第二十六章《二次函数》核心知识点默写填空 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学知识清单系统梳理了人教版九年级上册《二次函数》单元核心内容，涵盖二次函数的概念、图像与性质、与一元二次方程的关系及实际应用四大知识范畴，为学生搭建了从“概念辨析”到“性质探究”再到“实际问题解决”的递进式学习架构。 清单采用“填空自测+背诵记忆”双版本设计，通过易错判断（如“y=2x²-3xy+1是二次函数”的错误辨析）、平移规律提示（“向左平移m个单位把x换成x+m”）及实际问题模型（流量收益、拱桥隧道等）构建知识体系，培养学生的抽象能力和模型意识。特别标注重难点如顶点式中h、k的取值，配备例题解析，不同基础学生可高效巩固，教师可据此设计分层教学，提升复习针对性。

人教版九年级数学上册 第二十六章《二次函数》核心知识点默写填空 本资料分为填空默写与背诵版。填空版用于每日打卡自测默写，背诵版方便日常理解记忆； 背诵版同时充当标准答案，学记结合，高效巩固本章知识点。 【填空版】 班级： 姓名： 日期： 知识点每日默写小纸条 二次函数的概念 1.一般地，形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是 ，a、b、c分别是函数表达式的 系数、 系数和 项。 2.任何一个二次函数的解析式都可以化成 （a、b、c是常数，a≠0）的形式， 称为一般式。 注意：函数y=ax2+bx+c （一定/不一定）是二次函数，因为 。 3.概念辨析 ①函数y=3x2-5x，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ； ②函数y=-2x2+7，一次项系数是 ； ③若函数y=(m-3)x +2x-1是二次函数，则m= 。 4.易错判断（正确/错误） 1. ① y=x2+是二次函数（ ）；② y=2x2-3xy+1是二次函数（ ） m2-7 1.二次函数的图象是一条 ，当b=0，c=0时，y= ； ①当a＞0时，抛物线开口 ，对称轴是 轴，顶点在 ，顶点是抛物线的 点，a越大，抛物线开口 ； ②当a＜0时，抛物线开口 ，对称轴是 轴，顶点是 ，顶点是抛物线的 点，a越小，抛物线开口 ； ③由二次函数图象可知，如果a＞0，当x＞0时，y随x的增大而 ，当x＜0时，y随x的增大而 ，如果a＜0则都反之。 2.顶点式：y=a（x-h）2+k，顶点坐标 ，对称轴直线 ； 易错：y=a(x+2)2-3，即y=a[x-(-2)]2-3，则h= ，k= ； 3.平移规律：向左平移m个单位，把x换成 、向右平移m个单位，把x换成 ； 1. 向上平移n个，整个式子 、向下平移n个，整个式子 。 例题：将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到解析式： 。 知识点每日默写小纸条 二次函数的图像和性质 知识点每日默写小纸条 二次函数的图像和性质 4.二次函数一般式： （a≠0）的形式。 ①对称轴公式： ；②顶点坐标： ； ③求与y轴交点，令x=0，得交点坐标： 。 5.二次函数的增减性： ①当a＞0时，x＜，y随x的增大而 ，x= 有 值； ②当a＜0时，x＞，y随x的增大而 ，x= 有 值。 例题：二次函数y=x2-4x-1，对称轴直线x=2，顶点坐标 。 6.图象符号判断：①b看对称轴位置：对称轴在y轴左侧，a、b符号 ；对称轴在y轴 1. 右侧，a、b符号 ；对称轴是y轴，则b= ； 2. ②c看抛物线与y轴交点；交点在 半轴 c>0；交点在 半轴c<0；过 ，则c=0。 1. 知识点每日默写小纸条 二次函数与一元二次方程 1.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，令 ，得到一元二次方程ax2+bx+c=0。 2.二次函数图象的抛物线与x轴有两个交点，则一元二次方程有 的实数根；若有一个交点，则有 的实数根；如果没有交点，则 实数根。 3.判别式：Δ= ①当Δ＞0时，抛物线与x轴有 个交点； ②当Δ＝0时，抛物线与x轴有 交点（顶点落在x轴上）； ③当Δ＜0时，抛物线与x轴 交点。 4.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2（x1＜x2），则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为 ， ，对称轴为直线x= 。 5.当y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点时，ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0 ，若无交点则不等式 。 1. 6.若已知二次函数图象与x轴有两个交点x1、x2，则可设所求函数 （a≠0） 知识点每日默写小纸条 实际问题与二次函数 1.流量收益模型（互联网、文旅观光、研学接待情景） 例1：研学基地观光，单人门票定价40元时，每日接待游客600人；调研发现门票每下调2元，每日游客会增加80人。 解题思路：设门票下调2x元。 单客收益= 元； 每日接待游客数量= 人；总收益y关于x函数关系式： ； 2.物料投料加工模型（工厂生产、原材料损耗情景） 例2：工厂加工零件，每批次投料x千克原材料；受工艺影响，每千克原材料的成品产出件数随投料量变化；当每批次投料基准10千克时，产出成品200件；投料每增加2千克，单件损耗上升，每千克产出减少8件。 解题思路：设投料增加2x千克。 每千克原材料产出成品件数= ； 投料总千克数= ；总成品件数y与x关系式： 。 知识点每日默写小纸条 实际问题与二次函数 3.拱桥、隧道抛物线模型 例题3：一座拱桥，建立坐标系，抛物线解析式y=x2+5，y代表拱高，x代表水平距离。 ①拱桥的拱顶最大高度= ； ②当水面高度为y=1.8时，水面的宽度为 ； 提示：求出x会得到一正一负两个解，两个解相减才是总宽度，不能直接取单个x。 ③若水面宽度为10，求此时水面的高度为 ； 提示：总宽度是x=10，x是到y轴（拱顶竖直中线）的半宽，所以不能直接带入 4.抛射运动轨迹（无人机物资投放、体育实心球投掷） 物体抛出后运动轨迹是抛物线，竖直高度y是关于水平前进距离x的二次函数。 例题 4：无人机投放救援物资，物资下落飞行高度y(m)与水平飞行距离x(m)满足y=-0.1x2+1.2x+2.2。物资投放时(x=0）的初始高度= m； 物资飞行过程中的最大高度= m。 