第二十五章《一元二次方程》核心知识点默写填空 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学知识清单系统梳理了人教版九年级上册《一元二次方程》单元内容，涵盖概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用五大知识范畴，搭建了从基础概念理解到解题方法掌握再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单创新采用“填空自测+背诵记忆”双版设计，通过★标注重难点如根的判别式应用，例题与易错判断结合强化运算能力，实际问题模型如增长率、面积问题培养模型意识与应用意识。不同基础学生可通过每日打卡巩固，教师可据此精准设计教学，提升复习效率。

人教版九年级数学上册 第二十五章《一元二次方程》核心知识点默写填空 本资料分为填空默写与背诵版。填空版用于每日打卡自测默写，背诵版方便日常理解记忆； 背诵版同时充当标准答案，学记结合，高效巩固本章知识点。 【填空版】 班级： 姓名： 日期： 知识点每日默写小纸条 一元二次方程的概念 1.一元二次方程：只含有一个 ，并且未知数的 次数是 （二次）的整式方程。 2.一元二次方程的一般式： （a≠0），其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项。 注意：一般形式要求等号右边必须为 ，二次项系数不能为 。 3.使方程 的未知数的 就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的 。 ★当a 时，（a2-9）x2+（a+3）x+5=0是一元二次方程。 ①方程3x25x=7化为一般形式： ，二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ； ②方程2x2=5化为一般形式： ，一次项系数为 ； ③若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m= ； ④关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是x=0，则a的值为 。 易错判断：①x2+=0是一元二次方程（ ）；②2x2-3xy+2=0是一元二次方程（ ） 1.直接开平方法：通过开平方运算方程，如x2=p（p≥0）的一元二次方程的解为x1= ， x2= ；若p＜0则方程 根。 例题：(x-3)2=16，则x-3= ；x1=7，x2= 2.配方法：如果无法直接开方，那么可以通过配成 的形式来解一元二次方程， 1. 形如（mx+n）2=p（p≥0）。 ★用配方法解一元二次方程3x2-6x=9，先移项= ，二次项系数化为1， ， 方程两边同时 配方可得 ，开方求出方程的解应为x1= ，x2= 。 3.公式法：把 直接带入求根公式得到方程的解。 （1）一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是：x= ； （2）公式法使用的前提条件是① ；② 。 注意：使用公式法前把方程整理成 的形式，准确找出a、b、c的值 知识点每日默写小纸条 降次—解一元二次方程 知识点每日默写小纸条 降次—解一元二次方程 4.根的判别式 一般地，把式子 叫做一元二次方程根的判别式，常用希腊字母“ ”表示它， 即 ，判别根的个数有三种情况： ①当Δ＞0时，方程有 的实数根； ②当Δ＝0时，方程有 的实数根； ③当Δ＜0时，方程 。 ★前提条件：必须是一元二次方程，即a≠0。 例题：①方程5x2-7x+5=0有 个实数根； ②若一元二次方程x2-2mx+1=0有两个相等实数根，则m= ； ③已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则需要同时满足 两个条件 、 ，得到k的取值范围： 。 2. 知识点每日默写小纸条 降次—解一元二次方程 5.因式分解法：使方程化为两个一次因式的乘积等于 的形式，再使这两个一次因式分别等于 ，形如ax2+bx+c=a（ x-m）（ x-n）=0（a≠0）， 令 、 ，即可得到两根为x1= ，x2= 。 易错判断：①(x+2)2=3(x+2)，直接两边同时除以(x+2)求解（ ）； ②所有一元二次方程都可以用因式分解法求解（ ）。 6.一元二次方程根与系数的关系： 如果ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x1，x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。 例题：已知方程x2-(m-1)x-2m=0两根之和等于3，则m= 。 ★以下方程优先选用哪种方法解题： ①3(x-1)2=27优先选用 法； ②x2-5x+6=0优先选用 法； ③2x2-3x-1=0优先选用 法。 1. 知识点每日默写小纸条 实际问题与一元二次方程 1. 常见问题模型 2. 1.增长率模型：基数a，平均增长率x，连续两次增长得到b，关系式为 。 2.降低率模型：基数a，平均降低率x，连续两次降低得到b，关系式为 。 3. 3.传播问题（病毒、短信传染）： 一人传染源，每一轮每人传染x个人，经过两轮传染后 总人数关系式为 。 4.面积问题：矩形原长a，宽b；四周修筑宽度同为x的道路，剩余中间矩形面积S，关系 式为S= 。 5.销售利润问题 ：①单件利润=单件售价-单件进价； ②总利润=单件利润×销售数量。 ★实际应用题，解完方程之后，一定要检验根是否符合实际意义，舍去不符合现实的解。6.