第二十六章 二次函数 知识清单 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章　二次函数　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共四节：26.1二次函数的概念；26.2二次函数的图象和性质（从 y=ax² 到顶点式 y=a(x-h)²+k 再到一般式 y=ax²+bx+c）；26.3二次函数与一元二次方程；26.4实际问题与二次函数。 【考点地位】二次函数的图象与性质、顶点坐标、对称轴、最值、与一元二次方程的联系、实际最值问题是中考函数部分的重中之重，常作为压轴题，与方程、几何综合命题。 【学习目标】①理解二次函数的概念；②会画二次函数图象，掌握开口方向、对称轴、顶点、增减性与最值；③会用配方法化顶点式，能由图象与性质解决问题；④理解二次函数与一元二次方程的关系；⑤能用二次函数解决实际最值问题。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第二十六章　二次函数 26.1　二次函数的概念 形如 y=ax²+bx+c（a≠0）的函数；a、b、c分别为二次项、一次项系数和常数项 26.2　二次函数的图象和性质 图象是抛物线；a>0开口向上、a<0开口向下；|a|越大开口越小 顶点式 y=a(x-h)²+k：对称轴 x=h，顶点(h,k)，平移由 h、k 决定 一般式：对称轴 x=-，顶点(-, ) 增减性与最值：a>0时顶点取最小值；a<0时顶点取最大值 26.3　二次函数与一元二次方程 抛物线与x轴交点的横坐标即 ax²+bx+c=0 的根；Δ决定交点个数 26.4　实际问题与二次函数 利润最值、面积最值、抛物线形实际问题；建立模型求顶点（最值） 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、公式集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 二次函数 形如 y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数 a≠0；a 决定开口方向和大小 顶点式 对称轴 x=h，顶点(h,k) 对称轴 由一般式直接读出 顶点纵坐标 即最值：a>0最小，a<0最大 开口与开口大小 a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大，开口越小 开口方向只看 a 的符号 与x轴的交点 令 y=0，即解 ax²+bx+c=0；Δ>0两个交点，Δ=0一个交点，Δ<0无交点 交点横坐标就是方程的根 平移规律 y=ax² 平移得 y=a(x-h)²+k：左加右减、上加下减 左右平移针对 x，“左加右减” 三、考点知识梳理 （一）26.1　二次函数的概念 【知识定位】二次函数的概念是本章基础，常由实际问题列函数解析式。 【二次函数的概念】一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数。其中 x 是自变量，a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项。 （二）26.2　二次函数的图象和性质 【图象】二次函数 y=ax²+bx+c 的图象是一条抛物线，它有一条对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。 【y=ax² 的性质】对称轴是 y 轴，顶点是原点。a>0 开口向上，顶点是最低点；a<0 开口向下，顶点是最高点；|a|越大，开口越小。当 a>0 时，x<0 时 y 随 x 增大而减小，x>0 时 y 随 x 增大而增大。 二次函数 y=ax² 的图象（a>0，开口向上，顶点在原点） 【顶点式 y=a(x-h)²+k】把抛物线 y=ax² 平移可得 y=a(x-h)²+k：对称轴是直线 x=h，顶点是(h,k)。当 a>0 时，x=h 时 y 取最小值 k；当 a<0 时，x=h 时 y 取最大值 k。 抛物线上下平移：y=ax² 与 y=ax²+k 抛物线左右平移：y=ax² 与 y=a(x-h)² 【一般式 y=ax²+bx+c】通过配方可化为 y=a(x+)²+，故对称轴是直线 x=-，顶点是(-，)。 （三）26.3　二次函数与一元二次方程 【知识定位】本节点明函数与方程的联系，是中考综合题的重要工具。 【二者关系】抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根。Δ>0 时抛物线与 x 轴有两个交点；Δ=0 时有一个交点（顶点在 x 轴上）；Δ<0 时没有交点。 （四）26.4　实际问题与二次函数 【实际最值】建立二次函数模型后，当自变量取对称轴对应的 x 时，函数取得顶点处的最值。求最值时要注意自变量的实际取值范围，若对称轴不在范围内，则在端点处取得最值。