上加下减，左加右减） 知识点四 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 常见图形面积与值的关系如下表： 知识点五 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式： 两函数图象有2个交点； 两函数图象有1个交点； 两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或．（注意反比例函数自变量的取值范围） 知识点六 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式始出），并厘清常量与变量之间的美系 （2）设：根摇常量与变量之间的美系，设出函数解析式，待定系数用字母表示， （3）列：由题目中的已知条件列出方程(组)，求出待定系数， （4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范国. （5）解：运用函数的解析式和相美性质解决实际问题. 2.常见反比例关系 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 知识点七 反比例函数与几何综合问题 数形结合类综合题，常与面积、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形等相结合. 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型归纳 题型一 反比例函数的定义 【例题 1】下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【练习 1.1】下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【练习 1.2】下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【练习 1.3】下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 题型二 根据反比例函数的定义求参数 【例题 2】若是反比例函数，则的值为_________． 【练习 2.1】若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【练习 2.2】已知． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【练习 2.3】已知是关于x的反比例函数，求的值． 题型三 判断反比例函数的图像 【例题 3】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【练习 3.1】（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【练习 3.2】函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【练习 3.3】阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型四 正比例函数与反比例函数图像交点 【例题 4】（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【练习 4.1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【练习 4.2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【练习 4.3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 题型五 根据反比例函数的增减性判断函数值（自变量）大小 【例题 5】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【练习 5.1】点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【练习 5.2】点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【练习 5.3】已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型六 一次函数与反比例函数图像判断 【例题 6】（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【练习 6.1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【练习 6.2】函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【练习 6.3】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 题型七 一次函数与反比例函数的交点问题 【例题 7】如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【练习 7.1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 【练习 7.2】（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【练习 7.3】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 题型八 反比例函数的实际应用题 【例题 8】）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【练习 8.1】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【练习 8.2】某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【练习 8.3】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．    (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 题型九 k值的几何意义 【例题 9】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 【练习 9.1】（26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【练习 9.2】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【练习 9.3】在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 题型十 反比例函数与几何综合 【例题 10】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【练习 10.1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【练习 10.2】（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 【练习 10.3】（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4． (1)求k的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且，当，求出m的值． (3)已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，，当n为何值时，面积最大，并求出最大面积． 题型十一 反比例函数的实际应用题 【例题 11】（25-26九年级下·江西·开学考试）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一块固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器改变电流的大小来完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻，之间的关系为，小冉同学通过实验得出的数据如下： … 3 4 6 9 … … 3 2.25 2 …    （1）________；________；________； 【探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，请你结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①请在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值逐渐________（填“增大”或“减小”） 【拓展】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，关于x的不等式的解集为________． 【练习 11.1】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 (1)数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． (2)数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． (3)效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 【练习 11.2】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）综合与实践 【知识背景】（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图1，即 有言道：“杆秤一头称起人间生计 ，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点O，并用细麻绳固定； 第二步 ：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为，的长为． （1）y关于x的函数解析式是_____； （2） 若，则x的取值范围是 ． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处 ，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为，的长为，完成下列问题： （3）y关于x的函数解析式是   ； （4）完成表格： 1 2 4 任务三：如图4 ，在离左侧末端处确定第二个支点Q ，现有两个秤砣分别为M（）、N（）可用 ，现有重物约，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为． 【练习 11.3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出x的取值范围）． (2)当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数． ②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标？ 第1页（共3页） 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 【人教版】 目录 反比例函数知识点总结 2 题型一 反比例函数的定义 6 题型二 根据反比例函数的定义求参数 7 题型三 判断反比例函数的图像 9 题型四 正比例函数与反比例函数图像交点 11 题型五 根据反比例函数的增减性判断函数值（自变量）大小 13 题型六 一次函数与反比例函数图像判断 15 题型七 一次函数与反比例函数的交点问题 18 题型八 反比例函数的实际应用题 23 题型九 k值的几何意义 28 题型十 反比例函数与几何综合 33 题型十一 反比例函数的实际应用题 44 知识点总结 知识点一 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k为常数且． 知识点二 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 1、设解析式：设反比例函数表达式为 2、代入：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 3、求解：解关于k方程，求出待定系数k的值 4、确定解析式：把k值代回原表达式，写出函数表达式 知识点三 反比例函数的图像与性质 1.描点法作图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，图像关于原点对称，关于直线y=±x对称 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，图像关于原点对称，关于直线y=±x对称 3. 