26.1　二次函数的概念 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数的概念”，引导学生掌握定义及各项系数判断，通过基础对点小练衔接函数知识脉络，以定义解析和实际问题建模步骤为学习支架，帮助学生从一次函数自然过渡到二次函数学习。 资料以核心素养为特色，典例研析强化抽象能力，实际问题建模培养模型观念与应用意识，趣味数学环节激发创新意识。习题分层设计，从概念判断到实际应用，助力学生深化理解，提升数学思维与实践能力。

26.1　二次函数的概念 【课时目标】 1.掌握二次函数的定义,并能判断所给函数是否是二次函数,能指出二次函数的项及各项系数.(抽象能力) 2.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式.(模型观念、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.二次函数的概念 1.判断(对的画“√”,错的画“×”). (1)二次函数解析式中可以没有常数项,但不能没有二次项和一次项.(　) (2)二次函数y=2x2-3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是2,-3,0.(　) 2.根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤: (1)审题:仔细审题,分析数量之间的关系,将文字语言转化为符号语言; (2)列式:根据实际问题中的等量关系,列二次函数关系式,并化成一般形式; (3)取值:联系实际,确定自变量的取值范围. 　　　　　使关系式本身有意义, 使实际问题有意义 2.寒假期间,九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿,约定每两名同学之间互发一次信息,那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为( ) A.m=n(n+1)　　B.m=n(n-1) C.m=n2 D.m=n(n-1) 重点　典例研析　启思凝智　 重点1　二次函数的概念(抽象能力) 【典例1】(教材再开发·P31定义拓展)当m为何值时,y=(m+1)+3x-2是二次函数? 举一反三 1.下列各式中,y是关于x的二次函数的是( ) A.y= B.y=2x+1 C.y=x2+x D.y2=x2+3x 2.已知函数y=(|m|-1)x2+(m-1)x-m-1. (1)若这个函数是关于x的一次函数,求m的值. (2)若这个函数是关于x的二次函数,求m的取值范围. 技法点拨 二次函数定义的两个应用 1.已知各项系数,判断已知函数是否为二次函数. 2.已知是二次函数,根据自变量的最高次幂是2且二次项系数不为0,列方程和不等式求出系数中字母的值. 重点2　根据实际问题列二次函数解析式(模型观念、应用意识) 【典例2】(教材再开发·P31例变式)某市今年第一季度的专项教育投入为5亿元,第二季度比第一季度增长的百分比为x,第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍,则第三季度专项教育投入y(亿元)关于x的函数关系式为　 　.(不要求写自变量x的取值范围)  举一反三 1.在某种病毒的传播过程中,每轮传染平均1人会传染x个人,若最初2个人感染该病毒,经过两轮传染,共有y人感染,则y与x的函数解析式为( ) A.y=2(1+x)2 B.y=(2+x)2 C.y=2+2x2 D.y=(1+2x)2 2.某商家代销一种产品,销售中发现当每件售价为99元时,日销售量为200件,当每件产品下降1元时,日销售量增加2件.已知每售出1件产品,该商家需支付厂家和其他费用共50元,设每件产品售价为x(元),商家每天的利润为w(元),则w与x之间的函数解析式为( ) A.w=(99-x)[200+2(x-50)] B.w=(99-x)[200+2(50-x)] C.w=(x-50)[200+2(x-99)] D.w=(x-50)[200+2(99-x)] 3.如图,已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米,AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合,让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分的面积y(平方厘米)与时间t(秒)之间的函数解析式为　 　.  素养　思维提升　入境深探　 趣味数学 “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图1所示,每层都是杯口朝下排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层(最底层)杯子的个数x变化而变化. 如图2,小明从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示,再借助“补”的思想,补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出y与x的关系式. 问题解决: (1)写出y与x的关系式,判断它是什么函数. (2)现有36个杯子,按图1中的方式叠放,求第一层杯子的个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1　二次函数的概念 【课时目标】 1.