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】开口方向：a正向上a负下，开口大小看|a|。对称轴：对称轴是负b比上2a。顶点式：括号里是x减h，对称轴h顶(h,k)。平移：左右平移看括号，左加右减；上下平移看末尾，上加下减。 【对比记忆】a>0 与 a<0 的图象性质对比如下表。 性质 a>0（开口向上） a<0（开口向下） 顶点 最低点 最高点 最值 x=h 时取最小值 k x=h 时取最大值 k 增减性 对称轴左侧递减、右侧递增 对称轴左侧递增、右侧递减 五、解题方法总结 题型1　由解析式求开口方向、对称轴、顶点 【解题方法】①已知顶点式 y=a(x-h)²+k，直接读出对称轴 x=h、顶点(h,k)；②已知一般式，用配方法化为顶点式，或直接套公式 x=-、顶点纵坐标 ；③开口方向由 a 的符号确定。 【数学思想】数形结合思想：解析式与图象互译。 题型2　待定系数法求二次函数解析式 【解题方法】①已知任意三点设一般式 y=ax²+bx+c；②已知顶点（或对称轴、最值）设顶点式 y=a(x-h)²+k；③已知与 x 轴两交点设交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂)。根据条件选最简形式，再代入求待定系数。 【数学思想】方程思想：用坐标列方程（组）求系数。 题型3　二次函数的最值与实际应用 【解题方法】①列函数关系式并写自变量取值范围；②配方求对称轴 x=-；③判断对称轴是否在取值范围内：在则顶点取最值，不在则由增减性在端点取最值。 【数学思想】函数（建模）思想、转化思想：把最值问题转化为求顶点坐标。 题型4　二次函数图象与系数 a、b、c 的关系 【解题方法】①a 看开口方向；②c 看与 y 轴交点（交于正半轴 c>0）；③对称轴位置 x=- 定 b 的符号（“左同右异”：对称轴在 y 轴左侧则 a、b 同号，右侧则异号）；④由与 x 轴交点个数看 Δ。 【数学思想】数形结合思想。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 认为 y=ax²+bx+c 一定是二次函数 必须 a≠0；a=0 时退化为一次函数（或常数函数） 配方法时常数项处理错误 配方是在括号内加“一次项系数一半的平方”，要相应补上/减去保持恒等 求最值时忽略自变量取值范围 对称轴不在实际范围内时，最值在端点取得，不能盲目套顶点纵坐标 平移规律“左加右减”用反 左右平移是对 x 而言：向左平移 m 个单位写成 (x+m)，向右写成 (x-m) 由对称轴定 b 的符号出错 “左同右异”：对称轴在 y 轴左侧 a、b 同号，右侧 a、b 异号 混淆顶点坐标的横、纵坐标公式 横坐标 x=-，纵坐标 ，注意分子是 4ac-b² 七、高频考点速记 ①二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），图象是抛物线。 ②顶点式y=a(x-h)²+k，对称轴 x=h，顶点(h,k)。 ③一般式对称轴x=-，顶点纵坐标。 ④a>0开口向上取最小值，a<0开口向下取最大值。 ⑤抛物线与 x 轴交点即ax²+bx+c=0 的根；Δ>0两交点、Δ=0一切点、Δ<0无交点。 ⑥平移规律：左加右减（对x），上加下减（对常数）。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 4．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 5．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 （二）填空题（每空2分，共5题） 1．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 2．二次函数的最小值为__________． 3．二次函数的最小值为___________． 4．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 5．某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 已知二次函数图象的顶点为(1，-4)，且过点(0，-3)。 （1）求这个二次函数的解析式；（2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 2. 某商店销售一种商品，每件进价30元。市场调查发现：当售价为每件40元时，每天可售出200件；售价每上涨1元，每天少售出10件。设每件售价为 x 元（x≥40），每天利润为 y 元。 （1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？ 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】D 解题步骤： ①把二次函数化为顶点式 y=½(x+2)²+1，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2，顶点为(−2,1)； ②∵在对称轴右侧（x>−2时）y随x的增大而增大，∴当x>0时，y>y(0)=3； ③即x>0时y的值大于3，选项中只有4符合，故选D。 