专题12 反比例函数的概念（五大题型25道题）-2026-2027学年人教版九年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题12 反比例函数的概念（五大题型25道题） 目录 知识点一用反比例函数描述数量关系 1 知识点二根据定义判断是否是反比例函数 4 知识点三根据反比例函数的定义求参数 6 知识点四求反比例函数值 7 知识点五由反比例函数值求自变量 10 知识点一用反比例函数描述数量关系 1．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得． A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上． D选项：，不在函数图象上． 2．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 3．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 4．从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，读懂题意，准确列举符合题意的点是解决问题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上需满足，从中任选两个数记作和，考虑所有有序对，计算满足的概率即可得到答案． 【详解】解：从中任选两个数记作和，所有可能的有序对共有种，列举如下： 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 满足的有序对有、、、，共四种， 点在反比例函数图象上的概率为， 故答案为：． 5．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 知识点二根据定义判断是否是反比例函数 6．下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的形式为（为常数，）， ∴只有是反比例函数. 7．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据运送总量固定，V与t的乘积为非零常数的特点判断函数类型． 【详解】解：由题意得，，整理得，符合反比例函数关系． 8．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 9．写出一个使函数存在的的值：_____． 【答案】3（答案不唯一） 【详解】解：∵函数存在， ∴， 解得， 故的值可为3． 10．下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式：(为常数，，)，，．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足、自变量的次数为(或分母为单独的)． （1）分析函数中的次数，判断是否符合反比例函数对次数的要求； （2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义； （3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断； （4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数是否不为0； （5）观察分母是否为单独的自变量，判断是否符合定义； （6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式． 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 知识点三根据反比例函数的定义求参数 11．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 【答案】C 【详解】解：要使函数有意义，需，即自变量的取值范围是的一切实数． 12．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 13．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 14．在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据反比例函数上点的性质，推出，再根据，求出的取值范围，即可求解． 【详解】∵点、在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以是．（答案不唯一，填小于的实数均正确） 15．已知反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ， 解得． 知识点四求反比例函数值 16．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将反比例函数变形为：，逐一验证各项是否满足关系式即可得到答案． 【详解】解：将变形为：，逐一计算各选项横纵坐标的乘积： 选项：，，该点不在函数图象上，故选项不符合题意； 选项：，该点在函数图象上，故选项符合题意； 选项：，，该点不在函数图象上，故选项不符合题意； 选项：，，该点不在函数图象上，故选项不符合题意． 17．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 18．对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 【答案】 【分析】将已知的值代入反比例函数解析式，计算得到的值． 【详解】解：把代入，得． 19．如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【分析】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20．已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． (1)求m的值； (2)当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先明确反比例函数的定义，因为反比例函数的一般形式为（），所以x的指数需等于，且系数不能为0，据此列方程和不等式求解m的可能取值．再结合函数图象的分布特征，因为反比例函数图象在第一、三象限，比例系数大于0，所以针对第一步得到的m的可能值，验证系数的正负，筛选出符合条件的m值． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案. 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∵反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时， ∴， 解得． ∴． （2）解：当时，函数为， 当时，. 知识点五由反比例函数值求自变量 21．已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出反比例函数的比例系数，最后代入的值求解即可． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设反比例函数解析式为，即， 把，代入得， ∴反比例函数解析式为， 当 时，代入得， 解得． 22．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【答案】B 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 23．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 【答案】 【分析】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可． 【详解】解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 24．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质可得，反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，据此表示出与，即可计算的值． 【详解】解： 函数的图象经过点和， ， 整理得，， ． 25．先化简，再求值：，其中点在反比例函数上，且，均为整数． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式减法，然后计算除法，直至化为最简分式，再结合点在反比例函数上，且，均为整数以及分式有意义的条件得出的值，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，，， ∴且． 由点在反比例函数上，得． 因为a，b均为整数，所以a的所有可能取值为，． ∵且 ∴． 将代入得：原式． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题12 反比例函数的概念（五大题型25道题） 目录 知识点一用反比例函数描述数量关系 1 知识点二根据定义判断是否是反比例函数 2 知识点三根据反比例函数的定义求参数 3 知识点四求反比例函数值 3 知识点五由反比例函数值求自变量 4 知识点一用反比例函数描述数量关系 1．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 3．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 4．从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是___________． 5．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 知识点二根据定义判断是否是反比例函数 6．下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 7．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 8．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 9．写出一个使函数存在的的值：_____． 10．下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 知识点三根据反比例函数的定义求参数 11．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 12．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 13．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 14．在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 15．已知反比例函数的图象经过点，求的值． 知识点四求反比例函数值 16．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（     ）． A． B． C． D． 17．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 18．对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 19．如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 20．已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． (1)求m的值； (2)当时，求的值； 知识点五由反比例函数值求自变量 21．已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 22．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 23．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 24．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 25．先化简，再求值：，其中点在反比例函数上，且，均为整数． 学科网（北京）股份有限公司 $