【背诵版】 知识点每日记忆小纸条 二次函数的概念 1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是 自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2.任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式， 称为一般式。 注意：函数y=ax2+bx+c不一定（一定/不一定）是二次函数，因为没有强调a≠0。 3.概念辨析 ①函数y=3x2-5x，二次项系数是 3 ，一次项系数是 -5 ，常数项是 0 ； ②函数y=-2x2+7，一次项系数是 0 ； ③若函数y=(m-3)x +2x-1是二次函数，则m= -3 。 4.易错判断（正确/错误） 2. ① y=x2+是二次函数（ 错误 ）；② y=2x2-3xy+1是二次函数（ 错误 ） m2-7 1.二次函数的图象是一条抛物线，当b=0，c=0时，y=ax2； ①当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线开口越小； ②当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线开口越小； ③由二次函数图象可知，如果a＞0，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，如果a＜0则都反之。 2.顶点式：y=a（x-h）2+k，顶点坐标(h,k），对称轴直线x=h ； 易错：y=a(x+2)2-3，即y=a[x-(-2)]2-3，则h= -2 ，k= -3 ； 3.平移规律：向左平移m个单位，把x换成 x+m 、向右平移m个单位，把x换成 x-m ； 2. 向上平移n个，整个式子 +n 、向下平移n个，整个式子 -n 。 例题：将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到解析式：y=2(x-3)2+4。 知识点每日记忆小纸条 二次函数的图像和性质 知识点每日记忆小纸条 二次函数的图像和性质 4.二次函数一般式为y=ax2+bx+c（a≠0）。 ①对称轴公式： ；②顶点坐标：（）； ③求与y轴交点，令x=0，得交点坐标：（0，c）。 5.二次函数的增减性： ①当a＞0时，x＜，y随x的增大而 减小 ，x= 有 最小 值； ②当a＜0时，x＞，y随x的增大而 增大 ，x= 有 最大 值。 例题：二次函数y=x2-4x-1，对称轴直线x=2，顶点坐标(2,-5)。 6. 图象符号判断：①b看对称轴位置：对称轴在y轴左侧，a、b符号相同；对称轴在y轴 右侧，a、b符号相反；对称轴是y轴，则b=0； ②c看抛物线与y轴交点；交点在正半轴 c>0；交点在负半轴c<0；过原点，则c=0。 2. 知识点每日记忆小纸条 二次函数与一元二次方程 1.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，令 y=0 ，得到一元二次方程ax2+bx+c=0。 2.二次函数图象的抛物线与x轴有两个交点，则一元二次方程有 两个不相等 的实数根；若有一个交点，则有 两个相等 的实数根；如果没有交点，则 没有 实数根。 3.判别式：Δ= b2-4ac ①当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点； ②当Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点（顶点落在x轴上）； ③当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点。 4.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2（x1＜x2），则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为（x1,0），（x2,0），对称轴为直线x= 。 5.当y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点时，ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0 有解 ，若无交点则不等式 无解 。 2. 6.若已知二次函数图象与x轴有两个交点x1、x2，则可设所求函数y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） 知识点每日记忆小纸条 实际问题与二次函数 1.流量收益模型（互联网、文旅观光、研学接待情景） 例1：研学基地观光，单人门票定价40元时，每日接待游客600人；调研发现门票每下调2元，每日游客会增加80人。 解题思路：设门票下调2x元。 单客收益=（40-2x）元； 每日接待游客数量=(600+80x)人；总收益y关于x函数关系式：y=(40-2x)(600+80x)； 2.物料投料加工模型（工厂生产、原材料损耗情景） 例2：工厂加工零件，每批次投料x千克原材料；受工艺影响，每千克原材料的成品产出件数随投料量变化；当每批次投料基准10千克时，产出成品200件；投料每增加2千克，单件损耗上升，每千克产出减少8件。 解题思路：设投料增加2x千克。 每千克原材料产出成品件数=(200-8x)； 投料总千克数=(10+2x)；总成品件数y与x关系式：y=(200-8x)(10+2x)。 知识点每日记忆小纸条 实际问题与二次函数 3.拱桥、隧道抛物线模型 例题3：一座拱桥，建立坐标系，抛物线解析式y=x2+5，y代表拱高，x代表水平距离。 ①拱桥的拱顶最大高度= 5 ； ②当水面高度为y=1.8时，水面的宽度为 16 ； 提示：求出x会得到一正一负两个解，两个解相减才是总宽度，不能直接取单个x。 ③若水面宽度为10，求此时水面的高度为 3.75 ； 提示：总宽度是x=10，x是到y轴（拱顶竖直中线）的半宽，所以不能直接带入 4.抛射运动轨迹（无人机物资投放、体育实心球投掷） 物体抛出后运动轨迹是抛物线，竖直高度y是关于水平前进距离x的二次函数。 例题 4：无人机投放救援物资，物资下落飞行高度y(m)与水平飞行距离x(m)满足y=-0.1x2+1.2x+2.2。物资投放时(x=0）的初始高度=2.2m；物资飞行过程中的最大高度=5.8m。 学科网（北京）股份有限公司 $