例题：某商品原价100元，连续两次涨价，每次增长率x，现价144元，列方程： ； 无人机灯光秀表演，导演设计方阵造型，方阵总共有x行，每行无人机的数量比行数多4架，整个方阵一共有192架无人机。列方程： 。 【背诵版】 知识点每日记忆小纸条 一元二次方程的概念 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 （二次）的整式方程。 2.一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项， a 是二次项系数， bx 是一次项， b 是一次项系数， c 是常数项。 注意：一般形式要求等号右边必须为 0 ，二次项系数不能为 0 。 3.使方程左、右相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 ★当a≠±3时，（a2-9）x2+（a+3）x+5=0是一元二次方程。 ①方程3x2-5x=7化为一般形式：3x2-5x-7=0，二次项系数3，一次项系数-5，常数项-7； ②方程2x2=5化为一般形式：2x2-5=0，一次项系数为0； ③若方程(m2)x|m|+3x1=0是一元二次方程，则m=-2； ④关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是x=0，则a的值为-1 。 易错判断：①x2+ =0是一元二次方程（错误）；②2x23xy+2=0是一元二次方程（错误） 1.直接开平方法：通过开平方运算方程，如x2=p（p≥0）的一元二次方程的解为x1=， x2= ；若p＜0则方程无实数根。 例题：(x-3)2=16，则x-3= 4 ；x1=7，x2= -1 3. 2.配方法：如果无法直接开方，那么可以通过配成完全平方的形式来解一元二次方程， 4. 形如（mx+n）2=p（p≥0）。 ★用配方法解一元二次方程3x2-6x=9，先移项=3x2-6x-9=0，二次项系数化为1，x2-2x-3=0， 方程两边同时 1 配方可得（x-1）2=4，开方求出方程的解应为x1= 3 ，x2= -1 。 3.公式法：把各系数直接带入求根公式得到方程的解。 （1）一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是：x=； （2）公式法使用的前提条件是① a≠0；② b2-4ac≥0 。 注意：使用公式法前把方程整理成一般形式的形式，准确找出a、b、c的值 知识点每日记忆小纸条 降次—解一元二次方程 知识点每日记忆小纸条 降次—解一元二次方程 4.根的判别式 一般地，把式子 b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，常用希腊字母“Δ”表示它， 即Δ=b2-4ac，判别根的个数有三种情况： ①当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根。 ★前提条件：必须是一元二次方程，即a≠0。 例题：①方程5x2-7x+5=0有 零 个实数根； ②若一元二次方程x2-2mx+1=0有两个相等实数根，则m= ±1 ； ③已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则需要同时满足 两个条件Δ＞0 、k≠0 ，得到k的取值范围：k＜1且k≠0 。 5. 知识点每日记忆小纸条 降次—解一元二次方程 5.因式分解法：使方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于 0 ，形如ax2+bx+c=a（ x-m）（ x-n）=0（a≠0）， 令（ x-m）= 0 、 （ x-n）= 0 ，即可得到两根为x1= m ，x2= n 。 易错判断：①(x+2)2=3(x+2)，直接两边同时除以(x+2)求解（错误）； ②所有一元二次方程都可以用因式分解法求解（错误）。 6.一元二次方程根与系数的关系： 如果ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x1，x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。 例题：已知方程x2-(m-1)x-2m=0两根之和等于3，则m= -2 。 ★以下方程优先选用哪种方法解题： ①3(x-1)2=27优先选用直接开平方法； ②x2-5x+6=0优先选用因式分解法； ③2x2-3x-1=0优先选用公式法。 2. 知识点每日记忆小纸条 实际问题与一元二次方程 4. 常见问题模型 5. 1.增长率模型：基数a，平均增长率x，连续两次增长得到b，关系式为a(1+x)2=b。 2.降低率模型：基数a，平均降低率x，连续两次降低得到b，关系式为a(1-x)2=b。 3.传播问题（病毒、短信传染）： 一人传染源，每一轮每人传染x个人，经过两轮传染后 总人数关系式为1+x+x(1+x)=(1+x)2。 4.面积问题：矩形原长a，宽b；四周修筑宽度同为x的道路，剩余中间矩形面积S，关系 式为S=(a-2x)(b-2x)。 5.销售利润问题 ：①单件利润=单件售价-单件进价； ②总利润=单件利润×销售数量。 ★实际应用题，解完方程之后，一定要检验根是否符合实际意义，舍去不符合现实的解。6.例题：某商品原价100元，连续两次涨价，每次增长率x，现价144元，列方程：100(1+x)2=144； 无人机灯光秀表演，导演设计方阵造型，方阵总共有x行，每行无人机的数量比行数多4架，整个方阵一共有192架无人机。列方程：x(x+4)=192。 学科网（北京）股份有限公司 $