【知识点睛】二次函数图象与性质：化为顶点式y=a(x−h)²+k确定开口方向、对称轴与顶点，结合单调性判断给定x范围内的y值，对照选项取值。 2．【答案】C 解题步骤： ①化顶点式：y=¼x²−x=¼(x−2)²−1，对称轴x=2，顶点(2,−1)，开口向上；图象过原点且顶点在第四象限，不过第三象限，故①错误。 ②∵开口向上，对称轴x=2，∴x>2时y随x增大而增大，故x>3时②正确；又y=¼x²向右平移2个单位、再向下平移1个单位即得y=¼(x−2)²−1=¼x²−x，故③正确。 ③令¼x²−x=kx+1，即¼x²−(k+1)x−1=0，Δ=(k+1)²+1>0恒成立，故④正确。综上②③④正确，共3个，选C。 【知识点睛】二次函数性质判断：逐条判断对称轴、顶点、增减性、最值等说法的正误。把解析式化为顶点式或利用对称轴公式x=。 3．【答案】B 解题步骤： ①原抛物线 y=(x−1)²+4 的顶点为(1,4)，开口向上； ②图象向左平移2个单位长度，由“左加右减”（x内x→x+2），得 y=(x+2−1)²+4=(x+1)²+4，顶点移至(−1,4)； ③再向下平移1个单位长度，由“上加下减”（常数项−1），得 y=(x+1)²+3，顶点移至(−1,3)，故选B。 【知识点睛】图象平移：左加右减（x内）、上加下减（常数项）。先向左平移2个单位（x→x+2），再向下平移1个单位（常数-1），写出新解析式。 4．【答案】B 解题步骤： ①∵抛物线解析式为y=3(x−5)²−4，∴a=3>0，开口向上，故A错误； ②顶点式y=a(x−h)²+k中对称轴为直线x=h=5，故B正确； ③顶点坐标为(5,−4)，故C错误；又a>0，x>5时y随x增大而增大，故D错误。综上选B。 【知识点睛】顶点式图象性质：y=a(x-h)²+k中顶点为(h,k)，a决定开口方向。逐项核对对称轴、顶点、最值、增减区间。 5．【答案】B 解题步骤： ①令y=0，即 x²−9=0，解得 x=3 或 x=−3； ②∴抛物线与x轴交于A(−3,0)、B(3,0)两点； ③∴线段AB的长为 3−(−3)=6，故选B。 【知识点睛】抛物线与x轴的交点距离：令y=0解一元二次方程得两交点横坐标x₁、x₂，截得线段长AB=|x₁−x₂|。 【填空题】 1．【答案】k< 解题步骤： ①抛物线y=½x²−x+k与x轴有两个交点，即方程½x²−x+k=0有两个不相等的实数根， ②∴Δ=(−1)²−4×½×k=1−2k>0， ③解得 k<½。 【知识点睛】与x轴有两个交点：Δ>0。令y=0（化为一元二次方程），由判别式大于0列不等式求k的范围。 2．【答案】26 解题步骤： ①y=(x−20)²+26是顶点式，其中a=1>0，开口向上； ②顶点为(20,26)，即x=20时y取最小值； ③故最小值为26。 【知识点睛】顶点式求最小值：y=a(x-h)²+k的最小值为k（a>0时）。直接读顶点式常数项。 3．【答案】-2 解题步骤： ①， ②∵， ③∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 【知识点睛】一般式求最小值：先用公式x=求对称轴，代入原式求最小值（或配方为顶点式）。 4．【答案】不能 解题步骤： ①把代入，得， ②， ③不能击中昆虫． 【知识点睛】实际问题与二次函数（喷水）：以出水点为原点建立坐标系，由抛物线的顶点（最高点）与落水点信息，用待定系数法求解析式，再求特定值。 5．【答案】7 解题步骤： ①设y₂=a(x−6)²+3，代入(3,12)得12=9a+3，解得a=1，∴y₂=(x−6)²+3=x²−12x+39； ②单件利润W=y₁−y₂=(−2x+21)−(x²−12x+39)=−x²+10x−18=−(x−5)²+7； ③∵−1<0，∴当x=5时，W取最大值7。 【知识点睛】销售利润最值问题：利润=(单件售价−单件成本)×销售量，用待定系数或建立二次函数关系式，再配方求顶点纵坐标即为最大利润；注意自变量取值范围对最值的限制。 【解答题】 1. 解：（1）设 y=a(x-1)²-4。代入(0，-3)：-3=a(0-1)²-4，得 a=1。所以 y=(x-1)²-4=x²-2x-3。 （2）因 a=1>0，开口向上，对称轴 x=1，故当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大。 2. 解：（1）每件利润为 (x-30) 元，每天销售量为 200-10(x-40)=(600-10x) 件。 y=(x-30)(600-10x)=-10x²+900x-18000（40≤x≤60）。 （2）配方：y=-10(x-45)²+2250。因 -10<0，且对称轴 x=45 在范围内，故当 x=45 时，y 取最大值 2250。答：每件售价定为45元时每天利润最大，最大利润2250元。 学科网（北京）股份有限公司 $