掌握二次函数的定义,并能判断所给函数是否是二次函数,能指出二次函数的项及各项系数.(抽象能力) 2.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式.(模型观念、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.二次函数的概念 1.判断(对的画“√”,错的画“×”). (1)二次函数解析式中可以没有常数项,但不能没有二次项和一次项.(×) (2)二次函数y=2x2-3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是2,-3,0.(×) 2.根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤: (1)审题:仔细审题,分析数量之间的关系,将文字语言转化为符号语言; (2)列式:根据实际问题中的等量关系,列二次函数关系式,并化成一般形式; (3)取值:联系实际,确定自变量的取值范围. 　　　　　使关系式本身有意义, 使实际问题有意义 2.寒假期间,九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿,约定每两名同学之间互发一次信息,那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为(D) A.m=n(n+1)　　B.m=n(n-1) C.m=n2 D.m=n(n-1) 重点　典例研析　启思凝智　 重点1　二次函数的概念(抽象能力) 【典例1】(教材再开发·P31定义拓展)当m为何值时,y=(m+1)+3x-2是二次函数? 【自主解答】∵y=(m+1)+3x-2是二次函数, ∴m2-3m-2=2, 解得m1=4,m2=-1. ∵m+1≠0, ∴m≠-1,故m=4. 举一反三 1.下列各式中,y是关于x的二次函数的是(C) A.y= B.y=2x+1 C.y=x2+x D.y2=x2+3x 2.已知函数y=(|m|-1)x2+(m-1)x-m-1. (1)若这个函数是关于x的一次函数,求m的值. (2)若这个函数是关于x的二次函数,求m的取值范围. 【解析】(1)由题意得:|m|-1=0且m-1≠0, 解得:m=±1且m≠1,∴m=-1, ∴当m=-1时,这个函数是关于x的一次函数; (2)由题意得:|m|-1≠0,解得:m≠±1, ∴当m≠±1时,这个函数是关于x的二次函数. 技法点拨 二次函数定义的两个应用 1.已知各项系数,判断已知函数是否为二次函数. 2.已知是二次函数,根据自变量的最高次幂是2且二次项系数不为0,列方程和不等式求出系数中字母的值. 重点2　根据实际问题列二次函数解析式(模型观念、应用意识) 【典例2】(教材再开发·P31例变式)某市今年第一季度的专项教育投入为5亿元,第二季度比第一季度增长的百分比为x,第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍,则第三季度专项教育投入y(亿元)关于x的函数关系式为　y=10x2+15x+5　.(不要求写自变量x的取值范围)  举一反三 1.在某种病毒的传播过程中,每轮传染平均1人会传染x个人,若最初2个人感染该病毒,经过两轮传染,共有y人感染,则y与x的函数解析式为(A) A.y=2(1+x)2 B.y=(2+x)2 C.y=2+2x2 D.y=(1+2x)2 2.某商家代销一种产品,销售中发现当每件售价为99元时,日销售量为200件,当每件产品下降1元时,日销售量增加2件.已知每售出1件产品,该商家需支付厂家和其他费用共50元,设每件产品售价为x(元),商家每天的利润为w(元),则w与x之间的函数解析式为(D) A.w=(99-x)[200+2(x-50)] B.w=(99-x)[200+2(50-x)] C.w=(x-50)[200+2(x-99)] D.w=(x-50)[200+2(99-x)] 3.如图,已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米,AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合,让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分的面积y(平方厘米)与时间t(秒)之间的函数解析式为　y=(20-2t)2(0≤t≤10)　.  素养　思维提升　入境深探　 趣味数学 “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图1所示,每层都是杯口朝下排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层(最底层)杯子的个数x变化而变化. 如图2,小明从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示,再借助“补”的思想,补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出y与x的关系式. 问题解决: (1)写出y与x的关系式,判断它是什么函数. (2)现有36个杯子,按图1中的方式叠放,求第一层杯子的个数. 【解析】(1)依题意得: y=(x+1)x=x2+x; 它是二次函数. (2)当y=36时,x2+x=36, 解得:x1=8,x2=-9(舍去), 答:第一层杯子的个数为8. 学科网（北京）股份有限公司 $