越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直.越小，图像的弯曲度越大，越靠近原点。 4. 反比例函数 上下平移：；左右平移：。（上加下减，左加右减） 知识点四 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 常见图形面积与值的关系如下表： 知识点五 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式： 两函数图象有2个交点； 两函数图象有1个交点； 两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或．（注意反比例函数自变量的取值范围） 知识点六 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式始出），并厘清常量与变量之间的美系 （2）设：根摇常量与变量之间的美系，设出函数解析式，待定系数用字母表示， （3）列：由题目中的已知条件列出方程(组)，求出待定系数， （4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范国. （5）解：运用函数的解析式和相美性质解决实际问题. 2.常见反比例关系 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 知识点七 反比例函数与几何综合问题 数形结合类综合题，常与面积、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形等相结合. 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 第1页（共3页） 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 题型归纳 题型一 反比例函数的定义 【例题 1】下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 【练习 1.1】下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 【练习 1.2】下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 【练习 1.3】下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 题型二 根据反比例函数的定义求参数 【例题 2】若是反比例函数，则的值为_________． 【答案】-2 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 【练习 2.1】若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 【练习 2.2】已知． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】(1) 当或时，是的正比例函数 (2) 当时，是的反比例函数 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数 【分析】（1）根据正比例函数的定义，列关于的方程与不等式求解； （2）根据反比例函数的定义，列关于的方程与不等式求解． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴， 由得， 解得或， 由得， ∵，，均满足条件， ∴或． （2）解：∵是的反比例函数， ∴， 由得， 解得或， 由得， ∴． 【练习 2.3】已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出m，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， 则． 题型三 判断反比例函数的图像 【例题 3】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 【练习 3.1】（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 【练习 3.2】函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【练习 3.3】阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 题型四 正比例函数与反比例函数图像交点 【例题 4】（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 【练习 4.1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【练习 4.2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．先通过反比例函数求点坐标，再根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴点坐标为． 故选：A． 【练习 4.3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 题型五 根据反比例函数的增减性判断函数值（自变量）大小 【例题 5】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 【练习 5.1】点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 【练习 5.2】点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 【练习 5.3】已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 题型六 一次函数与反比例函数图像判断 【例题 6】（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、求一元一次不等式的解集 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 【练习 6.1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 【练习 6.2】函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围、判断反比例函数图象所在象限 【分析】对于一次函数：①当时，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．对于反比例函数，若，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小；若，反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 【详解】解：①若， 则反比例函数的图象在第一、三象限；一次函数的图象经过第一、二、四象限； ②若， 则反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限； 只有A选项图象满足题意． 【练习 6.3】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、已知函数经过的象限求参数范围、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 题型七 一次函数与反比例函数的交点问题 【例题 7】如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）利用反比例函数以及一次函数图象即可求解； 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． 【练习 7.1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 【答案】/ 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值 【分析】将分别代入反比例函数和一次函数解析式可得，，将所求代数式通分变形后代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 【练习 7.2】（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)或 (3) 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，，，，再由，可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得：， ，，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； （3）解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 【练习 7.3】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 或 (3) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合 【分析】（1）先把点代入，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可； （2）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图像求解即可； （3）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，利用得到等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 题型八 反比例函数的实际应用题 【例题 8】）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 【练习 8.1】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由： 设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用、从函数的图象获取信息 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）略 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 【练习 8.2】某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 【练习 8.3】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．    (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为． (2)15小时 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】（1）解：当时，设直线解析式为：， 将代入得：，解得：， 故直线解析式为：； 当时，设反比例函数解析式为： ， 将代入得： ，解得：a=32， 故反比例函数解析式为： ； 所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为， 下降阶段的函数关系式为． （2）解：如图：由题意：，解得：；，， ∴ ∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间为15小时．    【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． 题型九 k值的几何意义 【例题 9】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，利用列关于的方程求解． 【详解】解：如图，与轴交于点， 点在的图象上，轴， ， 点在的图象上， ， 的面积为， ，即， ， 的图象在第二象限， ． 【练习 9.1】（26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求线段长、反比例函数与几何综合 【分析】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 【练习 9.2】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、解一元一次方程（三）——去分母、反比例函数与几何综合 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 【练习 9.3】在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解、反比例函数与几何 综合 【分析】连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点，先求出平行四边形得面积，再求出的面积，根据反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点， ∵、两点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 题型十 反比例函数与几何综合 【例题 10】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【知识点】求反比例函数解析式、根据菱形的性质与判定求线段长、求一次函数解析式、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与几何综合 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 【练习 10.1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 【练习 10.2】（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题、反比例函数与几何综合 【分析】（1）先把点代入直线方程，求出得到点的坐标，再将点代入反比例函数，求出系数，得到表达式； （2）先联立直线与反比例函数，求出点的坐标，再利用“平行线间的三角形面积相等”，将的面积转化为的面积，拆分为两个三角形面积之和列方程，解出； （3）先通过“角平分线+垂线”构造全等三角形，证明是的中点，再联立平移后的直线与反比例函数，求出点，进而得到直线的解析式，然后利用求出点的坐标，最后用中点坐标公式，算出的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知，点位于上， 将代入可得， 解得， 则点的坐标为， 将代入， 解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：如图，直线向上平移个单位后与轴交于点， 直线向上平移个单位后的直线解析式为， 令可得， 点的坐标为， ， 将与联立， 可得， 解得或，则或， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 解得． （3）解：如图，过点作的平分线的垂线并延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ，， 根据（2）可知直线向上平移单位后的直线解析式为， 将与联立， 可得， 解得或， 点在第一象限， ，则， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为，即． 【练习 10.3】（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4． (1)求k的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且，当，求出m的值． (3)已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，，当n为何值时，面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)当时，面积最大，最大面积为 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点P，N的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到m的值； （3）过点Q作轴交于点E，先求得直线的解析式，进而设，则，，表示出的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过线段的端点，将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①当N在P的上方时，如图1， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）； ②当P在N的上方时，如图2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，负值已舍去）， 综上所述：或． （3）解：如图3，D的横坐标为4，过点Q作轴交于点E， ∵沿x轴正方向平移3个单位得到线段， ∴直线的解析式为，将代入得：， 即， 设的表达式为，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴的表达式为， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，即（负值舍去）， ∴当时，面积最大，最大面积为． 题型十一 反比例函数的实际应用题 【例题 11】（25-26九年级下·江西·开学考试）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一块固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器改变电流的大小来完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻，之间的关系为，小冉同学通过实验得出的数据如下： … 3 4 6 9 … … 3 2.25 2 …    （1）________；________；________； 【探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，请你结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①请在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值逐渐________（填“增大”或“减小”） 【拓展】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，关于x的不等式的解集为________． 【答案】（1）5；；1.5； （2）①函数的图象如下图所示： ②减小； （3）或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、求自变量的值或函数值、实际问题与反比例函数、用描点法画函数图象 【分析】（1）根据已知条件可得，代入表格中的数据即可解答； （2）①运用“列表、描点、连线”的基本作图方法即可绘制函数图象；②观察函数图象即可判断函数值随自变量变化的规律； （3）先找到两个函数的交点，再通过图象直观判断“哪个函数值更多”，从而确定不等式的解集． 【详解】解：（1）根据电流与电阻，之间的关系为，，， 可得， 当时，代入公式，得， 当时，代入公式，得， 当时，代入公式，得； （2）①略 ②观察图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小； （3）构造方程组，解得或， 结合图象可知，当或时，， 故关于x的不等式的解集为或． 【练习 11.1】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 (1)数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． (2)数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． (3)效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 【答案】(1)主动释放阶段：；自然消散阶段： (2)或 (3)达到有效净化标准 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】（1）先设出一次函数和反比例函数的表达式，利用给定的数据点来确定函数表达式； （2）将给定的浓度代入相应的函数表达式，求解即可； （3）根据有效净化的标准，计算净化因子浓度不低于的持续时间，然后判断是否达标即可． 【详解】（1）设主动释放阶段的函数表达式为， 当时，，当时，，将其代入， 得，解得， 主动释放阶段的函数表达式为； 设自然消散阶段的函数表达式为， 当时，，将其代入，得，解得， 自然消散阶段的函数表达式为； （2）当时，将代入，得， 解得； 当时，将代入，得， 解得； 当净化因子浓度时，对应的释放时间的值为或； （3）令，解得， 主动释放阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 令，解得， 自然消散阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 净化因子浓度不低于的总持续时间为， ， 本次实验中“净化因子释放”模式达到有效净化标准． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，通过代入已知点求解函数解析式，是解决后续问题的基础，过程中注意分类讨论思想的应用；将净化因子浓度的变化转化为函数问题，通过函数计算验证实际“有效净化”标准，体现了数学建模解决实际问题的应用价值． 【练习 11.2】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）综合与实践 【知识背景】（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图1，即 有言道：“杆秤一头称起人间生计 ，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点O，并用细麻绳固定； 第二步 ：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为，的长为． （1）y关于x的函数解析式是_____； （2） 若，则x的取值范围是 ． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处 ，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为，的长为，完成下列问题： （3）y关于x的函数解析式是   ； （4）完成表格： 1 2 4 任务三：如图4 ，在离左侧末端处确定第二个支点Q ，现有两个秤砣分别为M（）、N（）可用 ，现有重物约，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为． 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： 1 2 4 40 20 10 5 任务三：如图所示， 由题意知，，， 如果用支点O，则， （），不合题意，舍去； 如果用支点Q，则， ， 选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，正确理解题意是关键． （1）根据公式列方程计算即可； （2）根据列不等式计算即可； （3）根据公式列方程计算即可； （4）分别将，，1，2，4代入即可； 任务三：分别选用支点O和支点Q两种情况讨论，分别求出和的长，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，，，，， ， ， ． 故答案为：． （2）若， 则， ． 故答案为：． （3）由题意，，，，， ， ， ． 故答案为：． （4）略． 【练习 11.3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出x的取值范围）． (2)当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数． ②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标？ 【答案】(1) (2)的横坐标为22.5，成绩未达标 (3)①a与成反比例函数关系，；②当时，运动员的成绩恰能达标 【知识点】求一次函数解析式、实际问题与反比例函数、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． （1）根据图像得出点的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标，代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值． 【详解】（1）解：由图2可知：， 设的解析式为：， 将代入，得： ，解得， ∴线段的函数表达式为． （2）当时，，由题意得， 解得（舍去），                             ∴的横坐标为22.5． ∵， ∴成绩未达标． （3）①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将代入得解得， ∴． 将代入，验证：， ∴； ②由K在线段上，得，代入得，得， 由得， 又∵， ∴， ∴当时，运动员的成绩恰能达标． $